2.1.2　Koch曲線

Koch曲線由瑞典數學家Helge von Koch最先提出。首先畫一個線段，然后把它平分成三段，去掉中間那一段并用兩條等長的線段代替。這樣，原來的一條線段就變成了四條小的線段。用相同的方法把每一條小的線段的中間1/3替換為等邊三角形的兩邊，得到了16條更小的線段。然后繼續對16條線段進行相同的操作，并無限地迭代下去。圖2-6是Koch曲線前五次迭代的過程示意圖。

圖2-6　Koch曲線的形成和迭代

整個線條的長度每一次迭代都變成了原來的4/3。如果最初的線段長為1，那么第一次迭代后總長度變成了4/3，第二次迭代后總長增加到（4/3）²，第n次迭代后長度為（4/3）ⁿ。這樣，無限迭代進行下去，n趨于無窮，則這條曲線將達到無限長。

如果把三條Koch曲線頭尾相接組成一個封閉圖形時，更有趣的事情發生了。圖2-7展示了三條Koch曲線頭尾相接組成的封閉圖形。當n趨于無窮時，圖2-7的這個雪花一樣的圖形有著無限長的邊界，但是它的總面積卻是有限的，不會超過初始三角形的外接圓。換句話說，無限長的曲線包圍著有限的面積。這里可以做個簡單的證明。三條曲線中每一條的第n次迭代前有4^n-1個長為（1/3）^n-1的線段，迭代后多出的面積為4^n-1個邊長為（1/3）ⁿ的等邊三角形。把4^n-1擴大到4ⁿ，再把所有邊長為（1/3）ⁿ的等邊三角形擴大為同樣邊長的正方形，總面積仍是有限的，因為無窮級數∑4ⁿ/9ⁿ顯然是收斂的。這個神奇的雪花圖形叫做Koch雪花。

圖2-7　Koch雪花

同時，n趨于無窮時，Koch曲線則變成處處連續，但處處不可導的曲線，傳統歐氏幾何基礎上建立的微積分完全不能描述此類復雜的圖形特征，此類幾何結構也曾被稱之為“病態幾何”。Mandelbrot突破傳統數學的束縛，為這類不規則的幾何結構建立了全新的數學理論體系——分形幾何（Fractal）。Fractal這個詞包含了英文的fractured（斷裂，不規則的）和fractional（碎片、分數的）的雙重含義。經過幾十年的發展，分形幾何學已迅速成為了一門新興的重要數學分支。它的應用涉及了自然科學技術的許多領域，甚至于社會科學。實際上，它正起著打通學科領域之間的橋梁作用。