第三節　描述對象特性的參數

當對象的輸入量變化后，輸出量究竟是如何變化的呢？這就是要研究的問題。顯然，對象輸出量的變化情況與輸入量的形式有關。為了使問題比較簡單起見，下面假定對象的輸入量是具有一定幅值的階躍作用。

前面已經講過，對象的特性可以通過其數學模型來描述，但是為了研究問題方便起見，在實際工作中，常用下面三個物理量來表示對象的特性。這些物理量，稱為對象的特性參數。

一、放大系數K

對于如圖2-2所示的簡單水槽對象，當流入流量Q₁有一定的階躍變化后，液位h也會有相應的變化，但最后會穩定在某一數值上。如果我們將流量Q₁的變化看作對象的輸入，而液位h的變化看作對象的輸出，那么在穩定狀態時，對象一定的輸入就對應著一定的輸出，這種特性稱為對象的靜態特性。

假定Q₁的變化量用ΔQ₁表示，h的變化量用Δh表示。在一定的ΔQ₁下，h的變化情況如圖2-12所示。在重新達到穩定狀態后，一定的ΔQ₁對應著一定的Δh值。令K等于Δh與ΔQ₁之比，用數學關系式表示，即

或

Δh=KΔQ₁　　（2-32）

K在數值上等于對象重新穩定后的輸出變化量與輸入變化量之比。它的意義也可以這樣來理解：如果有一定的輸入變化量ΔQ₁，通過對象就被放大了K倍變為輸出變化量Δh，則稱K為對象的放大系數。

對象的放大系數K越大，就表示對象的輸入量有一定變化時，對輸出量的影響越大。在工藝生產中，常常會發現有的閥門對生產影響很大，開度稍微變化就會引起對象輸出量大幅度的變化，甚至造成事故；有的閥門則相反，開度的變化對生產的影響很小。這說明在一個設備上，各種量的變化對被控變量的影響是不一樣的。換句話說，就是各種量與被控變量之間的放大系數有大有小。放大系數越大，被控變量對這個量的變化就越靈敏，這在選擇自動控制方案時是需要考慮的。

現以合成氨廠的變換爐為例，來說明各個量的變化對被控變量的放大系數是不相同的。圖2-13是一氧化碳變換過程示意圖。變換爐的作用，是將一氧化碳和水蒸氣在觸媒存在的條件下發生作用，生成氫氣和二氧化碳，同時放出熱量。生產過程要求一氧化碳的轉化率要高，蒸汽消耗量要少，觸媒壽命要長。生產上通常用變換爐一段反應溫度作為被控變量，來間接地控制轉換率和其他指標。

影響變換爐一段反應溫度的因素是很復雜的，其中主要有冷激流量、蒸汽流量和半水煤氣流量。改變閥門1、2、3的開度就可以分別改變冷激量、蒸汽量和半水煤氣量的大小。生產上發現，改變冷激量對被控變量溫度的影響最大、最靈敏；改變蒸汽量影響次之；改變半水煤氣量對被控變量溫度的影響最不顯著。如果改變冷激量、蒸汽量和半水煤氣量的百分數是相同的，那么變換爐一段反應溫度的變化情況如圖2-14所示。圖中曲線1、2、3分別表示冷激量、蒸汽量、半水煤氣量改變時的溫度變化曲線。由該圖可以看出，當冷激量、蒸汽量、半水煤氣量改變的相對百分數相同時，穩定以后，曲線1的溫度變化最大；曲線2次之；曲線3的溫度變化最小。這說明冷激量對溫度的相對放大系數最大；蒸汽量對溫度的相對放大系數次之；半水煤氣量對溫度的相對放大系數最小。

當然，究竟通過控制什么參數來改變被控變量為最好的控制方案，除了要考慮放大系數的大小之外，還要考慮許多其他因素，詳細分析將在第七章進行。

二、時間常數T

從大量的生產實踐中發現，有的對象受到干擾后，被控變量變化很快，較迅速地達到了穩定值；有的對象在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經過很長時間才能達到新的穩態值。從圖2-15中可以看到，截面積很大的水槽與截面積很小的水槽相比，當進口流量改變同樣一個數值時，截面積小的水槽液位變化很快，并迅速趨向新的穩態值。而截面積大的水槽惰性大，液位變化慢，須經過很長時間才能穩定。同樣道理，夾套蒸汽加熱的反應器與直接蒸汽加熱的反應器相比，當蒸汽流量變化時，直接蒸汽加熱的反應器內反應物的溫度變化就比夾套加熱的反應器來得快［如圖2-15（b）所示］。如何定量地表示對象的這種特性呢？在自動化領域中，往往用時間常數T來表示。時間常數越大，表示對象受到干擾作用后，被控變量變化得越慢，到達新的穩定值所需的時間越長。

