第8章　斯勒茨基方程

一、判斷題

1．黑白電視機(jī)是低檔物品，因而在其他條件既定時(shí)，黑白電視機(jī)的降價(jià)并不能帶來(lái)需求量的增加。（　　）

【答案】F

【解析】如果低檔物品為一般低檔物品，則收入效應(yīng)的絕對(duì)值小于替代效應(yīng)，總效應(yīng)與價(jià)格反方向移動(dòng)；如果低檔物品為吉芬商品，則收入效應(yīng)的絕對(duì)值大于替代效應(yīng)，總效應(yīng)與價(jià)格同方向移動(dòng)。黑白電視機(jī)為一般低檔物品，需求曲線仍為一條向右下方傾斜的曲線，降價(jià)將使需求量增加。

2．如果商品x與商品y對(duì)某消費(fèi)者為完全互補(bǔ)品，則商品x的價(jià)格下降引起y的需求變化全部歸因于收入效應(yīng)。（　　）

【答案】T

【解析】完全替代偏好下，價(jià)格變動(dòng)中全部表現(xiàn)為替代效應(yīng)，收入效應(yīng)為零；完全互補(bǔ)偏好下，價(jià)格變動(dòng)中全部表現(xiàn)為收入效應(yīng)，替代效應(yīng)為零。

3．某消費(fèi)者效用函數(shù)為u（x，y）＝xy，如果兩種商品價(jià)格和消費(fèi)者收入都發(fā)生變化，但他原來(lái)的最優(yōu)消費(fèi)束正好在新的預(yù)算線上，他不會(huì)改變?cè)瓉?lái)的消費(fèi)選擇。（　　）

【答案】F

【解析】u（x，y）＝xy的無(wú)差異曲線如圖8-1所示。在價(jià)格和收入發(fā)生變化之前，消費(fèi)者的最優(yōu)選擇點(diǎn)為A點(diǎn)，在預(yù)算約束線發(fā)生變化之后，雖然A點(diǎn)仍然在預(yù)算線上，但是消費(fèi)者的最優(yōu)選擇點(diǎn)轉(zhuǎn)移到B點(diǎn)，因?yàn)锽點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的效用要高于A點(diǎn)的效用。

圖8-1　u（x，y）＝xy的最優(yōu)選擇

4．補(bǔ)償需求函數(shù)指的是價(jià)格變動(dòng)中保持對(duì)原消費(fèi)束購(gòu)買(mǎi)力不變而對(duì)收入進(jìn)行調(diào)整的需求函數(shù)。（　　）

【答案】F

【解析】補(bǔ)償需求函數(shù)是指價(jià)格變動(dòng)過(guò)程中收入進(jìn)行調(diào)整并保持效用不變的需求函數(shù)。

5．在相似偏好下，由于價(jià)格變動(dòng)引起的需求變化全部來(lái)自于替代效應(yīng)。（　　）

【答案】F

【解析】由于兩種商品之間的交換比率的變化所引起的需求變化稱(chēng)作替代效應(yīng)。在相似偏好下，既存在替代效應(yīng)也存在收入效應(yīng)。

6．某消費(fèi)者只消費(fèi)兩種商品x和y，商品x在某個(gè)收入范圍內(nèi)是低檔商品，那么一定有另一個(gè)收入范圍，商品x是正常商品。（　　）

【答案】T

【解析】一種商品是否是低檔商品取決于收入水平。低檔物品是指，收入趨近于0的時(shí)候，不存在低檔商品，否則收入從零開(kāi)始增加時(shí)x的消費(fèi)量會(huì)是負(fù)值，x在一定的收入范圍內(nèi)屬于正常商品。當(dāng)收入達(dá)到某個(gè)臨界點(diǎn)，x的需求量會(huì)隨著收入的增加而減少，屬于低檔商品。

7．在當(dāng)前收入下，某消費(fèi)者所消費(fèi)的兩種商品中有一種是吉芬商品。如果該吉芬商品的價(jià)格上升，則消費(fèi)者對(duì)另一種商品的需求一定減少。（　　）

