2.1.3　有限元解的收斂性與誤差控制

基于單元形函數插值的有限元解是原應用問題的近似解。近似解是否收斂于真實解，近似解收斂速度有多快，近似解是否穩定，近似解誤差有多大，這些都是決定有限元法能否成功用于具體工程問題的關鍵。

2.1.3.1　解的收斂性

有限元解的收斂性取決于所構建的試探函數（插值函數）逼近真實函數的程度，因此，試探函數的選擇是關鍵。試探函數的選擇必須遵循兩條基本準則。

①完備性準則　如果出現在泛函表達式（2-6）中的場函數最高導數是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元內場函數的試探函數至少是m次完全多項式。

滿足完備性準則的單元被稱為完備單元。

②協調性準則　如果出現在泛函表達式（2-6）中的場函數最高導數是m階，則試探函數在單元的交界面上必須具有C_m-1連續性，即在相鄰單元的界面上，試探函數應具有直至m-1階連續導數。

滿足協調性準則的單元被稱為協調單元。

完備性是有限元解收斂的必要條件，而協調性是有限元解收斂的充分條件。顯然，對于絕大多數工程問題而言，選擇多項式作為單元插值函數一般都能滿足完備性和協調性準則。采用既完備又協調的單元離散求解域，所獲得的有限元解一定收斂，即當單元尺寸趨近于零時，有限元解趨近于真實解。但是，某些非協調單元在一定的條件下也能使有限元解收斂于真實解。

2.1.3.2　誤差來源與控制

有限元解的誤差主要來源于有限元建模誤差和數值計算誤差，其中，有限元建模誤差包括求解對象（域）離散誤差、邊界條件誤差和單元形狀誤差。圖2-8是有限元解的誤差組成。

（1）離散誤差

離散誤差有物理離散誤差與幾何離散誤差之分。前者是插值函數（試探函數）與真實函數之間的差異，后者是單元組合體與原求解對象在幾何形狀上的差異。

物理離散誤差量級可以定性地用下式估計

E=O（h^p-m+1）　?。?-51）

式中　h——單元特征尺寸；

　p——單元插值函數（一般為多項式）的最高階次；

　m——單元插值函數的最高導數階次。

對于三節點三角形單元，其插值函數是線性的，即p=1。由于求解位移不涉及插值函數的求導，所以m=0，于是可推斷出位移誤差的量級為O（h²），位移解的收斂速度量級與位移誤差相同，也為O（h²）。反之，節點位移與單元應變的幾何方程中存在位移函數的一階求導（m=1），故應變誤差的量級為O（h），應變解收斂速度的量級也為O（h）。同理，根據本構方程可推斷出應力誤差與應力解收斂速度的量級均為O（h）。由此可見，在彈性力學剛度分析中，節點位移誤差對其后應力應變解的精確度影響極大。

控制物理離散（即用插值函數代替真實函數）誤差的方法主要有以下兩種。

①減小單元特征尺寸　換句話說，就是增加網格劃分密度。通過減小單元特征尺寸來提高有限元解精確度的方法被稱之為h法。

②提高插值函數的階次　即采用較高階的多項式插值單元離散求解域。通過增加插值函數的階次來提高有限元解精確度的方法被稱之為p法。

此外，根據工程實際問題，混合使用高、低階插值函數單元離散求解域的不同部分，也是控制物理離散誤差的有效方法之一。

幾何離散誤差主要來自被離散對象的邊界。如圖2-9所示，中心帶孔的平面圓被四邊形單元均勻離散，其四邊形的直邊與內外圓周邊之間存在間隙（即幾何離散誤差）。控制幾何離散誤差常用的方法有如下兩種。

①網格局部加密（圖2-10）；

②選擇邊和（或）面上帶有節點的單元，因為這類單元的邊和（或）面可以彎曲（圖2-11）。

（2）邊界條件誤差

邊界條件誤差主要源于以下兩個方面。

①物理邊界的量化誤差　物理邊界量化誤差實際上包括邊界數據采集誤差和邊界數學模型誤差，前者與某些邊界條件的復雜性和邊界數據采集的難度有關，后者與邊界條件的理論研究和數學建模有關。例如：在鈑金件沖壓過程中，板料與模具之間的摩擦是動態變化的，而且依賴于具體的界面工況，很難準確地測定其摩擦數據，并利用基于理論分析與物理實驗的界面摩擦模型加以描述。

②邊界載荷等效移置誤差　這類誤差主要影響與邊界載荷等效移置相關的局部區域特征，而對工程問題的整體求解影響不大。

控制邊界條件誤差的途徑：針對第一種誤差，盡量采用各種先進的技術方法與實驗手段，準確測定工程問題求解所需的邊界數據；同時深入開展理論與實驗研究，不斷完善描述界面條件的數學模型。針對第二種誤差，細分重點關注的邊界區域網格（例如：模擬焊接熱應力時的熱影響區），以減少或消除因載荷等效移置帶來的求解精度損失。

（3）單元形狀誤差

單元形狀誤差由極度不規則的單元結構產生。例如：當如圖2-12所示三節點三角形單元的底高比（即a/b）非常大時，就會造成單元的嚴重畸變或退化，從而影響有限元求解精度，極端情況下還將導致求解失敗或數值計算無法進行。

單元形狀誤差的影響一般僅限于畸變單元內部或相鄰單元，因此，應有針對性地通過局部細分或單元編輯等方式調整關鍵區域（例如應力集中區）的網格。

（4）計算誤差

計算誤差可能來源于計算方法、程序設計、運算次數、誤差累積以及解題性質與解題規模等多個方面。計算誤差又分為舍入誤差和截斷誤差，前者主要與計算機內部用于數據存儲和字長處理、求解線性方程組和數值積分所需要的運算次數、數值計算采用的計算方法以及計算方法在程序實現中的誤差控制等因素有關，而后者主要與數值計算采用的計算方法、解題性質和解題規模有關。

對于計算誤差的控制，可根據實際計算情況，具體問題具體解決。例如：如果計算誤差是由解題規模過大引起，則應采用適當措施降低解題規模，以減少運算次數和由此帶來的累積誤差；如果屬于因計算方法選擇不當而導致計算效率降低和計算誤差增大，則應重新選擇高效高精度的計算方法。