第二節　對象數學模型的建立

一、建模目的

建立被控對象的數學模型，其主要目的可歸結為以下幾種。

（1）控制系統的方案設計　對被控對象特性的全面和深入地了解，是設計控制系統的基礎。例如控制系統中被控變量及檢測點的選擇、操縱變量的確定、控制系統結構形式的確定等都與被控對象的特性有關。

（2）控制系統的調試和控制器參數的確定　為了使控制系統能安全投運并進行必要的調試，必須對被控對象的特性有充分的了解。另外，在控制器控制規律的選擇及控制器參數的確定時，也離不開對被控對象特性的了解。

（3）制定工業過程操作優化方案　操作優化往往可以在基本不增加投資與設備的情況下，獲取可觀的經濟效益。這樣一個命題的解決離不開對被控對象特性的了解，而且主要是依靠對象的靜態數學模型。

（4）新型控制方案及控制算法的確定　在用計算機構成一些新型控制系統時，往往離不開被控對象的數學模型。例如預測控制、推理控制、前饋動態補償等都是在已知對象數學模型的基礎上才能進行的。

（5）計算機仿真與過程培訓系統　利用開發的數學模型和系統仿真技術，使操作人員有可能在計算機上對各種控制策略進行定量的比較與評定，有可能在計算機上仿效實際的操作，從而高速、安全、低成本地培訓工程技術人員和操作工人，有可能制定大型設備啟動和停車的操作方案。

（6）設計工業過程的故障檢測與診斷系統　利用開發的數學模型可以及時發現工業過程中控制系統的故障及其原因，并能提供正確的解決途徑。

二、機理建模

機理建模是根據對象或生產過程的內部機理，列寫出各種有關的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、動量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、設備的特性方程、化學反應定律、電路基本定律等，從而獲取對象（或過程）的數學模型，這類模型通常稱為機理模型。應用這種方法建立的數學模型，其最大優點是具有非常明確的物理意義，所得的模型具有很大的適應性，便于對模型參數進行調整。但是，由于化工對象較為復雜，某些物理、化學變化的機理還不完全了解，而且線性的并不多，加上分布參數元件又特別多（即參數同時是位置與時間的函數），所以對于某些對象，人們還難以寫出它們的數學表達式，或者表達式中的某些系數還難以確定。

下面通過一些簡單的例子來討論機理建模的方法。

1.一階對象

當對象的動態特性可以用一階微分方程式來描述時，一般稱為一階對象。

（1）水槽對象　圖2-2是一個水槽，水經過閥門1不斷地流入水槽，水槽內的水又通過閥門2不斷流出。工藝上要求水槽的液位h保持一定數值。在這里，水槽就是被控對象，液位h就是被控變量。如果閥門2的開度保持不變，而閥門1的開度變化是引起液位變化的干擾因素。那么，這里所指的對象特性，就是指當閥門1的開度變化時，液位h是如何變化的。在這種情況下，對象的輸入量是流入水槽的流量Q₁，對象的輸出量是液位h。下面推導表征h與Q₁之間關系的數學表達式。

在生產過程中，最基本的關系是物料平衡和能量平衡。當單位時間流入對象的物料（或能量）不等于流出對象的物料（或能量）時，表征對象物料（或能量）蓄存量的參數就要隨時間而變化，找出它們之間的關系，就能寫出描述它們之間關系的微分方程式。因此，列寫微分方程式的依據可表示為

對象物料蓄存量的變化率=單位時間流入對象的物料-單位時間流出對象的物料

上式中的物料量也可以表示為能量。

以圖2-2的水槽對象為例，截面積為A的水槽，當流入水槽的流量Q₁等于流出水槽的流量Q₂時，系統處于平衡狀態，即靜態，這時液位h保持不變。

假定某一時刻Q₁有了變化，不再等于Q₂，于是h也就變化，h的變化與Q₁的變化究竟有什么關系呢？這必須從水槽的物料平衡來考慮，找出h與Q₁的關系，這是推導表征h與Q₁關系的微分方程式的根據。

在用微分方程式來描述對象特性時，往往著眼于一些量的變化，而不注重這些量的初始值。所以下面在推導方程的過程中，假定Q₁、Q₂、h都代表它們偏離初始平衡狀態的變化值。

如果在很短一段時間dt內，由于Q₁不等于Q₂，引起液位變化了dh，此時，流入和流出水槽的水量之差（Q₁-Q₂）dt應該等于水槽內增加（或減少）的水量Adh，若用數學式表示，就是

（Q₁-Q₂）dt=Adh　　（2-4）

上式就是微分方程式的一種形式。在這個式子中，還不能一目了然地看出h與Q₁的關系。因為在水槽出水閥2開度不變的情況下，隨著h的變化，Q₂也會變化。h越大，靜壓頭越大，Q₂也會越大。也就是說，在式（2-4）中，Q₁、Q₂、h都是時間的變量，如何消去中間變量Q₂，得出h與Q₁的關系式呢？

如果考慮變化量很微小（由于在自動控制系統中，各個變量都是在它們的額定值附近做微小的波動，因此做這樣的假定是允許的），可以近似認為Q₂與h成正比，與出水閥的阻力系數R_s成反比，用式子表示為