為了進一步理解放大系數K與時間常數T的物理意義，下面結合圖2-2所示的水槽例子，來進一步加以說明。

由前面的推導可知，簡單水槽的對象特性可由式（2-10）來表示，現重新寫出

假定Q₁為階躍作用，t<0時Q₁=0；t≥0時Q₁=A，如圖2-16（a）所示。為了求得在Q₁作用下h的變化規律，可以對上述微分方程式求解，得

h（t）=KA（1-e^-t/T）　　（2-33）

上式就是對象在受到階躍作用Q₁=A后，被控變量h隨時間變化的規律，稱為被控變量過渡過程的函數表達式。根據式（2-33）可以畫出h～t曲線，稱為階躍反應曲線或飛升曲線，如圖2-16（b）所示。

從圖2-16反應曲線可以看出，對象受到階躍作用后，被控變量就發生變化，當t→∞時，被控變量不再變化而達到了新的穩態值h（∞），這時由式（2-33）可得

　　（2-34）

這就是說，K是對象受到階躍輸入作用后，被控變量新的穩定值與所加的輸入量之比，故是對象的放大系數。它表示對象受到輸入作用后，重新達到平衡狀態時的性能，是不隨時間而變的，所以是對象的靜態性能。

對于簡單水槽對象，由式（2-9）可知，K=R_s，即放大系數只與出水閥的阻力有關，當閥的開度一定時，放大系數就是一個常數。

下面再來討論時間常數T的物理意義。將t=T代入式（2-33），就可以求得

h（T）=KA（1-e^-1）=0.632KA　　（2-35）

將式（2-34）代入式（2-35）得

h（T）=0.632h（∞）　　（2-36）

這就是說，當對象受到階躍輸入后，被控變量達到新的穩態值的63.2%所需的時間，就是時間常數T，實際工作中，常用這種方法求取時間常數。顯然，時間常數越大，被控變量的變化也越慢，達到新的穩定值所需的時間也越大。在圖2-17中，四條曲線分別表示對象的時間常數為T₁、T₂、T₃、T₄時，在相同的階躍輸入作用下被控變量的反應曲線。假定它們的穩態輸出值均是相同的（圖中為100）。顯然，由圖可以看出，T₁<T₂<T₃<T₄。時間常數大的對象（例T₄所表示的對象），對輸入的反應比較慢，一般也可以認為它的慣性要大一些。

在輸入作用加入的瞬間，液位h的變化速度是多大呢？將式（2-33）對時間t求導得

　　　　　　（2-37）

由上式可以看出，在過渡過程中，被控變量變化速度是越來越慢的，當t=0時，有

　　（2-38）

當t→∞時，由式（2-37）可得

　　（2-39）

式（2-38）所表示的是t=0時液位變化的初始速度。從圖2-18所示的反應曲線來看，就等于曲線在起始點時切線的斜率。由于切線的斜率為，從圖2-18可以看出，這條切線在新的穩定值h（∞）上截得的一段時間正好等于T。因此，時間常數T的物理意義可以這樣來理解：當對象受到階躍輸入作用后，被控變量如果保持初始速度變化，達到新的穩態值所需的時間就是時間常數。可是實際上被控變量的變化速度是越來越小的。所以，被控變量變化到新的穩態值所需要的時間，要比T長得多。理論上說，需要無限長的時間才能達到穩態值。從式（2-33）可以看出，只有當t=∞時，才有h=KA。但是當t=3T時，代入式（2-33），便得

h（3T）=KA（1-e^-3）≈0.95KA≈0.95h（∞）　　（2-40）

這就是說，從加入輸入作用后，經過3T時間，液位已經變化了全部變化范圍的95%，這時，可以近似地認為動態過程基本結束。所以，時間常數T是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過程所需要的時間的一個重要參數。

三、滯后時間τ

前面介紹的簡單水槽對象在受到輸入作用后，被控變量立即以較快的速度開始變化，如圖2-11所示。這是一階對象在階躍輸入作用下的反應曲線。這種對象用時間常數T和放大系數K兩個參數就可以完全描述了它們的特性。但是有的對象，在受到輸入作用后，被控變量卻不能立即而迅速地變化，這種現象稱為滯后現象。根據滯后性質的不同，可分為兩類，即傳遞滯后和容量滯后。

1.傳遞滯后

傳遞滯后又叫純滯后，一般用τ₀表示。τ₀的產生一般是由于介質的輸送需要一段時間而引起的。例如圖2-19（a）所示的溶解槽，料斗中的固體用皮帶輸送機送至加料口。在料斗加大送料量后，固體溶質需等輸送機將其送到加料口并落入槽中后，才會影響溶液濃度。當以料斗的加料量作為對象的輸入，溶液濃度作為輸出時，其反應曲線如圖2-19（b）所示。圖中所示的τ₀為皮帶輸送機將固體溶質由加料斗輸送到溶解槽所需要的時間，稱為純滯后時間。顯然，純滯后時間τ₀與皮帶輸送機的傳送速度v和傳送距離L有如下關系

