第一節(jié)　平面匯交力系的合成

本節(jié)所研究的平面匯交力系是平面力系中最簡單的一種。在工程中有些問題可轉(zhuǎn)化為平面匯交力系，例如，用結(jié)點法計算桁架各桿受力時。

一、平面匯交力系合成的幾何法

已經(jīng)知道，若平面匯交力系由兩個力組成，則可用力的平行四邊形法則去求它們的合力。若平面匯交力系是由兩個以上的力組成時，只要先求出任意兩個力的合力，再求這個合力和另一個力的合力，這樣繼續(xù)下去，最后得出的就是這許多力的合力。如圖2.1（a）所示，F_R就是F₁、F₂、F₃的合力。

從上述作圖過程中可以發(fā)現(xiàn)，用這樣的方法求三個力的合力已經(jīng)夠煩瑣了，何況是求更多個共點力的合力。那么有沒有較簡單的方法呢？

如圖2.1（b）所示，用幾何法求合力，虛線根本沒必要畫出，只有實線即可。這種方法的描述就是力的多邊形法則：以第一個力的末端作為第二個力的起點，把第二個力平移過來；然后再以第二個力的末端作為第三個力的起點，再把第三個力平移過來；這樣一直進行下去，直到最后一個力也被平移，把第一個力的起點和最后一個力的末端連起來，并用有向線段表示，即得到該平面匯交力系的合力。合力的作用點也在該力系的公共作用點上。

之所以叫力的多邊形法則，是因為最后由F₁、F₂、…、F_n和合力F_R所組成的圖形一般為多邊形。F_R是F₁、F₂、…、F_n的矢量和，可用下式表示：

　　        （2.1）

力的多邊形法則歸根結(jié)底還是力的平行四邊形。只是在用幾何法求多個共點力的合力時，前者比后者的效率要高得多。

特殊地，當只求兩個共點力的合力時，力的多邊形法則照樣可以用，只是這時所作的力的多邊形表現(xiàn)為三角形，此時，力的多邊形法稱為力的三角形法則。

應(yīng)用幾何法求合力時要注意以下兩點：

①每個力必須按力的圖示的要求來畫。最后的合力大小等于有向線段F_R［見圖2.1（b）］的長度乘各分力共同的比例尺系數(shù)，方向可用量角器量取其與某已知力的夾角，因此，用這種方法求合力，肯定有誤差。

②在用力的多邊形法則求合力時，其合力與所選擇力的順序無關(guān)，見圖2.1（c）、（d）。

幾何法求合力的優(yōu)點是直觀、形象，缺點是不夠準確。它主要用于定性分析。要想準確求合力可用下面介紹的代數(shù)法。

二、平面匯交力系合成的代數(shù)法

（一）力在軸上的投影

如圖2.2所示，自力矢量的始端A和末端B分別向該力所在的平面內(nèi)任意軸x作垂線，并以a、b表示兩個垂足，則線段ab的長度再冠以適當?shù)恼撎枺捅硎具@個力在x軸上的投影，并用F_x表示。如果從a到b的指向和x軸的正向一致，則F_x規(guī)定為正［圖2.2（a）］；反之則為負［圖2.2（b）］。

因此，力在軸上的投影是一個代數(shù)量。設(shè)F與x軸正方向的夾角為α，則

　　        （2.2）

其中α角可為任意角。但當α角為鈍角時，一般可轉(zhuǎn)換為銳角以方便計算，至于其正負，可以很方便地從圖形中確定。如圖2.2（b）所示，F_x=Fcosα=-Fcosθ。

（二）力在平面直角坐標系中的投影

如果把力F依次在其作用面內(nèi)的兩個正交軸x、y上投影（圖2.3），則有

　　        （2.3）

式（2.3）與上一章力的正交分解公式完全一樣，它們的區(qū)別在于：力在正交分解時，各分力是矢量；而力的投影是標量。

（三）合力投影定理

合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。

這個定理可從圖2.4中得到證明。從圖中可以看到各分力在x軸上的投影分別是

而合力F_R在x軸上的投影是

由圖中可以看出

即

同樣在y軸上有

請讀者自行證明。

合力投影定理更一般的表達式為

　　        （2.4）

本定理是用代數(shù)法求解平面匯交力系合力的理論基礎(chǔ)。

（四）平面匯交力系合成的代數(shù)法

假設(shè)有一平面匯交力系，現(xiàn)要求其合力。為此，首先建立一個合適的平面直角坐標系，為了簡化計算，應(yīng)讓盡量多的力位于坐標軸上。然后再把每個力進行投影；并利用式（2.4）求出合力F_R在這兩個軸上的投影。于是，合力的大小和方向可由式（2.5）、式（2.6）確定：

　　        （2.5）

　　        （2.6）

式中，α為合力與x軸的夾角，具體指向由F_Rx、F_Ry的正負號判定。

例2.1　已知F₁、F₂、F₃、F₄的大小分別為10kN、20kN、10kN和6kN，方向如圖2.5（a）所示。試求此平面匯交力系的合力。

解：建立如圖2.5（b）所示的坐標系，使盡量多的力（F₁、F₄）位于坐標軸上。把每個力進行投影：

則

其合力見圖2.5（b）。