2.2　導熱

2.2.1　傅里葉定律

傅里葉（Fourier）定律是熱傳導的基本定律。對于一個由均勻材料構成的平壁導熱，經驗表明在單位時間內通過平壁的導熱速率與垂直熱流方向的導熱面積及導熱壁兩側的溫度差成正比，與平壁厚度成反比。如圖2-3所示，固體中的導熱可用微分方法來研究，設平壁薄層厚度為dn，以微分表示，則

　　        （2-1）

引入常數λ改寫成等式有

　　        （2-2）

式中　λ——比例系數，稱作熱導率，W/（m·K）；

A——垂直于熱流方向的導熱面積，m²；

dT——厚度為dn的導熱層兩側的溫度差，K；

dn——導熱層的厚度，m。

式右邊負號的意義表明熱流方向總是與溫度降低的方向一致。

2.2.2　熱導率

根據式（2-1），熱導率λ的物理意義是：當A=1m²、dn=1m、dT=1K時，導熱速率等于熱導率。

熱導率是各種物質的一項物理性質，其大小取決于物質自身的性質，它是物質導熱性能的標志，熱導率值愈小，導熱性能越差，反之則物體的導熱性能越好。它與物質的組成、密度、溫度及壓力有關。工程中所用各種物質的熱導率，一般由實驗測定。各種實驗表明：金屬的熱導率最大，其次為非金屬固體，液體又次之，而氣體最小。如銀在273K的λ=418W/（m·K），而空氣在273K時的λ=0.0244W/（m·K）。

（1）固體的熱導率

金屬是固體中良好的導熱體。如373K下純銅的λ值為377W/（m·K），黃銅的λ值為104W/（m·K）。制造過程設備常用的碳素鋼的λ=45W/（m·K），而293K時不銹鋼的λ=16W/（m·K）。熱導率隨溫度的改變而變化。

非金屬的建筑材料或隔熱材料的熱導率一般很小，其λ值常是隨著密度增大而提高，也隨著溫度的升高而增大，這一情況與金屬是不同的。

表2-1列出了部分固體物質在273～373K時的λ值。

（2）液體的熱導率

實驗證明，非金屬液體中水的熱導率最大。圖2-4所示為14種常見液體的熱導率隨溫度變化的曲線。除水和無水甘油以外，其余液體的熱導率隨著溫度升高略有減小。混合溶液的熱導率應由實驗測定，若缺乏實驗條件，可取純溶液的λ值進行估算。

有機混合溶液的熱導率估算式如下：

λ_m=0.9∑x_miλ_i　　        （2-3）

式中　λ_m——混合液的熱導率，W/（m·K）；

x_mi——混合液中第i組分液體的質量分數；

λ_i——混合液中第i組分液體的熱導率，W/（m·K）。

（3）氣體的熱導率

氣體的熱導率隨溫度升高而增大，在一般情況下隨壓強變化不大，可忽略不計。在高于19.6MPa或低于0.00266MPa的壓力下，不能忽略壓力對熱導率的影響，此時λ值隨壓力增高而增大。氣體的熱導率一般在0.93～0.58W/（m·K）之間，可見氣體對導熱不利，但對隔熱有利。工業上采用的保溫瓦、玻璃棉就是因為它們內部有較大的空隙并存在著空氣，因而熱導率很小，被廣泛用作保溫絕熱材料。

表2-2中列出了一些氣體在不同溫度下熱導率λ的值。

2.2.3　單層和多層平壁導熱

（1）單層平壁導熱

圖2-5所示單層平壁導熱取自圖2-3的剖切面。壁的厚度為δ，兩側表面溫度為T_l、T₂，設T₁>T₂，溫度只沿垂直于壁面的方向變化，平壁面積為A，設兩壁面溫度相差不大，熱導率λ取作常數。在穩定導熱條件下，式（2-2）中的q、A為常數，把公式分離變量并積分：

