2.2.2　有限差分?jǐn)?shù)學(xué)知識

2.2.2.1　差分概念與逼近誤差

（1）差分概念

設(shè)自變量x的解析函數(shù)為y=f（x），則根據(jù)微分學(xué)中的函數(shù)求導(dǎo)原理，有

　　（2-53）

式中　dy，dx——函數(shù)和自變量的微分；

dy/dx——函數(shù)對自變量的一階導(dǎo)數(shù)（亦稱微商）；

　Δy，Δx——函數(shù)和自變量的差分；

Δy/Δx——函數(shù)對自變量的一階差商。

因為Δx趨近于零的方向任意，所以，與微分對應(yīng)的差分項有三種表達(dá)方式

向前差分

Δy=f（x+Δx）-f（x）　　（2-54）

向后差分

Δy=f（x）-f（x-Δx）　　（2-55）

中心差分

　　（2-56）

仿照式（2-54）～式（2-56），可以推導(dǎo)出二階差分、二階差商和n階差分、n階差商的數(shù)學(xué)表達(dá)式。以向前差分和差商格式為例

　　（2-57）

　　（2-58）

　　（2-59）

　　（2-60）

以及多元函數(shù)差分、差商的一階、二階和n階等表達(dá)式，例如，自變量為x₁，x₂，…，x_n的多元函數(shù)f（x₁，x₂，…，x_n）的一階向前差商

　　 （2-61）

　　 （2-62）

　　 （2-63）

（2）逼近誤差

逼近誤差是指：當(dāng)自變量的差分（增量）趨近于零時，差商逼近導(dǎo)數(shù)的程度。如果逼近誤差在工程應(yīng)用允許的范圍內(nèi)，則可用差商代替導(dǎo)數(shù)求解實際問題。由函數(shù)的泰勒（Taylor）展開式，可以預(yù)測逼近誤差相對自變量差分的量級，該量級稱為差商代替導(dǎo)數(shù)的精度，簡稱差商的精度。

對于只有一個自變量的函數(shù)f（x），將其差分f（x+Δx）在x鄰域Δx內(nèi)作Taylor展開，有

　　（2-64）

基于式（2-64）可以證明，差商的逼近誤差（精度）與O［（Δx）ⁿ］的量級相當(dāng)，且一階向前、向后差商均具有一階精度（n=1）；而一階中心差商和二階中心差商具有二階精度（n=2）。

例如：針對一階向前差分，可將式（2-64）簡化成

f（x+Δx）=f（x）+Δxf'（x）+O（Δx）

或

當(dāng)Δx→0時

2.2.2.2　差分方程、截斷誤差和相容性

（1）差分方程

在數(shù)學(xué)上，微分和導(dǎo)數(shù)對應(yīng)于連續(xù)數(shù)域，而差分和差商對應(yīng)于離散數(shù)域。同理，在工程應(yīng)用上，微分方程用于求解連續(xù)對象問題，而差分方程用于求解離散對象問題。例如：求解一維非穩(wěn)態(tài)對流的初值問題，其微分格式為

　　（2-65）

式中　　　　 α——對流系數(shù)；

　ζ（x，t）——對流場函數(shù)；

——初始條件下的已知對流暢函數(shù)。

將式（2-65）的求解域離散成有限差分網(wǎng)格（見圖2-18），其中：Δx、Δt分別稱為空間步長和時間步長。通常，差分網(wǎng)格中的水平間距Δx取等步長（空間等距差分），當(dāng)然也可取變步長（空間變距差分）；而垂直間距Δt一般同Δx和α有關(guān)，當(dāng)Δx和α為常數(shù)時，Δt也取常數(shù)（時間等距差分）。對于等距差分，域內(nèi)任一節(jié)點（x_i，t_n）的坐標(biāo)可以用初始節(jié)點坐標(biāo)（x₀，0）表示，即

于是，初值問題式（2-65）在離散域節(jié)點（x_i，t_n）處可表示為

　　（2-66）

式中，α被假設(shè)為常數(shù)。若α是x的函數(shù)，則應(yīng)改寫成α_i。

如果式（2-66）中的時間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商、空間導(dǎo)數(shù)用一階中心差商表示，即