【答案】T

【解析】吉芬商品的價(jià)格上升，那么其需求量會(huì)增加，占消費(fèi)者總支出的比例增加，在收入不變的情況下，另一種商品價(jià)格不變，需求量一定減少。

8．當(dāng)某種商品的價(jià)格上升時(shí)，負(fù)的收入效應(yīng)的絕對(duì)值超過(guò)了負(fù)的替代效應(yīng)的絕對(duì)值，則該商品一定是吉芬商品。（　　）

【答案】F

【解析】如果一種商品在價(jià)格變化時(shí)，收入效應(yīng)與替代效應(yīng)的符號(hào)相反，并且收入效應(yīng)的絕對(duì)值大于替代效應(yīng)的絕對(duì)值，那么該商品就是吉芬商品。在該題中，收入效應(yīng)與替代效應(yīng)符號(hào)一致，而且當(dāng)價(jià)格上升時(shí)，收入效應(yīng)和替代效應(yīng)均為負(fù)，說(shuō)明消費(fèi)者一定減少了對(duì)該商品的消費(fèi)，那么可以判斷該商品為正常商品。

9．希克斯替代效應(yīng)衡量的是同一條預(yù)算線上的兩點(diǎn)之間的移動(dòng)。（　　）

【答案】F

【解析】希克斯分解保持的是效用水平不變，那么補(bǔ)償預(yù)算線一定與初始的無(wú)差異曲線相切。因此希克斯替代效應(yīng)衡量的是同一條無(wú)差異曲線上的兩點(diǎn)之間的移動(dòng)。斯勒茨基分解保持的是購(gòu)買(mǎi)力不變，因此補(bǔ)償預(yù)算線一定經(jīng)過(guò)價(jià)格變化前的均衡點(diǎn)。因此斯勒茨基替代效應(yīng)衡量的是同一條預(yù)算線上的兩點(diǎn)之間的移動(dòng)。

10．產(chǎn)品x和產(chǎn)品y為完全替代品。當(dāng)產(chǎn)品x的價(jià)格下降，則希克斯替代效應(yīng)和斯勒茨基替代效應(yīng)相同。（　　）

【答案】F

【解析】完全替代品的斯勒茨基替代效應(yīng)為總效應(yīng)，因?yàn)槠涫杖胄?yīng)為0。完全替代品的希克斯替代效應(yīng)為0，只有收入效應(yīng)。

11．某個(gè)消費(fèi)者具有如下效用函數(shù)：

商品x的價(jià)格是2，商品y的價(jià)格是1，這個(gè)消費(fèi)者的收入為20。如果商品y的價(jià)格上升到2，那么對(duì)于商品y的需求的改變都是由替代效應(yīng)導(dǎo)致的。（　　）

【答案】T

【解析】因?yàn)檫@個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)是擬線性偏好的效用函數(shù)。且y又是位于效用函數(shù)中的非線性部分的商品，所以商品y只有替代效應(yīng)沒(méi)有收入效應(yīng)。

二、單項(xiàng)選擇題

1．某消費(fèi)者消費(fèi)兩種商品x和y。如果商品x的價(jià)格上漲，替代效應(yīng)和收入效應(yīng)從相反的方向影響需求，則有（　　）。

A．商品x一定是吉芬商品

B．商品x一定是低檔商品

C．違背了弱顯示偏好

D．商品x一定是正常商品

【答案】B

【解析】低檔商品的收入效應(yīng)與價(jià)格同方向變動(dòng)，替代效應(yīng)與價(jià)格反方向變動(dòng)。吉芬商品也是低檔商品。正常商品的收入效應(yīng)和替代效應(yīng)與價(jià)格都呈反方向變動(dòng)。

2．某消費(fèi)者消費(fèi)兩種商品x和y，他的效用函數(shù)為。給定商品y的價(jià)格和他的收入不變，商品x價(jià)格下降，則（　　）。

A．商品y的收入效應(yīng)為0，因?yàn)樗氖杖氡３植蛔?/p>

B．商品y的替代效應(yīng)為0，因?yàn)樯唐穣的價(jià)格沒(méi)有變

C．替代效應(yīng)減少了商品y的需求，因?yàn)槭杖胄?yīng)為0，所以y的需求下降

D．價(jià)格變化引起的替代效應(yīng)減少了y商品的需求，增加了x商品的需求

【答案】D

【解析】替代效應(yīng)為負(fù)，因此由于替代效應(yīng)，x的價(jià)格下降，必然使得x的需求量提高，在效用不變的情況下，y需求量必然會(huì)減少。

