2.2　有限差分法基礎(chǔ)

2.2.1　有限差分法的特點(diǎn)

有限差分法（Finite Difference Method，F(xiàn)DM）是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法之一，在材料成形領(lǐng)域的應(yīng)用較為普遍，同有限元法一道成為材料成形計(jì)算機(jī)模擬的兩種主要方法。目前，有限差分法在材料加工的傳熱分析（如鑄造過程傳熱、鍛壓過程傳熱、焊接過程傳熱等）和流動分析（如鑄液充型、焊接熔池移動等）方面占有較大比例。特別是在流動場分析方面，有限差分法顯示出獨(dú)特的優(yōu)勢，因而成為MAGMA（德國）、NOVACAST（瑞典）、華鑄CAE（中國）等鑄造模擬軟件的技術(shù)內(nèi)核之一。此外，一向被認(rèn)為是有限差分法弱項(xiàng)的應(yīng)力分析，如今也在技術(shù)開發(fā)與工程應(yīng)用上取得了長足進(jìn)步。即使是在有限元法占主導(dǎo)地位的一些材料加工領(lǐng)域，也能見到有限差分法涉足的身影，例如材料非穩(wěn)態(tài)成形中與時(shí)間交互相關(guān)的部分，常常用有限差分法進(jìn)行離散求解。由此可以預(yù)見，隨著有限差分技術(shù)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，有限差分法將在材料加工領(lǐng)域得到更加廣泛的應(yīng)用。

有限差分法的基本思想是將連續(xù)求解域劃分成差分網(wǎng)格（最簡單的差分網(wǎng)格為矩形網(wǎng)格），用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)代替原連續(xù)求解域，用差商代替控制微分方程中的導(dǎo)數(shù)，并在此基礎(chǔ)上建立含有限個(gè)未知數(shù)的節(jié)點(diǎn)差分方程組；代入初始條件和邊界條件后求解差分方程組，該差分方程組的解就是原微分方程定解問題的數(shù)值近似解。

有限差分法是一種直接將微分問題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題的近似數(shù)值解法，其最大特點(diǎn)是網(wǎng)格劃分規(guī)整，無需構(gòu)建形函數(shù)，不存在單元分析和整體分析，數(shù)學(xué)建模簡便，但不太適合處理具有復(fù)雜邊界條件的工程問題。如圖2-17所示，有限差分網(wǎng)格在處理求解對象的幾何邊界上缺乏靈活性，即邊界節(jié)點(diǎn)沒有全部坐落在邊界線（面）上。有限差分法多用于傳熱、流動等工程問題的求解。

圖2-17　有限元網(wǎng)格（a）與有限差分網(wǎng)格（b）

構(gòu)造有限差分的數(shù)學(xué)方法有多種，目前普遍采用的是泰勒（Taylor）級數(shù)展開法，即將展開式中求解連續(xù)場控制方程的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值的差商代替，進(jìn)而建立起基于網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)函數(shù)為未知量的代數(shù)方程組。常見的差分格式有：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。考慮到時(shí)間因子的影響，差分格式可以分為顯格式、隱格式和顯隱交替格式等。通過不同差分格式的組合，可以靈活求解時(shí)間與空間的交互問題。