2.2　有限差分法基礎

2.2.1　有限差分法的特點

有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是計算機數值模擬最早采用的方法之一，在材料成形領域的應用較為普遍，同有限元法一道成為材料成形計算機模擬的兩種主要方法。目前，有限差分法在材料加工的傳熱分析（如鑄造過程傳熱、鍛壓過程傳熱、焊接過程傳熱等）和流動分析（如鑄液充型、焊接熔池移動等）方面占有較大比例。特別是在流動場分析方面，有限差分法顯示出獨特的優勢，因而成為MAGMA（德國）、NOVACAST（瑞典）、華鑄CAE（中國）等鑄造模擬軟件的技術內核之一。此外，一向被認為是有限差分法弱項的應力分析，如今也在技術開發與工程應用上取得了長足進步。即使是在有限元法占主導地位的一些材料加工領域，也能見到有限差分法涉足的身影，例如材料非穩態成形中與時間交互相關的部分，常常用有限差分法進行離散求解。由此可以預見，隨著有限差分技術與計算機技術的不斷發展，有限差分法將在材料加工領域得到更加廣泛的應用。

有限差分法的基本思想是將連續求解域劃分成差分網格（最簡單的差分網格為矩形網格），用有限個節點代替原連續求解域，用差商代替控制微分方程中的導數，并在此基礎上建立含有限個未知數的節點差分方程組；代入初始條件和邊界條件后求解差分方程組，該差分方程組的解就是原微分方程定解問題的數值近似解。

有限差分法是一種直接將微分問題轉變成代數問題的近似數值解法，其最大特點是網格劃分規整，無需構建形函數，不存在單元分析和整體分析，數學建模簡便，但不太適合處理具有復雜邊界條件的工程問題。如圖2-17所示，有限差分網格在處理求解對象的幾何邊界上缺乏靈活性，即邊界節點沒有全部坐落在邊界線（面）上。有限差分法多用于傳熱、流動等工程問題的求解。

圖2-17　有限元網格（a）與有限差分網格（b）

構造有限差分的數學方法有多種，目前普遍采用的是泰勒（Taylor）級數展開法，即將展開式中求解連續場控制方程的導數用網格節點上函數值的差商代替，進而建立起基于網格節點函數為未知量的代數方程組。常見的差分格式有：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。考慮到時間因子的影響，差分格式可以分為顯格式、隱格式和顯隱交替格式等。通過不同差分格式的組合，可以靈活求解時間與空間的交互問題。