則有

　　（2-67）

式（2-67）即為一維對流問題的時間向前差分、空間中心差分（FTCS）格式。其中

被分別稱為一維非穩(wěn)態(tài)對流初值問題的差分格式控制方程（簡稱差分方程）和初始條件。

同理，還可用時間和空間均向前差分（FTFS），或時間向前、空間向后差分（FTBS）等格式表示初值問題［式（2-65）］。

三種差分格式的幾何示意見圖2-19。

（2）截斷誤差

根據(jù)2.2.1.2小節(jié)的逼近誤差分析可知，由于用時間向前差商代替時間導(dǎo)數(shù)、用空間中心差商代替空間導(dǎo)數(shù)時分別存在量級為O（Δt）和O［（Δx）²］的逼近誤差，因此，一維對流的微分方程與差分方程之間也存在某種誤差。數(shù)學(xué)上將這種用差分方程代替微分方程所引起的誤差稱為截斷誤差。可以證明，F(xiàn)TCS格式的截斷誤差為

　　（2-68）

而FTFS和FTBS格式的截斷誤差均為

　　（2-69）

上述兩式中的實際上代表了時間與空間的累積誤差，其誤差量級對于FTCS格式的差分方程而言為時間一階、空間二階；對于FTFS和FTBS格式的差分方程而言，時間和空間均為一階。

（3）定解問題的相容性

定解問題的相容性表示同一問題的差分格式與微分格式之間的逼近程度，取決于控制方程（即表征物理問題的數(shù)學(xué)方程）的逼近程度和定解條件（即初、邊值條件）的逼近程度。

①方程相容　設(shè)微分方程

D（ζ）=f　　（2-70）

對應(yīng)的差分方程

D_Δ（ζ）=f　　（2-71）

式中　D——微分算子；

　D_Δ——差分算子；

ζ——未知函數(shù)；

f——已知函數(shù)。

現(xiàn)用差分方程代替微分方程，于是有截斷誤差

R=D_Δ（?）-D（?）　　（2-72）

式中　?——定義在求解域上的一個足夠光滑的函數(shù)（例如代數(shù)函數(shù)）。

如果截斷誤差的范數(shù)‖R‖滿足

　　（2-73）

則差分方程與相應(yīng)的微分方程相容（方程相容），否則不相容。

②定解條件相容　設(shè)微分方程式（2-70）的定解條件

B（ζ）=g

差分方程式（2-71）的定解條件

B_Δ（ζ）=g

式中　B、B_Δ、g—— 微分算子、差分算子和已知函數(shù)。

用差分定解條件代替微分定解條件產(chǎn)生的誤差

r=B_Δ（?）-B（?）　　（2-74）

稱為定解條件截斷誤差。

如果定解條件截斷誤差的范數(shù)‖r‖滿足

　　（2-75）

則稱方程式（2-71）和式（2-70）的定解條件相容，否則不相容。

③定解問題相容　如果差分方程和微分方程相容，并且差分定解條件和微分定解條件也相容，即

　　（2-76）

則定解問題相容。換句話說，只有在式（2-76）成立的前提下，才可以用同一定解問題的差分格式代替微分格式進(jìn)行求解。

由于Δx、Δt→0有兩種情況，所以，定解問題相容也有兩種情況。當(dāng)Δx、Δt各自獨立趨近于零時，定解問題無條件相容；而當(dāng)其以一定關(guān)系（例如Δt=K×Δx）趨近于零時，定解問題條件相容。

2.2.2.3　收斂性與穩(wěn)定性

（1）差分解的收斂性

①收斂性定義　設(shè)：差分網(wǎng)格上任一節(jié)點（x_i，t_n）的差分解為，而該節(jié)點對應(yīng)的微分解為ζ（x_i，t_n），兩者之間的誤差（離散誤差）。

如果離散誤差的范數(shù)滿足

　　（2-77）

則差分格式的解收斂于相應(yīng)微分格式的定解。

可以證明，如果Δx、Δt各自獨立趨近于零，則差分解無條件收斂于微分解，反之，差分解條件收斂于微分解。

②相容性與收斂性的關(guān)系　相容性回答差分方程逼近微分方程、差分定解條件逼近微分定解條件的程度問題，即在什么前提下，可以用同一定解問題的差分格式代替微分格式求解。但是相容性并沒有說明獲得的對應(yīng)解之間存在多大誤差，即差分格式解能否收斂于微分格式解。收斂性回答在差分問題和微分問題相容的前提下，對應(yīng)解之間的逼近程度（即一致性）問題。

