2.2.3　利用有限差分法求解應(yīng)用問題的一般步驟

現(xiàn)仍以一維非穩(wěn)態(tài)傳熱問題為例，介紹利用有限差分法求解的一般步驟。其中，建立滿足實際應(yīng)用需要的差分格式（包括控制方程和初邊值條件）是求解問題的關(guān)鍵。

設(shè)一維對象的長度為L，材料的熱物性已知并為常數(shù)；初始條件為T₀（即被求解對象的初始溫度），邊界條件固定且已知為T_w（即對象兩端的界面溫度）。在此基礎(chǔ)上建立定解問題的微分格式如下

　　（2-86）

T（x，0）=T₀　　（2-87）

T（0，t）=T（L，t）=T_w　　（2-88）

式中　α=λ/（ρC_p）——熱擴散系數(shù)；

λ、ρ、C_p——材料的熱導(dǎo)率、密度和比熱。

①離散求解域（0<x<L，t>0）

　　（2-89）

式中　i=0→x_i=0；i=m→x_i=L。

②用時間向前差分和空間中間差分格式代替控制方程式（2-86）的對應(yīng)項

　　（2-90）

③將式（2-90）代入式（2-86）并改寫成顯式差分格式，同時將初邊值條件式（2-87）、式（2-88）也差分化，最后得

　　（2-91）

式中，。

④選擇適當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ㄇ蠼饩€性代數(shù)方程組［式（2-91）］。

⑤將求解結(jié)果用云圖、等值線、動畫等方式展示出來，供實際應(yīng)用參考。

從上述一般步驟可知，利用有限差分法求解工程問題不需要構(gòu)建形函數(shù)，也無積分矩陣計算，其數(shù)學(xué)處理要比有限元法簡潔得多。