2.5　有效數(shù)字及其運算規(guī)則

在定量分析中，為了得到準確的分析結果，不僅要克服實驗過程中可能產(chǎn)生的各種誤差，還要注意正確地記錄測量數(shù)據(jù)和進行運算。分析結果的數(shù)據(jù)不僅表示分析對象的量，而且能反映測量的準確度。因此，必須掌握有效數(shù)字的意義和運算規(guī)則。

2.5.1　有效數(shù)字

有效數(shù)字是實際能測到的數(shù)字，它包括所有的確定數(shù)字和其后一位不確定數(shù)字（估讀數(shù)字），記錄數(shù)據(jù)和計算結果時，究竟應該保留幾位有效數(shù)字，必須根據(jù)測定方法和使用儀器的精確程度來確定。

對于任一物理量的測定，其準確度都是有一定限度的。例如，讀取滴定管的刻度，甲得到26.43mL，乙得到26.42mL，這些4位數(shù)字中，前3位是準確數(shù)字，第4位數(shù)字是在最小刻度線之間估計出來的，稍有差別。這4位數(shù)字都是有效數(shù)字，應記錄下來。

關于有效數(shù)字的位數(shù)，請看下例：

從以上數(shù)據(jù)可以看出：

①非零數(shù)字都是有效數(shù)字。

②“0”具有雙重意義，是否為有效數(shù)字取決于它在數(shù)字中的作用和位置。例如，在2.06中，“0”是有效數(shù)字；在0.06中，“0”只起定位作用，不是有效數(shù)字。如果將單位縮小100倍，則0.06就變成了6；在0.0020中，前面3個“0”不是有效數(shù)字，后面1個“0”是有效數(shù)字；像3800，一般可看成4位有效數(shù)字，但它可能是2位或3位有效數(shù)字，其有效數(shù)字位數(shù)較含糊，對于這種情況，應根據(jù)實際的有效數(shù)字位數(shù)，分別寫成3.8×10³和3.80×10³較好。

③對數(shù)值，如pH、pM、lgc、lgK等，它們的有效數(shù)字位數(shù)僅取決于小數(shù)部分（尾數(shù)）數(shù)字的位數(shù)，因整數(shù)部分只代表該數(shù)的方次。如pH=12.68，換算為H⁺濃度時，c（H⁺）=2.1×10^-13mol·L^-1，為2位有效數(shù)字，而不是4位。

④計算式中的系數(shù)、常數(shù)（如π、е等）、倍數(shù)或分數(shù)和自然數(shù)，可視為無限多位有效數(shù)字，其位數(shù)的多少視具體情況而定。因為這些數(shù)據(jù)不是測量所得到的。

例如，對于常用稱量（m）的天平和量取體積（V）的量器的有效數(shù)字的位數(shù)為（括弧內(nèi)為有效數(shù)字的位數(shù)）：

m　　分析天平（稱至0.1mg）：12.8228g（6），0.2348g（4），0.0600g（3）

　　　千分之一天平（稱至0.001g）：0.235g（3）

　　　1%天平（稱至0.01g）：4.03g（3），0.23g（2）

　　　臺秤（稱至0.1g）：4.0g（2），0.2g（1）

V　　滴定管（量至0.01mL）：26.32mL（4），3.97mL（3）

　　　容量瓶：100.0mL（4），250.0mL（4）

　　　移液管：25.00mL（4）；

　　　量筒（量至1mL或0.1mL）：25mL（2），4.0mL（2）

2.5.2　數(shù)字修約規(guī)則

在運算數(shù)據(jù)的過程中，往往遇到各測量值的有效數(shù)字位數(shù)不相同，必須舍棄一些多余的數(shù)字，以便于運算，這種舍棄多余數(shù)字的過程稱為“數(shù)字修約過程”。它所遵循的規(guī)則稱為“數(shù)字修約規(guī)則”，目前，一般采用“四舍六入五留雙”的規(guī)則。在應用此規(guī)則時應注意以下兩點。

①當測量值中被修約的那個數(shù)字等于或小于4時，該數(shù)字應舍去；等于或大于6時則進位。

②當測量值中被修約的那個數(shù)字等于5時，當5后面沒有數(shù)字或全為零時，5前面是偶數(shù)則舍，是奇數(shù)則入；當5后面有不為零的任何數(shù)時，則無論5前面是偶數(shù)還是奇數(shù)皆進一位。

例如，將下列測量值修約為3位有效數(shù)字：

0.235499→0.235；11.55→11.6；8.385→8.38

38.85000→38.8；2.045001→2.05。

注意，在修約數(shù)字時，只允許一次修約到所需位數(shù)，不能分步修約。例如，0.235499修約為3位有效數(shù)字時，不能先修約為0.2355，再修約為0.236。

2.5.3　計算規(guī)則

2.5.3.1　加減規(guī)則

幾個數(shù)據(jù)相加或相減時，有效數(shù)字位數(shù)的保留，應以小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)字為根據(jù)。因為加減法中誤差按絕對誤差的方式傳遞，運算結果的誤差應與各數(shù)中絕對誤差最大者相對應。

例如：　　0.254+22.2+2.2345=？

　　修約：　　0.3+22.2+2.2

　　計算：　　0.3+22.2+2.2=24.7

因為在上例中22.2的絕對誤差最大，為±0.1，它決定了總和的絕對誤差也應為±0.1。所以，在計算過程中，各數(shù)應以22.2為準，先進行修約，再進行加和，保留3位有效數(shù)字，此后的各位數(shù)字都不是有效數(shù)字，多保留沒有意義。

2.5.3.2　乘除規(guī)則

在乘除法運算中，有效數(shù)字的位數(shù)應與各個數(shù)中相對誤差最大的數(shù)相對應，即是根據(jù)有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)來進行修約，與小數(shù)點的位置無關。

例如：　　0.254×22.2÷2.2345=？

　　修約：　　0.254×22.2÷2.23

　　計算：　　0.254×22.2÷2.23=2.53

2.5.4　幾點說明

①在乘除運算中，有時會遇到首位數(shù)為9以上的大數(shù)，如，9.05、99.6等，它們的相對誤差約為0.1%，與10.06和100.6這些4位有效數(shù)字的數(shù)值的相對誤差接近，通常將它們當作4位有效數(shù)字進行處理。

②在計算過程中，可以暫時多保留1位數(shù)字，得到最后結果時，再根據(jù)“四舍六入五留雙”的規(guī)則，棄去多余的數(shù)字。

③正確表達分析結果。對于組分含量＞10%的測定，分析結果一般要求4位有效數(shù)字；組分含量為1%～10%的測定，一般要求3位有效數(shù)字；對于組分含量＜1%的測定，一般要求2位有效數(shù)字即可。

④記錄測量結果時，只需保留1位可疑數(shù)字。測量儀器的不同，測量的誤差也就不同，應根據(jù)具體實驗方法和試驗情況，正確記錄測量數(shù)據(jù)。例如，用分析天平稱量時記為m=23.5568g，滴定管讀數(shù)記為V=25.43mL，吸光度記為A=0.434等。

⑤有關化學平衡的計算結果（如求平衡狀態(tài)下某離子的濃度），一般應保留2位或3位有效數(shù)字。

⑥大多數(shù)情況下，表示誤差和偏差時，取1位有效數(shù)字即可，最多取2位有效數(shù)字。如，相對誤差D_r=0.1%或D_r=0.15%都可。

⑦在使用計算器進行多步運算時，過程中不必對每一步的計算結果進行修約，但應根據(jù)其準確度的要求，正確保留最后結果的有效數(shù)字。