2.1.4　非線性問題的有限元法

前面結(jié)合有限元方程建立與應(yīng)用所舉的例子均為線性或穩(wěn)態(tài)問題，例如：平面剛度分析和平面穩(wěn)態(tài)熱傳導分析等。在材料成形領(lǐng)域，線彈性體系的剛度分析可用于各種成形模具、工裝夾具和焊接結(jié)構(gòu)等的開發(fā)與設(shè)計，穩(wěn)態(tài)傳熱分析可用于工件保溫、退火、自然冷卻、人工時效和砂型鑄模傳熱等過程模擬。然而，材料成形過程中大量遇到的卻是一些非線性工程問題，例如：固態(tài)金屬鍛壓中的冷、熱塑性變形，液態(tài)金屬充型中的流動、凝固與傳熱，固體材料熔化焊中的傳熱、物理冶金與焊縫凝固，熱塑性塑料注射成形中的黏性流動與冷卻固化，模具零件淬火熱處理中的傳熱與相變等。

有限元法在材料成形領(lǐng)域（如沖壓、鍛壓、鑄造、焊接、注射等）中應(yīng)用所涉及的某些專業(yè)知識，將根據(jù)需要分散到后續(xù)章節(jié)討論與補充，本小節(jié)僅簡要介紹與材料成形相關(guān)的非線性問題基本概念和求解非線性方程組的基本方法。

2.1.4.1　材料成形領(lǐng)域中的非線性問題

材料成形領(lǐng)域遇到的非線性問題主要體現(xiàn)在以下三個方面。

（1）材料非線性

材料非線性多指材料變形時的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）非線性。圖2-13分別為彈塑性、剛塑性、剛黏塑性和黏彈塑性材料在拉伸或壓縮變形時的典型應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

比較圖2-13中的各曲線特征可知，當前三類材料的變形進入塑性區(qū)后，均存在某種程度的應(yīng)變硬化現(xiàn)象，即隨著材料塑性變形量的增加，維持其變形所需的應(yīng)力（流動應(yīng)力）也增加，并且兩者之間的關(guān)系是非線性的；剛黏塑性材料與彈塑性材料的區(qū)別在于前者的彈性變形相對于其塑性變形可以忽略不計，即假設(shè)材料屈服前為剛性；剛塑性材料與剛黏塑性材料的區(qū)別在于后者的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系還與應(yīng)變速率有關(guān)；最后一類黏彈塑性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系屬于高度非線性，其典型代表為（中等結(jié)晶的）熱塑性塑料。

實際上，不同的成形加工方法會使同樣的材料呈現(xiàn)不同的非線性性質(zhì)。例如：金屬材料的沖壓成形，其應(yīng)力應(yīng)變遵循彈塑性本構(gòu)關(guān)系；熱鍛成形，遵循剛黏塑性本構(gòu)關(guān)系；鑄造成形，遵循牛頓黏性流體本構(gòu)關(guān)系。

（2）幾何非線性

幾何非線性是指由物體內(nèi)質(zhì)點的大位移和大轉(zhuǎn)動引起的非線性，力學上表現(xiàn)為研究對象的幾何方程不滿足線性關(guān)系。例如圖2-14所示的材料彎曲，塑變區(qū)的材料質(zhì)點不僅存在大位移，而且還存在某種程度的轉(zhuǎn)動。

（3）邊界非線性

邊界非線性是指邊界條件呈現(xiàn)非線性變化。例如：模鍛時，毛坯與模膛表面的接觸和摩擦（圖2-15），即使不考慮軟硬質(zhì)點的黏著問題，其接觸點3也不會沿模膛表面呈線性滑動。

2.1.4.2　求解非線性方程組的基本方法

無論是材料非線性問題或是幾何非線性問題，經(jīng)有限元法處理后，最終都將被歸結(jié)為求解非線性方程組。離散化的非線性方程組一般可表示為

K（a）a=Q　　（2-52）

或

Ψ（a）≡P（a）-Q≡K（a）a-Q=0

式中　　 a——未知場函數(shù)的近似解；

K（a）——非線性方程組的系數(shù)矩陣；

Q——外載荷列矩陣。

由式（2-52）可知，非線性方程組的系數(shù)矩陣是變量矩陣。在工程上，常常借助增量法將載荷或時間離散成若干個增量步，針對每一步載荷或時間增量，“線性化”方程組［式（2-52）］將非線性問題轉(zhuǎn)化成一系列線性問題進行求解。具體做法概括起來就是：

①離散載荷或時間為m個增量步；

②設(shè)全局載荷初值或時間初值，利用迭代法計算第一增量步（i=1）內(nèi)的“線性”方程組；

③當?shù)谝辉隽坎絻?nèi)的迭代計算誤差小于規(guī)定值后，即將最后一次的迭代結(jié)果作為第一增量步（當前增量步）的解；

④判斷m個增量步是否全部計算完畢，即不等式i>m是否成立；

⑤如果i≤m，則i=i+1，并以當前增量步的迭代解作為初值，進行下一增量步的迭代計算；

⑥循環(huán)第④、⑤步工作，直到i>m。

2.1.4.3　非線性有限元解的穩(wěn)定性

當利用增量-迭代混合法求解方程組［式（2-52）］時，增量步長的選取對有限元解的穩(wěn)定性影響極大。所謂有限元解的穩(wěn)定性是指：當載荷步或時間步的長度（步長）取不同值時，方程組［式（2-52）］的收斂誤差是否趨于恒定或波動最小。如果增量步長取任意值，誤差都不會無限增長，則稱有限元解為無條件穩(wěn)定；如果增量步長只有在滿足一定條件時，誤差才不會無限增長，則稱有限元解為條件穩(wěn)定。圖2-16表示計算某瞬態(tài)傳熱過程，當時間步長Δt分別取1.5和2.6時所對應(yīng)的有限元解收斂誤差變化軌跡，其中，橫坐標表示迭代次數(shù)，縱坐標表示迭代計算的收斂誤差。增量步長的選取受多種因素影響，具體方法請參閱后續(xù)章節(jié)的相關(guān)內(nèi)容。