3．某消費(fèi)者的效用函數(shù)為。x_A、x_B分別表示蘋(píng)果和香蕉的消費(fèi)數(shù)量。原來(lái)蘋(píng)果的價(jià)格為1元/斤，香蕉的價(jià)格2元/斤。他的收入為每天40元。如果蘋(píng)果的價(jià)格上升到5元/斤，而香蕉的價(jià)格保持不變，那么斯勒茨基替代效應(yīng)將會(huì)使得他減少消費(fèi)多少蘋(píng)果？（　　）

A．4斤

B．13斤

C．8斤

D．16斤

【答案】C

【解析】由效用函數(shù)可推導(dǎo)出需求函數(shù)為：

原最優(yōu)選擇點(diǎn)為x_A＝20，x_B＝10。設(shè)m′為價(jià)格變化后恰好能支付其原消費(fèi)束的收入，則：

因此斯勒茨基替代效應(yīng)為：

4．某消費(fèi)者對(duì)商品x的需求函數(shù)為

（p為商品x的價(jià)格）。現(xiàn)在他的收入，商品x的價(jià)格。如果商品x的價(jià)格上升至，用DI來(lái)表示價(jià)格變化所引起商品x消費(fèi)量變動(dòng)中的收入效應(yīng)，DS表示價(jià)格變化所引起商品x消費(fèi)量變動(dòng)中的斯勒茨基替代效應(yīng)，則DI和DS分別為多少？（　　）

A．DI＝0，DS＝－2.00

B．DI＝－0.18，DS＝－0.52

C．DI＝－0.52，DS＝－0.52

D．DI＝－0.18，DS＝－4.06

【答案】D

【解析】原收入為，原價(jià)格，可得：

現(xiàn)商品價(jià)格變?yōu)?img alt="" height="25" src="https://epubservercos.yuewen.com/2C3B43/15436658305568306/epubprivate/OEBPS/Images/image618.png?sign=1749938653-rLuCLTTjnDWf3qEC8BV8VVYpkLM3lkgr-0-95930366e0a73e953352eb62327c4e78" width="54">，設(shè)m′為恰好能支付得起原最優(yōu)消費(fèi)束的貨幣收入，則：

所以：

5．關(guān)于價(jià)格上升引起的需求變化的收入效應(yīng)和替代效應(yīng)中，下列哪一項(xiàng)說(shuō)法正確？（　　）

A．前者總是正的，后者總是負(fù)的

B．兩者都可以是正的，也可以都是負(fù)的

C．雖然后者總是負(fù)的，前者可正可負(fù)

D．雖然前者總是負(fù)的，后者可正可負(fù)

【答案】C

【解析】低檔商品的收入效應(yīng)是正的，正常商品的收入效應(yīng)是負(fù)的；而所有商品的替代效應(yīng)都是負(fù)的，因?yàn)橛商娲?yīng)引起的需求變動(dòng)方向總是與價(jià)格變動(dòng)的方向相反。

6．某消費(fèi)者的效用函數(shù)為

x_A、x_B分別表示蘋(píng)果和香蕉的消費(fèi)數(shù)量。如果在他做出消費(fèi)選擇之后，蘋(píng)果和香蕉的相對(duì)價(jià)格發(fā)生了變化。因?yàn)檫€沒(méi)有食用，他能夠在新的相對(duì)價(jià)格下通過(guò)市場(chǎng)交易重新選擇，則（　　）。

A．價(jià)格變化使得消費(fèi)者的狀況變好

B．價(jià)格變化使得消費(fèi)者的狀況變差

C．消費(fèi)者狀況的改變?nèi)Q于他原來(lái)所購(gòu)買(mǎi)的蘋(píng)果和香蕉的數(shù)量

D．消費(fèi)者的狀況不會(huì)受到價(jià)格變化的影響

【答案】D

【解析】由效用函數(shù)可知，蘋(píng)果和香蕉為完全互補(bǔ)品，最優(yōu)消費(fèi)點(diǎn)必然在上。當(dāng)相對(duì)價(jià)格變化，消費(fèi)者也不能通過(guò)交換改變商品本身的比例，否則將無(wú)法使效用最大化。因此消費(fèi)者的狀況不會(huì)受到價(jià)格變化的影響。