　　        （2-4）

則有

　　        （2-5）

整理得：

　　        （2-6）

式（2-6）為單層平壁穩定導熱速率方程式，而且可改寫成：

　　        （2-7）

式中單層平壁導熱的熱阻R_λ：

　　        （2-8）

將式（2-7）與電路的歐姆定律比較，即導熱速率、溫度差、熱阻與電流、電位差、電阻兩者進行類比是容易理解的。應用熱阻的概念來分析傳熱過程，為建立復雜的傳熱速率方程提供了極大的方便。

（2）多層平壁導熱

由若干層不同的材料組成的復合壁為多層壁。圖2-6所示的是由三種不同材料組成的三層平壁的剖面圖，各層厚度分別為δ₁、δ₂、δ₃，熱導率分別為λ₁、λ₂、λ₃，復合壁兩側面的溫度分別為T₁和T₄，假定層與層之間緊貼，接觸良好，則交界面的溫度為T₂和T₃，所以三層平壁溫度的變化由三段折線組成。

借助單層平壁導熱速率方程，并與串聯電路類比，可直接寫出三層平壁的總導熱速率方程式：

　　        （2-9）

式中　q——導熱速率，W；

ΔT——三層平壁總溫度差，又稱傳熱推動力，K；

R_λ總——導熱總熱阻，為各層熱阻之和，K/W。

由圖2-6可知

　　        （2-10）

總熱阻由三個串聯的分熱阻構成，即

　　        （2-11）

對于更多層的平壁導熱，式（2-9）中的ΔT和R_λ總可以依此類推。

考慮單位面積上的導熱速率時，可用物理量熱流強度q_F（W/m²）表示。此時單層平壁的熱流強度q_F為：

　　        （2-12）

二層平壁的熱流強度q_F為：

　　        （2-13）

…

依此類推，可得n層平壁的熱流強度q_F為：

　　        （2-14）

2.2.4　單層和多層圓筒壁導熱

（1）單層圓筒壁導熱

圓筒壁導熱與平壁導熱的不同點僅在于傳熱面積隨半徑的改變而變化，導熱面積不是常量。

設圓筒內壁溫度高于外壁溫度，即T₁>T₂，熱流的方向沿半徑指向外壁。研究內半徑為r₁、外半徑為r₂、長度為L的薄壁圓筒的導熱問題，截出如圖2-7所示的部分筒壁。T軸與圓筒軸線重合，n沿半徑方向。在圓筒壁的半徑r處并沿半徑方向取微小厚度dr的圓筒，其導熱面積A=2πrLdr，小薄層壁的溫度變化為dT，設材料的熱導率為λ，可將式（2-2）寫為：

　　        （2-15）

負號仍表示熱流的方向與溫度降低的方向一致。

整理得圓筒穩定導熱條件下的速率方程式

　　        （2-16）

式中　d₁——圓筒的內壁直徑，m；

d₂——圓筒的外壁直徑，m。

對長度為L的單層圓筒，把式（2-16）改寫如下：

　　        （2-17）

其中單層圓筒的導熱熱阻可表示為：

　　        （2-18）

如引入單層圓筒內外壁面的某種平均面積A_m，可將其導熱速率方程寫成與平壁導熱速率方程相似的形式：

　　        （2-19）

把式（2-19）與式（2-16）相比較，可知

　　        （2-20）

由此即可得出：

　　        （2-21）

則 

　　        （2-22）

式中　A_m——圓筒壁內外表面的對數平均面積，m²；

r_m——圓筒壁的對數平均半徑，m。

對于薄層圓筒，當時，可取的算術平均值作近似計算。這是因為當時，r_m的值用與用計算的結果，誤差不超過4%；當時，其誤差不超過0.5%，所以在這種情況下，用算術平均值計算具有足夠的精確度，并使計算大為簡化。

（2）多層圓筒壁

圖2-8所示為三層圓筒壁的導熱，各層壁面溫度分別為T₁、T₂、T₃、T₄，各層的半徑分別為r₁、r₂、r₃、r₄。處理這類問題，可借用多層平壁導熱的推導方法，并應用總熱阻等于各分熱阻之和的方法計算。

　　        （2-23）

即

　　        （2-24）

對于n層圓筒壁導熱的計算，可按上式類似的方法寫出導熱速率方程式。