2.7　網孔法

網孔法是求解平面電路的一種方法。它以網孔電流作為電路的獨立變量，對每一個網孔列寫KVL方程；解得網孔電流后，由網孔電流求得電路中各支路電流和其他變量。所謂網孔電流，是平面電路中一個假想的在網孔中循環流動的電流。實際上，并不存在以網孔作為循環路徑的網孔電流。為了分析計算，假想每一個網孔中都有一個循環的網孔電流，并把各支路電流認為是相應網孔電流疊加的結果。由于平面電路的全部網孔就是一組獨立回路，因此采用網孔法列寫的KVL方程必然是獨立的。

如圖2-18所示電路，設網孔電流為i_m1和i_m2，其繞行方向如圖中所示。支路電流i₁、i₂、i₃可以用網孔電流表示為

對于網孔1和網孔2，按網孔電流的繞行方向列寫KVL方程，有

將式（2-14）代入式（2-15），整理后可得

式（2-16）就是以網孔電流為變量的網孔電流方程。

如果令R₁₁=R₁+R₂，R₁₂=R₂₁=-R₂，R₂₂=R₂+R₃，u_s11=u_s1-u_s2，u_s22=u_s2-u_s3，則式（2-16）改寫成如下一般形式：

上述方程中，R₁₁i_m1項代表網孔電流i_m1在網孔1內各電阻上引起的電壓值和，R₂₂i_m2項代表網孔電流i_m2在網孔2內各電阻上引起的電壓值和。R₁₁和R₂₂分別等于網孔1和網孔2中的所有電阻之和，它們分別稱為網孔1和網孔2的自電阻。由于網孔繞行方向和網孔電流參考方向一致，故R₁₁和R₂₂總為正值。R₁₂i_m2項代表網孔電流i_m2在網孔1中引起的電壓，R₂₁i_m1項代表網孔電流i_m1在網孔2中引起的電壓。R₁₂和R₂₁的數值等于網孔1和網孔2的公共支路上的電阻，分別稱為網孔1和網孔2的互電阻。當兩個網孔電流在共有電阻上的參考方向相同時，表明一個網孔電流在共有電阻上引起的電壓與另一個網孔的繞行方向一致，應取“+”號，反之取“-”號。u_s11和u_s22項分別代表網孔1和網孔2中的總電壓源電壓，分別等于網孔1和網孔2中所有電壓源電壓的代數和。當電壓源電壓參考方向與網孔繞行方向一致時取“-”號，反之取“+”號。

對于具有m個網孔的平面電路，網孔電流方程的一般形式可由式（2-17）推廣得到，即

式中，

R_kk稱為回路k的自電阻，它是網孔k的各支路電阻之和。由于網孔繞行方向和網孔電流方向一致，因此，自電阻總是正值。

R_ij（i≠j）稱為網孔i和網孔j之間的互電阻，它等于網孔i和網孔j公共支路的電阻之和。當兩個網孔電流在公共電阻上參考方向一致時為正，相反則為負。當網孔i和網孔j之間沒有公共支路，或有公共支路但其電阻為零時，互電阻R_ij=0。在電路中不含受控源的情況下，方程左邊的系數具有對稱性，即R_ij=R_ji（i≠j）。如果網孔的繞行方向全部一致，由于鄰近的兩個網孔電流在通過共有電阻時方向總是相反的，故互電阻總是負值。

u_skk為網孔k的總電壓源電壓，它等于網孔k中所有電壓源電壓的代數和。其中，電源電壓方向與網孔k的繞行方向一致時為正，反之為負。

用網孔法分析平面電路的步驟歸納如下：

（1）設定網孔電流和支路電流的參考方向，表示于圖中。

（2）以網孔電流方向為繞行方向，按式（2-18）的形式列寫網孔方程。

（3）解方程，求出各網孔電流。

（4）根據網孔電流與支路電流的關系，求出支路電流，進一步求得其他待求變量。

【例2-7】電路如圖2-19所示，用網孔法求解各支路電流。

解：設各網孔電流和支路電流如圖2-19所示，對于網孔1、2、3，按式（2-18）列出網孔方程為

即

解方程，求得網孔電流為

i_m1=5.5（A），i_m2=1.5（A），i_m3=3.5（A）

按照支路電流與網孔電流的關系，求得各支路電流為

在應用網孔法的時候，如果電路中含有電流源與電阻的并聯組合，可將其等效變換為電壓源與電阻的串聯組合，再按式（2-18）列寫網孔方程。對于含有無伴電流源的電路，可以設電流源的電壓為未知量，同時增加一個電流源電流對網孔電流的約束方程，仍然可以保證獨立方程數等于未知變量數。

【例2-8】電路如圖2-20所示，用網孔法求解各支路電流。

解：設網孔電流和各支路電流如圖2-20所示。由于含有無伴電流源支路，故設電流源的電壓為u_s，列寫網孔方程如下：

即

解得：

i_m1=4（A），i_m2=2（A），u_s=2（V）

進一步求得各支路電流為