　　（2-5）

將此關系式代入式（2-4），便有

　　（2-6）

移項整理后可得        

　　（2-7）

令

T=AR_s　　（2-8）

 K=R_s　　（2-9）

代入式（2-7），便有

　　（2-10）

這就是用來描述簡單的水槽對象特性的微分方程式。它是一階常系數微分方程式，式中T稱時間常數，K稱放大系數。

（2）RC電路　圖2-3為RC電路，若取e_i為輸入參數，e_o為輸出參數，根據基爾霍夫定律可得

        e_i=iR+e_o　　（2-11）

顯然i為中間變量，應消去。因為

　　（2-12）

聯立式（2-11）與式（2-12），得

　　（2-13）

或        

　　（2-14）

式中        T=RC

式（2-14）就是描述RC電路特性的方程式，它與描述水槽特性的式（2-10）是類似的，都是一階常系數微分方程式，只不過在式（2-14）中，放大系數K=1罷了。

2.積分對象

當對象的輸出參數與輸入參數對時間的積分成比例關系時，稱為積分對象。

圖2-4所示的液體貯槽，就具有積分特性。因為貯槽中的液體由正位移泵抽出，因而從貯槽中流出的液體流量Q₂將是常數，它的變化量為0。因此，液位h的變化就只與流入量的變化有關。如果以h、Q₁分別表示液位和流入量的變化量，那么就有

　　（2-15）

式中，A為貯槽橫截面積。

對式（2-15）積分，可得

　　（2-16）

這說明圖2-4所示貯槽具有積分特性。

3.二階對象

當對象的動態特性可以用二階微分方程式來描述時，一般稱為二階對象。

（1）串聯水槽對象　對于圖2-5所示的兩貯槽串聯，其表征對象特性的微分方程式的建立和一只貯槽的情況類似。假定這時對象的輸入量是Q₁，輸出量是h₂，也就是研究當輸入流量Q₁變化時第二只貯槽的液位h₂的變化情況。同樣假定輸入、輸出量變化很小的情況下，貯槽的液位與輸出流量具有線性關系。即

　　（2-17）

　　（2-18）

式中，R₁、R₂分別表示第一只貯槽的出水閥與第二只貯槽的出水閥的阻力系數。

另外，假定每只貯槽的截面積都為A，則對于每只貯槽，都具有與式（2-4）相同的物料平衡關系，即

（Q₁-Q₁₂）dt=Adh₁　　（2-19）

（Q₁₂-Q₂）dt=Adh₂　　（2-20）

由以上四個方程式，經過簡單的推導和整理，消去中間變量Q₁₂、Q₂、h₁，可得輸出量h₂與輸入量Q₁之間的關系式。為此將式（2-19）和式（2-20）寫成如下形式

　　（2-21）

　　（2-22）

由式（2-22）解得

　　（2-23）

將式（2-18）代入式（2-23），然而再代入式（2-21）得

　　（2-24）

將式（2-18）與式（2-17）代入式（2-22），并求導，得到

　　（2-25）

將式（2-24）代入式（2-25），并整理后得

　　（2-26）

或寫成        

　　（2-27）

式中，T₁=AR₁為第一只貯槽的時間常數；T₂=AR₂為第二只貯槽的時間常數；K=R₂為整個對象的放大系數。

這就是用來描述兩只貯槽串聯的對象的微分方程式，它是一個二階常系數微分方程式。

（2）RC串聯電路　圖2-6是兩個形式相同的RC電路串聯而成的濾波電路，根據基爾霍夫定律可寫出下列方程

　　（2-28）

　　（2-29）

　　（2-30）

由以上三個方程，消去中間變量，可得

　　（2-31）

這也是一個二階常系數微分方程式，說明RC串聯電路是一個二階對象。

以上通過推導，可以得到描述對象特性的微分方程式。對于其他類型的簡單對象，也可以用這種方法來研究。但是，對于比較復雜的對象，用這種數學方法來研究就比較困難，而且所得微分方程式也不像上述那么簡單。

三、實驗建模

前面討論了應用數學描述方法求取對象（或環節）的特性。雖然這種方法具有較大的普遍性，然而在化工生產中，許多對象的特性很復雜，往往很難通過內在機理的分析，直接得到描述對象特性的數學表達式，且這些表達式（一般是高階微分方程式或偏微分方程式）也較難求解；另一方面，在這些推導的過程中，往往作了許多假定和假設，忽略了很多次要因素。但是在實際工作中，由于條件的變化，可能某些假定與實際不完全相符，或者有些原來次要的因素上升為不能忽略的因素，因此，要直接利用理論推導得到的對象特性作為合理設計自動控制系統的依據，往往是不可靠的。在實際工作中，常常用實驗的方法來研究對象的特性，它可以比較可靠地得到對象的特性，也可以對通過機理分析得到的對象特性加以驗證或修改。

