2.2　導(dǎo)熱

2.2.1　傅里葉定律

傅里葉（Fourier）定律是熱傳導(dǎo)的基本定律。對(duì)于一個(gè)由均勻材料構(gòu)成的平壁導(dǎo)熱，經(jīng)驗(yàn)表明在單位時(shí)間內(nèi)通過平壁的導(dǎo)熱速率與垂直熱流方向的導(dǎo)熱面積及導(dǎo)熱壁兩側(cè)的溫度差成正比，與平壁厚度成反比。如圖2-3所示，固體中的導(dǎo)熱可用微分方法來研究，設(shè)平壁薄層厚度為dn，以微分表示，則

　　        （2-1）

引入常數(shù)λ改寫成等式有

　　        （2-2）

式中　λ——比例系數(shù)，稱作熱導(dǎo)率，W/（m·K）；

A——垂直于熱流方向的導(dǎo)熱面積，m²；

dT——厚度為dn的導(dǎo)熱層兩側(cè)的溫度差，K；

dn——導(dǎo)熱層的厚度，m。

式右邊負(fù)號(hào)的意義表明熱流方向總是與溫度降低的方向一致。

2.2.2　熱導(dǎo)率

根據(jù)式（2-1），熱導(dǎo)率λ的物理意義是：當(dāng)A=1m²、dn=1m、dT=1K時(shí)，導(dǎo)熱速率等于熱導(dǎo)率。

熱導(dǎo)率是各種物質(zhì)的一項(xiàng)物理性質(zhì)，其大小取決于物質(zhì)自身的性質(zhì)，它是物質(zhì)導(dǎo)熱性能的標(biāo)志，熱導(dǎo)率值愈小，導(dǎo)熱性能越差，反之則物體的導(dǎo)熱性能越好。它與物質(zhì)的組成、密度、溫度及壓力有關(guān)。工程中所用各種物質(zhì)的熱導(dǎo)率，一般由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。各種實(shí)驗(yàn)表明：金屬的熱導(dǎo)率最大，其次為非金屬固體，液體又次之，而氣體最小。如銀在273K的λ=418W/（m·K），而空氣在273K時(shí)的λ=0.0244W/（m·K）。

（1）固體的熱導(dǎo)率

金屬是固體中良好的導(dǎo)熱體。如373K下純銅的λ值為377W/（m·K），黃銅的λ值為104W/（m·K）。制造過程設(shè)備常用的碳素鋼的λ=45W/（m·K），而293K時(shí)不銹鋼的λ=16W/（m·K）。熱導(dǎo)率隨溫度的改變而變化。

非金屬的建筑材料或隔熱材料的熱導(dǎo)率一般很小，其λ值常是隨著密度增大而提高，也隨著溫度的升高而增大，這一情況與金屬是不同的。

表2-1列出了部分固體物質(zhì)在273～373K時(shí)的λ值。

（2）液體的熱導(dǎo)率

實(shí)驗(yàn)證明，非金屬液體中水的熱導(dǎo)率最大。圖2-4所示為14種常見液體的熱導(dǎo)率隨溫度變化的曲線。除水和無水甘油以外，其余液體的熱導(dǎo)率隨著溫度升高略有減小。混合溶液的熱導(dǎo)率應(yīng)由實(shí)驗(yàn)測(cè)定，若缺乏實(shí)驗(yàn)條件，可取純?nèi)芤旱?i>λ值進(jìn)行估算。

有機(jī)混合溶液的熱導(dǎo)率估算式如下：

λ_m=0.9∑x_miλ_i　　        （2-3）

式中　λ_m——混合液的熱導(dǎo)率，W/（m·K）；

x_mi——混合液中第i組分液體的質(zhì)量分?jǐn)?shù)；

λ_i——混合液中第i組分液體的熱導(dǎo)率，W/（m·K）。

（3）氣體的熱導(dǎo)率

氣體的熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大，在一般情況下隨壓強(qiáng)變化不大，可忽略不計(jì)。在高于19.6MPa或低于0.00266MPa的壓力下，不能忽略壓力對(duì)熱導(dǎo)率的影響，此時(shí)λ值隨壓力增高而增大。氣體的熱導(dǎo)率一般在0.93～0.58W/（m·K）之間，可見氣體對(duì)導(dǎo)熱不利，但對(duì)隔熱有利。工業(yè)上采用的保溫瓦、玻璃棉就是因?yàn)樗鼈儍?nèi)部有較大的空隙并存在著空氣，因而熱導(dǎo)率很小，被廣泛用作保溫絕熱材料。

表2-2中列出了一些氣體在不同溫度下熱導(dǎo)率λ的值。

2.2.3　單層和多層平壁導(dǎo)熱

（1）單層平壁導(dǎo)熱

圖2-5所示單層平壁導(dǎo)熱取自圖2-3的剖切面。壁的厚度為δ，兩側(cè)表面溫度為T_l、T₂，設(shè)T₁>T₂，溫度只沿垂直于壁面的方向變化，平壁面積為A，設(shè)兩壁面溫度相差不大，熱導(dǎo)率λ取作常數(shù)。在穩(wěn)定導(dǎo)熱條件下，式（2-2）中的q、A為常數(shù)，把公式分離變量并積分：

