2.3　邊界元法和有限體積法簡介

2.3.1　邊界元法

邊界元法（Boundary Element Method，BEM）是在綜合有限元法和經典邊界積分法基礎上發展起來的一種數值方法。邊界元法的中心思想是：以微分控制方程的基本解為權函數，利用加權余量法將區域積分轉化為邊界積分，并結合求解域邊界的離散，構建基于邊界單元的代數方程組，然后進行計算求解。同有限元法相比，邊界元法具有下述特點。

①網格的劃分只在求解域邊界上進行（圖2-20），使得其前處理工作量大大減少；

②一旦獲得邊界解，便可利用積分表達式直接求解域內任意一點的變量值，從而大大降低數值計算規模；

③基本解自身的奇異性導致邊界元法在求解奇異性問題時具有較高的計算精度；

④在處理載荷集中、半無限域等特殊問題上具有優勢。

邊界元法的弱點主要表現在：

①邊界元法以存在相應微分控制方程基本解為前提，而對于非均質和非線性問題其基本解很難獲得；

②基于邊界元法建立的代數方程組，其系數矩陣滿秩不對稱，不能有效利用有限元法開發的成熟技術進行計算求解；

③對非線性問題，由于在方程中會出現域內積分項，從而部分抵消了邊界元法只離散邊界的優點。

此外，同有限元法相比，邊界元法的研究、開發和應用歷史較短，所以，基于邊界元法的軟件系統功能及其商品化程度遠不如有限元法。

盡管如此，邊界元法的應用研究已經遍及彈性力學、斷裂、接觸、多相、耦合、大變形、塑性、黏彈塑性、熱傳導、熱彈性、流體巖土、電磁場、過程優化等多個領域。邊界元法在材料成形數值模擬領域也有涉足，例如，著名的注射成形分析軟件Moldflow利用基于邊界元法的程序來模擬塑件的冷卻過程和冷卻系統的熱交換過程。