所謂對象特性的實驗測取法，就是在所要研究的對象上，加上一個人為的輸入作用（輸入量），然后，用儀表測取并記錄表征對象特性的物理量（輸出量）隨時間變化的規律，得到一系列實驗數據（或曲線）。這些數據或曲線就可以用來表示對象的特性。有時，為了進一步分析對象的特性，對這些數據或曲線再加以必要的數據處理，使之轉化為描述對象特性的數學模型。

這種應用對象的輸入輸出的實測數據來決定其模型的結構和參數，通常稱為系統辨識。它的主要特點是把被研究的對象視為一個黑匣子，完全從外部特性上來測試和描述它的動態特性，因此不需要深入了解其內部機理，特別是對于一些復雜的對象，實驗建模比機理建模要簡單和省力。

對象特性的實驗測取法有很多種，這些方法往往是以所加輸入形式的不同來區分的，下面作一簡單的介紹。

1.階躍反應曲線法

所謂測取對象的階躍反應曲線，就是用實驗的方法測取對象在階躍輸入作用下，輸出量y隨時間的變化規律。

例如要測取圖2-7所示簡單水槽的動態特性，這時，表征水槽工作狀況的物理量是液位h，我們要測取輸入流量Q₁改變時，輸出h的反應曲線。假定在時間t₀之前，對象處于穩定狀況，即輸入流量Q₁等于輸出流量Q₂，液位h維持不變。在t₀時，突然開大進水閥，然后保持不變。Q₁改變的幅度可以用流量儀表測得，假定為A。這時若用液位儀表測得h隨時間的變化規律，便是簡單水槽的反應曲線，如圖2-8所示。

這種方法比較簡單。如果輸入量是流量，只要將閥門的開度作突然的改變，便可認為施加了階躍干擾。因此不需要特殊的信號發生器，在裝置上進行極為容易。輸出參數的變化過程可以利用原來的儀表記錄下來（若原來的儀表精度不符合要求，可改用具有高靈敏度的快速記錄儀），不需要增加特殊儀器設備，測試工作量也不大。總的說來，階躍反應曲線法是一種比較簡易的動態特性測試方法。

這種方法也存在一些缺點。主要是對象在階躍信號作用下，從不穩定到穩定一般所需時間較長，在這樣長的時間內，對象不可避免要受到許多其他干擾因素的影響，因而測試精度受到限制。為了提高精度，就必須加大所施加的輸入作用幅值，可是這樣做就意味著對正常生產的影響增加，工藝上往往是不允許的。一般所加輸入作用的大小是取額定值的5%～10%。因此，階躍反應曲線法是一種簡易但精度較差的對象特性測試方法。

2.矩形脈沖法

當對象處于穩定工況下，在時間t₀突然加一階躍干擾，幅值為A，到t₁時突然除去階躍干擾，這時測得的輸出量y隨時間的變化規律，稱為對象的矩形脈沖特性，而這種形式的干擾稱為矩形脈沖干擾，如圖2-9所示。

用矩形脈沖干擾來測取對象特性時，由于加在對象上的干擾，經過一段時間后即被除去，因此干擾的幅值可取得比較大，以提高實驗精度，對象的輸出量又不至于長時間地偏離給定值，因而對正常生產影響較小。目前，這種方法也是測取對象動態特性的常用方法之一。

除了應用階躍干擾與矩形脈沖干擾作為實驗測取對象動態特性的輸入信號形式外，還可以采用矩形脈沖波和正弦信號（分別見圖2-10與圖2-11）等來測取對象的動態特性，分別稱為矩形脈沖波法與頻率特性法。

上述各種方法都有一個共同的特點，就是要在對象上人為地外加干擾作用（或稱測試信號），這在一般的生產中是允許的，因為一般加的干擾量比較小，時間不太長，只要自動化人員與工藝人員密切配合，互相協作，根據現場的實際情況，合理地選擇以上幾種方法中的一種，是可以得到對象的動態特性的，從而為正確設計自動化系統創造有利的條件。由于對象動態特性對自動化工作有著非常重要的意義，因此只要有可能，就要創造條件，通過實驗來獲取對象的動態特性。

近年來，對于一些不宜施加人為干擾來測取特性的對象，可以根據在正常生產情況下長期積累下來的各種參數的記錄數據或曲線，用隨機理論進行分析和計算，來獲取對象的特性。這在自動化技術及計算工具進一步發展的基礎上，是一種研究對象特性的有效方法。為了提高測試精度和減少計算量，也可以利用專用的儀器，在系統中施加對正常生產基本上沒有影響的一些特殊信號（例如偽隨機信號），然后對系統的輸入輸出數據進行分析處理，可以比較準確地獲得對象動態特性。

機理建模與實驗建模各有其特點，目前一種比較實用的方法是將兩者結合起來，稱為混合建模。這種建模的途徑是先由機理分析的方法提供數學模型的結構形式，然后對其中某些未知的或不確定的參數利用實測的方法給予確定。這種在已知模型結構的基礎上，通過實測數據來確定其中的某些參數，稱為參數估計。以換熱器建模為例，可以先列寫出其熱量平衡方程式，而其中的換熱系數K值等可以通過實測的試驗數據來確定。