7．下述哪一種說(shuō)法是正確的？（　　）

A．斯勒茨基替代效應(yīng)是指價(jià)格變化對(duì)需求量的影響效應(yīng)

B．收入效應(yīng)對(duì)應(yīng)消費(fèi)者收入發(fā)生變化時(shí)需求量的變化

C．斯勒茨基替代效應(yīng)衡量了保持效用不變的前提下價(jià)格變化對(duì)需求量的影響

D．斯勒茨基替代效應(yīng)衡量了保持對(duì)原消費(fèi)束購(gòu)買(mǎi)力不變的前提下價(jià)格變化對(duì)需求量的影響

【答案】D

【解析】替代效應(yīng)是指因相對(duì)價(jià)格的變化所引起的需求量的變化。在斯勒茨基替代效應(yīng)中，收入進(jìn)行調(diào)整保持對(duì)原消費(fèi)束的購(gòu)買(mǎi)力不變，而在希克斯替代效應(yīng)中，收入調(diào)整保持消費(fèi)者效用水平不變。

8．商品x和商品y對(duì)張華來(lái)說(shuō)是完全替代品。它們?cè)鹊膬r(jià)格分別是10和9，張華的收入是720。如果商品x的價(jià)格下降到8，那么下列哪項(xiàng)是正確的？（　　）

A．收入效應(yīng)使商品y的需求增加90

B．替代效應(yīng)使商品y的需求增加80

C．替代效應(yīng)使商品x的需求增加90

D．收入效應(yīng)使商品x的需求增加80

【答案】C

【解析】價(jià)格變化前對(duì)商品x的需求為0，對(duì)商品y的需求為80；價(jià)格變化后對(duì)商品x的需求為90，對(duì)商品y的需求為0。則價(jià)格變化的總效用對(duì)商品x來(lái)說(shuō)就是90，對(duì)商品y來(lái)說(shuō)就是－80。又由于完全替代的偏好只有替代效應(yīng)，沒(méi)有收入效應(yīng)。所以替代效應(yīng)使商品x的需求增加90，使商品y的需求減少80。

9．吉芬商品的出現(xiàn)是因?yàn)閮r(jià)格上漲時(shí)（　　）。

A．替代效應(yīng)為正，且其絕對(duì)值大于收入效應(yīng)的絕對(duì)值

B．收入效應(yīng)為正，且其絕對(duì)值大于替代效應(yīng)的絕對(duì)值

C．替代效應(yīng)為負(fù)，且其絕對(duì)值大于收入效應(yīng)的絕對(duì)值

D．收入效應(yīng)為負(fù)，且其絕對(duì)值大于替代效應(yīng)的絕對(duì)值

【答案】B

【解析】價(jià)格變動(dòng)的效應(yīng)可以分解為替代效應(yīng)和收入效應(yīng)。價(jià)格上漲時(shí)，替代效應(yīng)始終為負(fù)，收入效應(yīng)則可以為負(fù)，也可以為正，當(dāng)收入效應(yīng)為正且絕對(duì)值大于替代效應(yīng)的絕對(duì)值時(shí)，商品需求量會(huì)隨著價(jià)格的上漲而增加，這種商品就是吉芬商品。

10．對(duì)于下列說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（　　）。

A．完全互補(bǔ)的偏好只有替代效應(yīng)，沒(méi)有收入效應(yīng)

B．當(dāng)價(jià)格變化足夠大，可以使得對(duì)于一種商品的需求由零變?yōu)檎那闆r時(shí)，完全替代的偏好只有替代效應(yīng)，沒(méi)有收入效應(yīng)

C．?dāng)M線性偏好的效用函數(shù)中非線性部分的商品只有替代效應(yīng)，沒(méi)有收入效應(yīng)

