2.1.3　其他重要的分形結構

（1）Cantor集

1883年，德國數學家Cantor提出了如今廣為人知的三分Cantor集，或稱Cantor集。很容易構造出三分Cantor集的結構，然而，該結構卻顯示出最典型的分形特征。

圖2-8所示為Cantor集的構造過程。

第一步，把一條線段［0，1］平均分為三段，去掉中間的1/3部分段，則只剩下兩個閉區間線段［0，1/3］和［2/3，1］。

第二步，再將剩下的兩個閉區間線段各自平均分為三段，同樣去掉中間的區間段，這時剩下四段閉區間線段，即［0，1/9］，［2/9，1/3］，［2/3，7/9］和［8/9，1］。

第三步，重復上述過程，刪除每個小區間中間的1/3段。如此不斷地迭代下去，最后剩下的各個小區間段就構成了Cantor集。

從圖2-8中可以看出，Cantor集在線段［0，1］上的分布是非常不均勻的。如果把該線段想象成一條時間軸的話，Cantor集代表了時間軸上發生的無限多個“點”事件，這些“點”事件之間的時間間隔服從冪律分布。這提供了描述自然界許多現象演化過程的重要模型。例如，Mandelbrot最早發現電子通訊線路中誤差的出現與Cantor集是非常相似的，誤差不是隨時間均勻出現，而是團簇狀態的不連續出現。一簇簇的誤差段中包含著無誤差的段落，而仔細觀察下，無誤差的段落中仍包含著更精細的一簇簇的誤差，如此嵌套結構，成為分形時間序列的實例。在此思想啟發下，地震發生、股票波動等自然、社會現象的時間演化數學模型得到了新的發展。

（2）Sierpinski墊片

1915年，波蘭數學家Sierpinski提出了Sierpinski三角形結構。

圖2-9所示為Sierpinski三角形的構造過程。

第一步，取一個實心的三角形，例如采用等邊三角形。

第二步，沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，同時去掉中間的那一個小三角形。

第三步，對其余三個小三角形重復上述過程。如此不斷地迭代下去，最后剩下的各個小三角形結構就構成了Sierpinski三角形。

如果用上面的方法無限連續地迭代下去，則Sierpinski三角形的面積將趨近于零，而它的周長越趨近于無限大。

Sierpinski地毯的構造與Sierpinski三角形相似，區別僅在于Sierpinski地毯是以正方形而非等邊三角形為基礎的。將一個實心正方形劃分為的9個小正方形，去掉中間的小正方形，再對余下的小正方形重復這一操作便能得到Sierpinski地毯。圖2-10所示為Sierpinski地毯的構造過程。

當然，上述結構可以推廣到三維圖形中，即Menger海綿。圖2-11所示為Menger海綿結構。這種三維結構擁有大量孔洞，如果無限連續地迭代下去，Menger海綿的體積將趨近于零，而它的表面積卻趨近于無限大。由于該分形結構的獨特性，使其在物質材料的結構解析、新型催化劑的設計、化學反應動力學的模擬等方面發揮了重要的應用。

（3）Mandelbrot集

Mandelbrot集堪稱人類有史以來做出的最奇異、最瑰麗的幾何圖形，曾被稱為“上帝的指紋”。Mandelbrot集是復數平面中的點集，這個點集均出自復函數迭代公式：

　　（2-3）

式中　Z——復函數；

n——整數，取值為0，1，2，…，∝；

C——復參數。

對于每一個C，從Z₀=0+0j開始計算，如果Z_n收斂，則C在集合中。對于所有復數C組成的集合，就構成Mandelbrot集。分形圖形是可以無限遞歸下去的，它的復雜度不隨尺度減小而消失。Mandelbrot集的神奇之處就在于，可以對這個分形圖形不斷放大，不同的尺度下所看到的景象可能完全不同。放大到一定時候，可以看到更小規模的Mandelbrot集，這證明Mandelbrot集是自相似的。圖2-12的15幅子圖演示了Mandelbrot集的一個放大過程。可以在這個過程中看到不同樣式的分形圖形。