由于討論方程相容和定解條件相容時，是在定解問題的差分格式和微分格式具有同一解ζ（t，x）或定解域內(nèi)存在一個足夠光滑的函數(shù)?、并且可以在點（x_i，t_n）的鄰域內(nèi)對函數(shù)?作Taylor展開的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出的方程截斷誤差和定解條件截斷誤差。也就是說，截斷誤差R、r實質(zhì)上是在假設(shè)同一問題的差分格式和微分格式具有同一解的前提下，推導(dǎo)出的兩種方程、兩種定解條件之間的誤差。從收斂性定義可知，R、r并不代表定解問題的真正誤差，即不同格式對應(yīng)解之間的逼近程度，因為還存在著一個求解域的離散誤差。所以，定解問題的相容性僅僅是其解具有收斂性的必要條件。

（2）差分格式的穩(wěn)定性

差分格式的穩(wěn)定性是指定解條件的微小變化和計算誤差的累積是否對求解結(jié)果有顯著影響。由于差分格式的穩(wěn)定性與具體的差分格式有關(guān)，所以這里僅給出一種利用差分解判斷差分格式是否穩(wěn)定的通式。

設(shè)差分解，若式

‖Z‖≤K₁‖D_Δ（Z）‖+K₂‖B_Δ（Z）‖ 　　（2-78）

成立，則給定差分格式是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。也就是說，如果差分解的范數(shù)‖Z‖始終小于或等于差分方程范數(shù)與經(jīng)差分處理的定解條件范數(shù)之和，則差分格式是穩(wěn)定的。在式（2-78）中，D_Δ、B_Δ是對應(yīng)于微分方程和定解條件的差分算子；K₁、K₂是不受Δx→0、Δt→0影響的Lipschitz常數(shù)。若取

K=max（K₁，K₂）

則

　　（2-79）

差分格式的穩(wěn)定性有條件穩(wěn)定和完全穩(wěn)定之分。如果在一定條件下，某一節(jié)點解對后續(xù)節(jié)點解的影響很小或保持在某個限度內(nèi)，則該差分格式是條件穩(wěn)定的。如果在任何條件下得到的差分解都穩(wěn)定，則該差分格式是完全穩(wěn)定的。

2.2.2.4　相容性、收斂性和穩(wěn)定性之間的聯(lián)系

定解問題的相容性、差分解的收斂性和差分格式的穩(wěn)定性之間存在某種聯(lián)系，該聯(lián)系可以用Lax等價定理加以描述，即：對于一個適定的線性微分問題及一個與之相容的差分格式，如果該格式穩(wěn)定，則必收斂；不穩(wěn)定，則必不收斂。換言之，若線性微分問題適定，差分格式相容，則穩(wěn)定性是收斂性的必要和充分條件。

現(xiàn)給出Lax等價定理的簡單證明：設(shè)D、D_Δ分別為控制方程的線性微分算子和差分算子，B、B_Δ分別為定解條件的線性微分算子和差分算子，ζ、Z分別為微分格式解和差分格式解，f、g分別為對應(yīng)于控制方程和定解條件的已知函數(shù)，R、r分別為控制方程和定解條件的截斷誤差。

在定解域內(nèi)，有

上述對應(yīng)表達(dá)式相減，得

D_Δ（Z）-D（ζ）=0， B_Δ（Z）-B（ζ）=0

或

［D_Δ（Z）-D_Δ（ζ）］+［D_Δ（ζ）-D（ζ）］=0　　（2-80）

［B_Δ（Z）-B_Δ（ζ）］+［B_Δ（ζ）-B（ζ）］=0　　（2-81）

因D、D_Δ、B、B_Δ均為線性，故有

D_Δ（Z）-D_Δ（ζ）=D_Δ（Z-ζ）， D_Δ（ζ）-D（ζ）=R

B_Δ（Z）-B_Δ（ζ）=B_Δ（Z-ζ）， B_Δ（ζ）-B（ζ）=r

將其分別代回式（2-80）和式（2-81），得：

D_Δ（Z-ζ）=-R， B_Δ（Z-ζ）=-r　　（2-82）

若差分格式是穩(wěn)定的，則按穩(wěn)定性定義，存在

　　（2-83）

將式（2-82）中的兩個截斷誤差代入式（2-83）的對應(yīng)項，得

　　（2-84）

當(dāng)定解問題相容時，因

于是有

　　（2-85）

即差分解收斂于微分解。