4.4 極大似然估計

4.4.1 封閉式單邊界

接下來考慮如何估算封閉式單邊界引導技術下的WTP。基于數學推導的方便性考慮，文獻通常會設定η服從標準邏輯斯蒂分布，于是得到

假定調查樣本數為n。在封閉式問卷下，當受訪者回答“是”時定義π＝1，當受訪者回答“否”時定義π＝0。對于不同的投標點A1, A2, …, An，受訪者的答復依次為π1, π2, …, πn。于是可以構建極大似然函數：

相應的對數似然函數為

分別對α和β求一階導數：

于是有

其中，z i＝1/（1+exp（－α+βA i））。

log（L（α, β））的海塞矩陣為

其方差協方差矩陣為V＝（－H）－1。

在方差協方差矩陣中，元素（1,1）為α的方差，元素（2,2）為β的方差。得到α和β的估計量后即可估計出WTP＝α/β。WTP的漸進方差為

σαα、σββ依次為α、β的方差，σαβ為α和β的協方差。

4.4.2 封閉式雙邊界

在封閉式雙邊界（double-bounded dichotomous choice, DBDC）問題下，根據受訪者對兩次詢價的不同響應，可以將受訪者區分為四類：（1）兩次均回答“是”；（2）兩次均回答“否”；（3）第一次回答“是”，第二次回答“否”；（4）第一次回答“否”，第二次回答“是”。首先隨機挑出一個初始投標值A0詢問受訪者是否愿意支付。如果受訪者回答“是”，則再選取一個稍高的投標值A+進行追問；反之，若回答“否”，則再選取一個較低的投標值A－進行追問。用πYY表示受訪者既愿意支付A0也愿意支付AH；用πYN表示愿意支付A0，但不愿意支付AH；用πNY表示不愿意支付A0，但愿意支付AL；用πNN表示既不愿意支付A0也不愿意支付AL。

定義Pr（YY）＝1－GWTP（AHi; θ），Pr（YN）＝GWTP（AHi; θ）－GWTP（Ai; θ），Pr（NY）＝GWTP（Ai; θ）－GWTP（ALi; θ），Pr（NN）＝GWTP（ALi; θ），其中θ＝（, α β）。

封閉式雙邊界模型的估計方法與單邊界模型基本類似，在封閉式雙邊界模型下，樣本的極大似然函數可設定為

若GWTP（·）為正態分布，則式（4-48）應即為Probit模型。對A求對數，即可轉化為對數正態分布模型。當然，如果事先不清楚應采用正態分布還是對數正態分布，則更為穩妥的辦法是進行BOX-COX轉換檢驗。

估計出θ后，WTP的計算方法取決于分布函數的設定形式，具體見4.3.3節的討論，不再另文贅述。