4.5 封閉式問卷下的樣本選擇偏差

與采用開放式問卷、支付卡式問卷相同，采用封閉式問卷進(jìn)行調(diào)查也會出現(xiàn)部分抗議性支付。直接將這部分樣本刪除或?qū)⑵渲Ц兑庠赣幂^小的正數(shù)替代都可能會造成樣本選擇偏差。因此，同樣有必要進(jìn)行Heckman校正。

傳統(tǒng)的Heckman樣本選擇模型在第一階段的被解釋變量為離散變量，其第二階段的被解釋變量為連續(xù)型被解釋變量。當(dāng)采用封閉式調(diào)查時，其第二階段的被解釋變量仍然是離散變量。因此，封閉式問卷下的樣本選擇問題與開放式問卷或支付卡式問卷下的樣本選擇問題存在差異。

定義兩個階段的被解釋變量依次為y1和y2, y1表示第一階段的“加入決策”：是否覺得應(yīng)該為長江污染治理支付一定的費(fèi)用，如果選擇愿意則y1＝1，否則y1取0。y2表示第二階段的“購買決策”：向受訪者隨機(jī)提供某個投標(biāo)值（如50元）問其是否愿意支付，如果選擇愿意則y2＝1，否則y2取0。

y*i為無法直接觀測的潛變量，但是與y1和y2緊密相關(guān)。

其中，i＝1、2。如果兩階段是獨(dú)立的，則可以預(yù)期Cov［ε1, ε2］＝0，此時分別對兩個方程進(jìn)行估計不會存在任何問題。但正如我們之前所強(qiáng)調(diào)的那樣，很多時候Cov［ε1, ε2］＝0很難滿足，因為兩個階段的決策并不是孤立的，會受到一些共同因素的影響。進(jìn)一步假定擾動項中的共同成分為ηi，則

ε1i＝ηi+ u1i

ε2i＝ηi+ u2i

為了方便分析，假定三類擾動成分都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。于是

Pr（y1i＝1）＝Pr（ε1i＞－x1β1）

＝Pr（ηi+ u1i＞－x1β1）

Pr（y2i＝1）＝Pr（ε2i＞－x2β2）

＝Pr（ηi+ u2i＞－x2β2）

ε1和ε2的聯(lián)合概率分布函數(shù)為

其中，ρ是ε1和ε2之間的相關(guān)系數(shù)。

于是可以得到ε1和ε2的聯(lián)合累積分布函數(shù)：

Φ2＝Φ（ε1, ε2）＝∫ε∫1 ε2φ2（ε1, ε2, ρ）dε1dε2

若ρ＝0，則Φ2為退化為兩個獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；若ρ≠0，則兩個擾動項（進(jìn)而變量）彼此關(guān)聯(lián)，其中一個變量會影響另一個變量的分布函數(shù)。

類似地，關(guān)于y1和y2的聯(lián)合分布函數(shù)為

極大似然函數(shù)可以設(shè)定為

其中，Φ2（·, ·, ρ）表示二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)，兩個變量的擾動項相關(guān)系數(shù)為ρ; Φ（·）為一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)。

式（4-50）可以很自然地推廣至封閉式雙邊界問卷：