D．完全互補(bǔ)的偏好只有收入效應(yīng)，沒(méi)有替代效應(yīng)

【答案】A

【解析】完全互補(bǔ)的情況下，商品的相對(duì)變化并不影響消費(fèi)者消費(fèi)兩種商品的比例，因此不存在替代效應(yīng)。

11．吉芬商品與低檔商品之間的存在的聯(lián)系是（　　）。

A．低檔商品一定是吉芬商品

B．吉芬商品一定是低檔商品

C．低檔商品肯定是吉芬商品

D．吉芬商品肯定不是低檔商品

【答案】B

【解析】吉芬商品是一種特殊的低檔商品，因?yàn)榧疑唐返氖杖胄?yīng)與價(jià)格呈同方向變化，符合低檔商品的定義，特殊的地方在于其收入效應(yīng)的絕對(duì)值大于替代效應(yīng)的絕對(duì)值。

12．一個(gè)學(xué)生每月從父母那里得到500元的生活費(fèi)。假如他對(duì)大米的需求函數(shù)為

如果大米的價(jià)格從每千克4元漲到6元，為了保證他的生活水平不下降，他的生活費(fèi)應(yīng)從500元增加到（　　）元。

A．506

B．508

C．510

D．512

【答案】D

【解析】在價(jià)格變化前對(duì)大米的需求量為：

若大米的價(jià)格上升到6元，為使這個(gè)學(xué)生能夠購(gòu)買(mǎi)得起原來(lái)的需求束，對(duì)其進(jìn)行斯拉茨基補(bǔ)償?shù)牧繛椋?/p>

所以其生活費(fèi)應(yīng)增加至

13．當(dāng)一種商品的價(jià)格上升時(shí)，需求的變化量與替代效應(yīng)的關(guān)系為（　　）。

A．前者比后者大

B．前者比后者小

C．前者與后者一樣大

D．前者可能比后者大，也可能比后者小

【答案】D

【解析】由斯勒茨基恒等式可知，當(dāng)替代效應(yīng)和收入效應(yīng)符號(hào)一致時(shí)，總效應(yīng)（即價(jià)格變動(dòng)引起的需求變化量）大于替代效應(yīng)的變化量；當(dāng)與符號(hào)不同時(shí)，則兩者的比較關(guān)系是不確定的。

14．正常物品價(jià)格上升導(dǎo)致需求量減少的原因在于（　　）。

A．替代效應(yīng)使需求量增加，收入效應(yīng)使需求量減少

B．替代效應(yīng)使需求量增加，收入效應(yīng)使需求量增加

C．替代效應(yīng)使需求量減少，收入效應(yīng)使需求量減少

D．替代效應(yīng)使需求量減少，收入效應(yīng)使需求量增加

【答案】C

【解析】價(jià)格上升一般會(huì)有兩個(gè)效應(yīng)，替代效應(yīng)和收入效應(yīng)。替代效應(yīng)是指由于該商品價(jià)格上升，消費(fèi)者會(huì)用其他商品來(lái)替代該商品，從而該商品的需求量減少；收入效應(yīng)是指由于商品價(jià)格上升，消費(fèi)者的實(shí)際收入下降。對(duì)于正常品來(lái)說(shuō)，其需求收入彈性為正，若實(shí)際收入下降，則商品需求下降。

15．消費(fèi)者只購(gòu)買(mǎi)面包和黃油，如果面包價(jià)格下降，那么（　　）。

A．收入效應(yīng)與替代效應(yīng)都引起黃油消費(fèi)的上升

B．收入效應(yīng)與替代效應(yīng)都引起黃油消費(fèi)的下降

C．收入效應(yīng)使黃油的消費(fèi)上升，但替代效應(yīng)作用相反

D．收入效應(yīng)和替代效應(yīng)將相互抵消，從而商品需求保持不變

【答案】C

【解析】面包和黃油是消費(fèi)者的兩種可選商品。當(dāng)面包價(jià)格下降時(shí)，替代效應(yīng)使消費(fèi)者更傾向于選擇降價(jià)的面包，但面包價(jià)格下降的同時(shí)意味著消費(fèi)者的實(shí)際收入增加了，由此產(chǎn)生的收入效應(yīng)使消費(fèi)者可購(gòu)買(mǎi)更多的黃油。

