2.1.1　海岸線的長度問題

地理學上，地理單元的長度測量，是基本的問題。在20世紀60年代之前，人們理所當然地認為，一個國家海岸線的長度是完全確定的，其準確數值僅僅取決于測量的精度和誤差而已。直到1967年，一位法國的數學家Mandelbrot在Science雜志上重新提出這個問題：“英國的海岸線有多長？”^［15］，他發現海岸線測量的問題比我們想象的要復雜得多。由于海水沖刷和陸地變遷，海岸都存在曲曲折折、大小不一的凹凸海灣，呈現出極其不規則的形狀。圖2-1展示了一張大自然中崎嶇的海岸線的照片。

任何人，無論測量多么認真細致，都不可能得到唯一的答案，因為事實上根本就不會有準確的答案。英國的海岸線長度是不確定的！它完全取決于測量時所用的尺度。假如某個人乘坐飛機在一萬米高空沿海岸線飛行并進行測量，由于高空中不可能分辨出許多細小的海灣和海峽，所以測量得到的海岸線長度是有限的。為了提高精確度，又乘坐飛機在一千米高空沿海岸線飛行并進行測量，此時將會看清許多原來沒有看到的細部，從而測量得到的海岸線長度將會大大增加，如此等等。圖2-2表示測量標尺的變小，局部得到放大，將揭示出更多的不規則海岸特征。隨著觀測的角度不斷接近海岸，采用的量度尺度越來越精密，海岸線就顯露出更多的細節，進而獲得的海岸線長度就越大。可以想象，如果以分子、原子量級的尺度為測量基本單位，測得的海岸線長度將是一個天文數字。這個結果雖然沒有什么實際意義，但至少說明隨測量尺度變得無窮小，海岸線長度會變得無窮大，因而是不確定的。

圖2-3表示英國海岸線縮影圖，當測量標尺越小時，測量長度將越長。所以長度已不是描述海岸線的最好的定量特征變量，為了描述大自然中不規則的海岸線的特征，需要尋找其他的參量。

圖2-4中對各國海岸線長度進行測量，結果發現，所有數據均滿足如下關系

L（r）∝r^1-D　　（2-1）

即

lg［L（r）］∝（1-D）lg（r）　　（2-2）

式中　r——測量標尺的長度；

L（r）——測量標尺長度為r時得到的海岸線總長度；

D——海岸線的分形維數。

根據測量的結果，D為大于1、小于2的分數，這樣，隨著測量標尺越來越小，海岸線的長度將會越來越大，甚至趨于無窮。

這是非常令人吃驚的結果！作為對比，我們可以進一步看看普通幾何對象的情況。例如，如圖2-5所示，用多邊形的周長去近似計算圓的周長。不難看出，在這個逼近過程中，測量值仍然依賴于多邊形的邊長，多邊形邊長越小，測量值也會越大，但隨著邊長越來越小，多邊形的周長將趨近于一個極限，即圓的周長。

由此可見，描述光滑曲線長度的幾何方法，無法準確描述自然界中海岸線的不規則特性。