第二節(jié)　平面匯交力系的平衡條件和平衡方程

一、平面匯交力系的平衡條件

平面匯交力系平衡的充分必要條件是該力系的矢量和為零。

因?yàn)榍笃矫鎱R交力系合力的方法有兩種，所以該平衡條件也表現(xiàn)為兩種不同的形式。

（一）平面匯交力系平衡的幾何條件

由上一節(jié)的討論結(jié)果可知，平面匯交力系在一般情況下將合成一個(gè)合力，合力作用在力系的公共作用點(diǎn)上，其大小和方向由各分力矢量首尾相連所組成的力多邊形的閉合邊確定。當(dāng)由各分力矢量組成的力多邊形自行閉合時(shí)，其合力為零，此時(shí)平面匯交力系平衡。反之，如果平面匯交力系平衡，則其合力必為零，力多邊形自行閉合。

因此，平面匯交力系平衡的幾何條件表述為：平面匯交力系平衡的充分必要條件是力多邊形自行閉合。

（二）平面匯交力系平衡的解析條件

由上一節(jié)的討論結(jié)果我們知道，平面匯交力系合力的大小可由下式確定：

若平面匯交力系平衡，則合力必為零，即

由于根號下為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，所以必同時(shí)滿足：

　　        （2.7）

或分開寫為

　　        （2.8）

反之，若式（2.7）或式（2.8）成立，則該力系必平衡。即平面匯交力系平衡的解析條件表述為：平面匯交力系平衡的充分必要條件是力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和均等于零。

式（2.7）或式（2.8）又稱為平面匯交力系的平衡方程。

二、平面匯交力系平衡方程的應(yīng)用

由于平面匯交力系的平衡方程是由兩個(gè)獨(dú)立的方程組成的，所以，當(dāng)一個(gè)剛體受平面匯交力系作用而處于平衡狀態(tài)時(shí)，可以求解兩個(gè)未知量。

用平衡方程求解平面匯交力系平衡問題的一般步驟為：

①分析物體的受力情況，畫受力圖；

②建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，原則是讓盡量多的力位于坐標(biāo)軸上，把沒在坐標(biāo)軸上的力進(jìn)行投影；

③按式（2.7）列方程，解方程。

例2.2　如圖2.6（a）所示，已知F的大小為60kN，試求支座A和B的約束反力。

解：選剛架ACB為研究對象，畫出隔離體，并分析其受力情況。支座B為活動(dòng)鉸支座，所以約束反力F_B的方向豎直向上［圖2.6（b）］。由于剛架只受三個(gè)力的作用，由三力匯交原理，F_A必然通過F_B和F的交點(diǎn)B。利用力的可傳性，把這三個(gè)力的作用點(diǎn)都移到B點(diǎn)，就得到一平面匯交力系［圖2.6（c）］。

解法一：代數(shù)法

建立如圖2.6（c）所示的坐標(biāo)系，投影并列方程為

同時(shí)考慮到cosθ=0.6，sinθ=0.8

解上述方程得

所得結(jié)果為正，說明圖中所設(shè)方向與實(shí)際方向相同。

解法二：聯(lián)用幾何法和代數(shù)法　

如圖2.6（d）所示，先用幾何法求F、F_B的合力，則該合力必是力F_A的平衡力，用F_B表示。由力F、F_B和F_R所組成的力的三角形與幾何三角形ABC相似。所以由比例關(guān)系得

例2.3　如圖2.7（a）所示，已知F的大小為29kN，試求支座A的約束反力。

解：選桿件AC為研究對象，畫出隔離體，并分析其受力情況。桿件BC為二力構(gòu)件，它對桿件AC的約束反力F_BC的方向沿BC桿的軸線方向，且設(shè)為拉力［圖2.7（b）］。由于桿件AC只受三個(gè)力的作用，由三力匯交原理，F_A必然通過F_BC和F的交點(diǎn)O。利用力的可傳性，把這三個(gè)力的作用點(diǎn)都移到O點(diǎn)，就得到一平面匯交力系［圖2.7（c）］。

考慮到AD=DC，所以三角形AOC為等腰三角形，F_A和F_BC與x軸所夾角的銳角均為30°。

建立如圖2.7（c）所示的坐標(biāo)系，投影并列方程為

解上述方程得

所得結(jié)果為正，說明圖中所設(shè)方向與實(shí)際方向相同。

本題所討論的平面匯交力系為一特殊情況，即由三個(gè)力組成的平面匯交力系，若這三個(gè)力互成120°夾角，當(dāng)該力系平衡時(shí)，則這三個(gè)力的大小必定相等。或者說，這屬于三力對稱的情況。又如圖2.7（d）所示，兩根繩子的張力（拉力）不用計(jì)算，就知道等于G。

例2.4　如圖2.8（a）所示，已知F₁的大小為60kN，F₂的大小為36kN，試求桁架中每根桿所受的力。

解：在畫受力圖時(shí)每個(gè)力都是按桿件受拉畫出的。當(dāng)選每個(gè)結(jié)點(diǎn)為研究對象時(shí)，均得到一個(gè)平面匯交力系。由于對平面匯交力系只能列兩個(gè)方程，即只能求解兩個(gè)未知數(shù)，所以結(jié)點(diǎn)的選擇要有一定的次序，對于本題結(jié)點(diǎn)的選擇順序?yàn)椋?i>E、C、D。

首先選結(jié)點(diǎn)E為研究對象，畫出隔離體，并分析其受力情況［圖2.8（b）］。

建立如圖2.7（b）所示的坐標(biāo)系，并考慮到cosθ=0.8，sinθ=0.6，投影并列方程為

解上述方程得

計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明桿件6受壓。

2.1　例題2.4計(jì)算機(jī)求解

再選結(jié)點(diǎn)C為研究對象，畫出隔離體，并分析其受力情況［圖2.8（c）］。因?yàn)樗膫€(gè)力互相垂直，不用列方程可直接得到：

最后選結(jié)點(diǎn)D為研究對象，畫出隔離體，并分析其受力情況［圖2.8（d）］。建立如圖2.8（d）所示的坐標(biāo)系，投影并列方程為

代入數(shù)據(jù)有

解上述方程得

對于桁架，一般都是把所計(jì)算出的每根桿所受的力用一帶正負(fù)號的數(shù)值標(biāo)在該桿的一側(cè)［見圖2.8（e）］。