　　（2-41）

另外，從測量方面來說，由于測量點選擇不當、測量元件安裝不合適等原因也會造成傳遞滯后。圖2-20是一個蒸汽直接加熱器。如果以進入的蒸汽量q為輸入量，實際測得的溶液溫度為輸出量。并且測溫點不是在槽內，而是在出口管道上，測溫點離槽的距離為L。那么，當加熱蒸汽量增大時，槽內溫度升高，然而槽內溶液流到管道測溫點處還要經過一段時間τ₀。所以，相對于蒸汽流量變化的時刻，實際測得的溶液溫度T要經過時間τ₀后才開始變化。這段時間τ₀亦為純滯后時間。由于測量元件或測量點選擇不當引起純滯后的現象在成分分析過程中尤為常見。安裝成分分析儀器時，取樣管線太長，取樣點安裝離設備太遠，都會引起較大的純滯后時間，這是在實際工作中要盡量避免的。

圖2-21所示為有、無純滯后的一階階躍響應曲線。x為輸入量，y（t）為無純滯后時的輸出量，y_τ（t）為有純滯后時的輸出量。比較兩條響應曲線，它們除了在時間軸上前后相差一個τ的時間外，其他形狀完全相同。也就是說純滯后對象的特性是當輸入量發生變化時，其輸出量不是立即反映輸入量的變化，而是要經過一段純滯后時間τ以后，才開始等量地反映原無滯后時的輸出量的變化。表示成數學關系式為

　　（2-42）

或        

　　（2-43）

因此對于有、無純滯后特性的對象其數學模型具有類似的形式。如果上述例子中都是可以用一階微分方程式來描述的一階對象，而且它們的時間常數和放大系數亦相等，僅在自變量t上相差一個τ的時間，那么，若無純滯后的對象特性可以用下述方程式描述

　　        （2-44）

則有純滯后的對象特性可以用下述方程式描述

　　（2-45）

2.容量滯后

有些對象在受到階躍輸入作用x后，被控變量y開始變化很慢，后來才逐漸加快，最后又變慢直至逐漸接近穩定值，這種現象叫容量滯后或過渡滯后，其反應曲線如圖2-22所示。

容量滯后一般是由于物料或能量的傳遞需要通過一定阻力而引起的。如前面介紹過的兩個水槽串聯的二階對象，其特性可用式（2-27）的微分方程式描述，為了方便起見，將輸出量h₂用y表示，輸入量Q₁用x表示，則方程式可寫為

　　（2-46）

假定輸入作用為階躍函數，其幅值為A。為了得到該二階對象在階躍作用下輸出y隨時間t的變化規律，需要求解上述二階微分方程式。已知，二階常系數微分方程式的解是

y（t）=y_tr（t）+y_ss（t）　　（2-47）

其中y_tr（t）為對應的齊次方程式的通解，y_ss（t）為非齊次方程的一個特解。

由于對應的齊次方程式為

　　（2-48）

其特征方程為

T₁T₂S²+（T₁+T₂）S+1=0　　（2-49）

求得特征根為        

故齊次方程式的通解為

　　（2-50）

式中，C₁、C₂為決定于初始條件的待定系數。

式（2-46）的一個特解可以認為是穩定解，由于輸入x=A，穩定時

y_ss（t）=KA　　（2-51）

將式（2-51）及式（2-50）代入式（2-47），可得

　　（2-52）

用初始條件代入式（2-52），可分別解得

　　（2-53）

　　（2-54）

將上述兩式代入式（2-52），可得

　　（2-55）

上式便是串聯水槽對象的階躍反應函數。由此式可知，在t=0時y（t）=0；在t=∞時，y（t）=KA。y（t）是穩態值KA與兩項衰減指數函數的代數和。因而把這個解畫成曲線，就有如圖2-22所示的形狀。這說明輸入量在作階躍變化的瞬間，輸出量變化的速度等于零，以后隨著t的增加，變化速度慢慢增大，但當t大于某一個t₁值后，變化速度又慢慢減小，直至t→∞時，變化速度減少為零。

對于這種對象，要想用前面所講的描述對象的三個參數K、T、τ來描述的話，必須作近似處理，即用一階對象的特性（是有滯后）來近似上述二階對象。方法如下：在圖2-23所示的二階對象階躍反應曲線上，過反應曲線的拐點O作一切線，與時間軸相交，交點與被控變量開始變化的起點之間的時間間隔τ_h就為容量滯后時間。由切線與時間軸的交點到切線與穩定值KA線的交點之間的時間間隔為T。這樣，二階對象就被近似為是有滯后時間τ=τ_h，時間常數為T的一階對象了。

純滯后和容量滯后盡管本質上不同，但實際上很難嚴格區分，在容量滯后與純滯后同時存在時，常常把兩者合起來統稱滯后時間τ，即τ=τ₀+τ_h，如圖2-24所示。

不難看出，自動控制系統中，滯后的存在是不利于控制的。也就是說，系統受到干擾作用后，由于存在滯后，被控變量不能立即反映出來，于是就不能及時產生控制作用，整個系統的控制質量就會受到嚴重的影響。當然，如果對象的控制通道存在滯后，那么所產生的控制作用不能及時克服干擾作用對被控變量的影響，也要影響控制質量的。所以，在設計和安裝控制系統時，都應當盡量把滯后時間減到最小。例如，在選擇控制閥與檢測點的安裝位置時，應選取靠近控制對象的有利位置。從工藝角度來說，應通過工藝改進，盡量減少或縮短那些不必要的管線及阻力，以利于減少滯后時間。