　　        （2-4）

則有

　　        （2-5）

整理得：

　　        （2-6）

式（2-6）為單層平壁穩(wěn)定導(dǎo)熱速率方程式，而且可改寫成：

　　        （2-7）

式中單層平壁導(dǎo)熱的熱阻R_λ：

　　        （2-8）

將式（2-7）與電路的歐姆定律比較，即導(dǎo)熱速率、溫度差、熱阻與電流、電位差、電阻兩者進(jìn)行類比是容易理解的。應(yīng)用熱阻的概念來分析傳熱過程，為建立復(fù)雜的傳熱速率方程提供了極大的方便。

（2）多層平壁導(dǎo)熱

由若干層不同的材料組成的復(fù)合壁為多層壁。圖2-6所示的是由三種不同材料組成的三層平壁的剖面圖，各層厚度分別為δ₁、δ₂、δ₃，熱導(dǎo)率分別為λ₁、λ₂、λ₃，復(fù)合壁兩側(cè)面的溫度分別為T₁和T₄，假定層與層之間緊貼，接觸良好，則交界面的溫度為T₂和T₃，所以三層平壁溫度的變化由三段折線組成。

借助單層平壁導(dǎo)熱速率方程，并與串聯(lián)電路類比，可直接寫出三層平壁的總導(dǎo)熱速率方程式：

　　        （2-9）

式中　q——導(dǎo)熱速率，W；

ΔT——三層平壁總溫度差，又稱傳熱推動(dòng)力，K；

R_λ總——導(dǎo)熱總熱阻，為各層熱阻之和，K/W。

由圖2-6可知

　　        （2-10）

總熱阻由三個(gè)串聯(lián)的分熱阻構(gòu)成，即

　　        （2-11）

對(duì)于更多層的平壁導(dǎo)熱，式（2-9）中的ΔT和R_λ總可以依此類推。

考慮單位面積上的導(dǎo)熱速率時(shí)，可用物理量熱流強(qiáng)度q_F（W/m²）表示。此時(shí)單層平壁的熱流強(qiáng)度q_F為：

　　        （2-12）

二層平壁的熱流強(qiáng)度q_F為：

　　        （2-13）

…

依此類推，可得n層平壁的熱流強(qiáng)度q_F為：

　　        （2-14）

2.2.4　單層和多層圓筒壁導(dǎo)熱

（1）單層圓筒壁導(dǎo)熱

圓筒壁導(dǎo)熱與平壁導(dǎo)熱的不同點(diǎn)僅在于傳熱面積隨半徑的改變而變化，導(dǎo)熱面積不是常量。

設(shè)圓筒內(nèi)壁溫度高于外壁溫度，即T₁>T₂，熱流的方向沿半徑指向外壁。研究內(nèi)半徑為r₁、外半徑為r₂、長度為L的薄壁圓筒的導(dǎo)熱問題，截出如圖2-7所示的部分筒壁。T軸與圓筒軸線重合，n沿半徑方向。在圓筒壁的半徑r處并沿半徑方向取微小厚度dr的圓筒，其導(dǎo)熱面積A=2πrLdr，小薄層壁的溫度變化為dT，設(shè)材料的熱導(dǎo)率為λ，可將式（2-2）寫為：

　　        （2-15）

負(fù)號(hào)仍表示熱流的方向與溫度降低的方向一致。

整理得圓筒穩(wěn)定導(dǎo)熱條件下的速率方程式

　　        （2-16）

式中　d₁——圓筒的內(nèi)壁直徑，m；

d₂——圓筒的外壁直徑，m。

對(duì)長度為L的單層圓筒，把式（2-16）改寫如下：

　　        （2-17）

其中單層圓筒的導(dǎo)熱熱阻可表示為：

　　        （2-18）

如引入單層圓筒內(nèi)外壁面的某種平均面積A_m，可將其導(dǎo)熱速率方程寫成與平壁導(dǎo)熱速率方程相似的形式：

　　        （2-19）

把式（2-19）與式（2-16）相比較，可知

　　        （2-20）

由此即可得出：

　　        （2-21）

則 

　　        （2-22）

式中　A_m——圓筒壁內(nèi)外表面的對(duì)數(shù)平均面積，m²；

r_m——圓筒壁的對(duì)數(shù)平均半徑，m。

對(duì)于薄層圓筒，當(dāng)時(shí)，可取的算術(shù)平均值作近似計(jì)算。這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，r_m的值用與用計(jì)算的結(jié)果，誤差不超過4%；當(dāng)時(shí)，其誤差不超過0.5%，所以在這種情況下，用算術(shù)平均值計(jì)算具有足夠的精確度，并使計(jì)算大為簡化。

（2）多層圓筒壁

圖2-8所示為三層圓筒壁的導(dǎo)熱，各層壁面溫度分別為T₁、T₂、T₃、T₄，各層的半徑分別為r₁、r₂、r₃、r₄。處理這類問題，可借用多層平壁導(dǎo)熱的推導(dǎo)方法，并應(yīng)用總熱阻等于各分熱阻之和的方法計(jì)算。

　　        （2-23）

即

　　        （2-24）

對(duì)于n層圓筒壁導(dǎo)熱的計(jì)算，可按上式類似的方法寫出導(dǎo)熱速率方程式。