3.1.1　試樣對(duì)入射電子的散射

入射電子沿光軸z方向穿透試樣時(shí)受晶體勢(shì)V（x，y，z）影響，在試樣的下表面（x，y）處形成了振幅和相位均發(fā)生變化的出射電子波ψ_t（x，y），即：

　　（3.1）

　　（3.2）

式中，ψ_inc為入射波，可以視為單位強(qiáng)度的平面波；q（x，y）為試樣透射函數(shù)（transmission function），描述試樣對(duì)入射電子波的散射；φ（x，y）是相位函數(shù)；μ（x，y）是試樣對(duì)電子波的吸收函數(shù)，描述散射導(dǎo)致的電子波振幅衰減。

入射電子在穿透試樣的過程中，由于受晶體勢(shì)的調(diào)制，波長(zhǎng)發(fā)生了變化，即：

　　（3.3）

式中，h為普朗克常數(shù)；m為電子質(zhì)量；e為電子電荷大小；U為加速電壓。進(jìn)一步假定電子在穿透試樣的過程中僅沿z軸方向運(yùn)動(dòng)，傳播dz的距離后產(chǎn)生的相位變化為：

　　（3.4）

考慮到V/U<<1，上式可以簡(jiǎn)化為：

　　（3.5）

式中，σ=π/（λU）為相互作用常數(shù)（interaction constant），對(duì)特定加速電壓而言σ為常數(shù)。嚴(yán)格來講，式（3.3）還需考慮相對(duì)論效應(yīng)，σ值也需進(jìn)行相應(yīng)修正。σ值一般很小，且隨加速電壓升高而變小。例如，80kV時(shí)，σ值為0.01009V^-1·nm^-1；200kV時(shí)，σ值為0.00729V^-1·nm^-1。

當(dāng)入射電子穿透厚度為Δz的試樣到達(dá)下表面時(shí)，在（x，y）處產(chǎn)生的總相位變化為：

　　（3.6）

式中，V_t（x，y）是晶體勢(shì)V（x，y，z）在z方向的投影。該處理忽略了菲涅爾擴(kuò)展效應(yīng)，即（x，y）處出射波的相位調(diào)制僅來源于沿入射波方向到達(dá)（x，y）處對(duì)應(yīng)晶柱的靜電勢(shì)散射，該過程也稱為相位柵近似（phase-grating approximation）。相位柵近似是一種投影近似，物理上等價(jià)于將愛瓦爾德球用平面代替。投影勢(shì)V_t（x，y）可以簡(jiǎn)單表示為試樣內(nèi)部的平均勢(shì)V（x，y）和試樣厚度的乘積。平均勢(shì)不僅與原子序數(shù)有關(guān)，而且依賴于密度，數(shù)值一般在5～30V范圍內(nèi)^［14］。

由式（3.6）可知，電子在試樣內(nèi)產(chǎn)生的相位移僅依賴于試樣的投影勢(shì)。將其代入式（3.2），可得：

　　（3.7）

如果電子穿透試樣后僅發(fā)生相位變化而無振幅變化，則該試樣稱為相位物（phase object），上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

q（x，y）=exp［iσV_t（x，y）］　　（3.8）

在相位物近似下，不同散射波之間的相互干涉仍將導(dǎo)致非線性效應(yīng)，使圖像和投影勢(shì)之間呈現(xiàn)復(fù)雜關(guān)系。進(jìn)一步假定試樣足夠薄使σV_t（x，y）?1，上式可以展開為：

q（x，y）≈1+iσV_t（x，y）　　（3.9）

滿足上述條件的試樣稱為弱相位物（weak phase object），弱相位物下表面（x，y）處的出射波函數(shù)保持了面內(nèi)的周期性且與試樣的投影勢(shì)呈線性關(guān)系。弱相位物近似條件苛刻，當(dāng)加速電壓為200kV時(shí)，重原子滿足弱相位物近似的臨界厚度為2～3nm，輕原子的臨界厚度為5～6nm；當(dāng)加速電壓為80kV時(shí)，重原子的臨界厚度為1～2nm，輕原子的臨界厚度為3～5nm。由此可見，單層及少層二維材料成像時(shí)可視為弱相位物。