2.8　節(jié)點(diǎn)電壓法

在電路中任意選擇某一節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)都是獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)相對于參考節(jié)點(diǎn)之間的電壓稱為節(jié)點(diǎn)電壓。節(jié)點(diǎn)電壓的極性是以參考節(jié)點(diǎn)為負(fù)，其余各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)為正。

以一組獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓為未知變量，應(yīng)用KCL建立電路方程，求出節(jié)點(diǎn)電壓，繼而求解各支路電流及其他變量，這種方法稱為節(jié)點(diǎn)電壓法。

如圖2-21所示電路，共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，選定參考節(jié)點(diǎn)后，其余的節(jié)點(diǎn)①、②、③便是一組獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。設(shè)各節(jié)點(diǎn)電壓為u_n1、u_n2、u_n3，對獨(dú)立節(jié)點(diǎn)①、②、③應(yīng)用KCL，有

根據(jù)KVL和元件的VCR，各支路電流i₁，i₂，…，i₆可用有關(guān)的節(jié)點(diǎn)電壓表示為

將支路電流表示式（2-20）代入式（2-19），整理后可得到以節(jié)點(diǎn)電壓為變量的方程為

式（2-21）可以寫為

如果令G₁₁=G₁+G₄+G₆，G₂₂=G₂+G₄+G₅，G₃₃=G₃+G₅+G₆，分別為節(jié)點(diǎn)①、②、③的自電導(dǎo)，它們分別等于連接于各節(jié)點(diǎn)的支路電導(dǎo)之和，自電導(dǎo)總是正的；令G₁₂=G₂₁=-G₄，G₁₃=G₃₁=-G₆，G₂₃=G₃₂=-G₅，分別為①、②，①、③和②、③這3對節(jié)點(diǎn)間的互電導(dǎo)，它們等于連接于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的支路電導(dǎo)的負(fù)值，互電導(dǎo)總是負(fù)的；令i_s11=i_s1-G₆u_s6，i_s22=0，i_s33=G₃u_s3，分別表示節(jié)點(diǎn)①、②、③的注入電流，它們分別等于流向節(jié)點(diǎn)的電流源電流的代數(shù)和，流入節(jié)點(diǎn)為正，流出節(jié)點(diǎn)為負(fù)。注入電流還要包括電壓源與電阻串聯(lián)組合經(jīng)等效變換后形成的電流源電流。則式（2-22）可以寫成節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般形式：

將式（2-23）推廣到具有n個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電路，其節(jié)點(diǎn)電壓方程為

式中，

（1）G_kk為第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)，它等于連接于節(jié)點(diǎn)k的各支路電導(dǎo)之和，自電導(dǎo)總為正值。

（2）G_ij（i≠j）為節(jié)點(diǎn)i、j之間的互電導(dǎo)，它等于連接于節(jié)點(diǎn)i、j之間的所有支路電導(dǎo)之和的負(fù)值，互電導(dǎo)總為負(fù)值。在電路中不含受控源的情況下，方程左邊的系數(shù)具有對稱性，即G_ij=G_ji（i≠j）。

（3）i_skk為第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的注入電流，它等于流向節(jié)點(diǎn)k的電流源（包括電壓源與電阻串聯(lián)組合經(jīng)等效變換形成的電流源）電流的代數(shù)和，流入節(jié)點(diǎn)為正，流出節(jié)點(diǎn)為負(fù)。

綜上所述，節(jié)點(diǎn)電壓法的一般步驟歸納如下：

（1）指定參考節(jié)點(diǎn)，并對其余各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)編號。

（2）按照式（2-24）的形式列寫節(jié)點(diǎn)方程。

（3）解方程，求出各節(jié)點(diǎn)電壓。

（4）根據(jù)需要，由各節(jié)點(diǎn)電壓進(jìn)一步求出其他待求量。

【例2-9】電路如圖2-22所示，用節(jié)點(diǎn)電壓法求各支路電流。

解：選擇參考節(jié)點(diǎn)如圖2-22所示，對于獨(dú)立節(jié)點(diǎn)①、②，按式（2-24）列出節(jié)點(diǎn)方程：

整理后為

解方程可得：u_n1=18.4（V），u_n2=10（V）。再由KVL和元件VCR，求得各支路電流為

無電阻與之串聯(lián)的電壓源稱為無伴電壓源。當(dāng)電路中存在無伴電壓源支路連接于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間時(shí)，由于該支路的電阻為零，其電導(dǎo)為無窮大，無伴電壓源支路的電流不能通過所關(guān)聯(lián)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓來表示，列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)會遇到困難。通常的處理方法是增加無伴電壓源的電流為未知變量，每引入一個(gè)這樣的變量，同時(shí)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓與無伴電壓源電壓之間的約束關(guān)系。這樣處理，依然可以保證獨(dú)立方程數(shù)等于未知變量數(shù)，使問題得到解決。

【例2-10】電路如圖2-23所示，用節(jié)點(diǎn)電壓法求各支路電流。

解：電路中含有無伴電壓源，設(shè)其電流為i₁，其余各支路電流如圖2-23所示。電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程為

補(bǔ)充的約束關(guān)系為

u_n1=20

以上3個(gè)方程聯(lián)立求解，可得：u_n1=20（V），u_n2=10（V），i₁=5（A）。

進(jìn)一步求得