三、簡(jiǎn)答題

1．什么是商品價(jià)格變動(dòng)所產(chǎn)生的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)？畫(huà)圖說(shuō)明微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)用替代效應(yīng)和收入效應(yīng)對(duì)“吉芬難題”的解釋。（用希克斯的替代效應(yīng)進(jìn)行分析）

答：（1）替代效應(yīng)和收入效應(yīng)的含義

由于一種商品價(jià)格變動(dòng)而引起的商品的相對(duì)價(jià)格發(fā)生變動(dòng)，從而導(dǎo)致消費(fèi)者在保持效用不變的條件下，對(duì)商品需求量的改變，稱(chēng)為價(jià)格變動(dòng)的替代效應(yīng)。

由于一種商品價(jià)格變動(dòng)而引起的消費(fèi)者實(shí)際收入發(fā)生變動(dòng)，從而導(dǎo)致消費(fèi)者對(duì)商品需求量的改變，稱(chēng)為價(jià)格變動(dòng)的收入效應(yīng)。

（2）利用替代效應(yīng)和收入效應(yīng)對(duì)“吉芬難題”進(jìn)行解釋

19世紀(jì)，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家羅伯特·吉芬發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，1845年愛(ài)爾蘭發(fā)生災(zāi)荒，導(dǎo)致土豆價(jià)格上升，但居民對(duì)土豆的需求量卻反而增加了，而這無(wú)法用傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論進(jìn)行解釋?zhuān)蚀爽F(xiàn)象稱(chēng)為“吉芬難題”，并將這種需求量與價(jià)格同方向變動(dòng)的物品稱(chēng)之為“吉芬物品”。

圖8-2　吉芬物品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)

圖8-2中的橫軸OX₁和縱軸OX₂分別表示商品1和商品2的數(shù)量，其中，商品1是吉芬物品。商品1的價(jià)格P₁下降前后的消費(fèi)者的效用最大化的均衡點(diǎn)分別為a點(diǎn)和b點(diǎn)，相應(yīng)的商品1的需求量的減少量為，這就是總效應(yīng)。通過(guò)補(bǔ)償預(yù)算線FG可得：為替代效用；是收入效應(yīng)。而且，負(fù)的收入效應(yīng)的絕對(duì)值大于正的替代效應(yīng)的絕對(duì)值，所以最后形成的總效應(yīng)為負(fù)值。

吉芬物品是一種特殊的低檔物品。作為低檔物品，吉芬物品的替代效應(yīng)與價(jià)格成反方向的變動(dòng)，收入效應(yīng)則與價(jià)格成同方向的變動(dòng)。吉芬物品的特殊性就在于：它的收入效應(yīng)的作用很大，以至于超過(guò)了替代效應(yīng)的作用，從而使得總效應(yīng)與價(jià)格成同方向的變動(dòng)。這也就是吉芬物品的需求曲線呈現(xiàn)出向右上方傾斜的特殊形狀的原因。

2．判斷對(duì)錯(cuò)并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由：

（1）如果消費(fèi)者是一個(gè)理性的效用最大化者，那么他對(duì)某種商品的斯拉茨基替代效應(yīng)必定是負(fù)的。

（2）假設(shè)某消費(fèi)者的效用函數(shù)是，則他關(guān)于x的需求對(duì)y價(jià)格的交叉價(jià)格彈性為零。

答：（1）錯(cuò)誤。理由如下：

對(duì)于嚴(yán)格凸的偏好，斯拉茨基替代效應(yīng)必定是負(fù)的（如圖8-3所示）。但是對(duì)于一個(gè)理性的消費(fèi)者而言，他的偏好只需要滿(mǎn)足下面三個(gè)條件：完備性，反身性和傳遞性。從這三個(gè)條件出發(fā)不能得出消費(fèi)者的偏好就是嚴(yán)格凸的，所以對(duì)于一個(gè)具有非嚴(yán)格凸偏好的消費(fèi)者，他的斯拉茨基替代效應(yīng)可能為零（如圖8-4所示）。

圖8-3　凸偏好的斯拉茨基替代效應(yīng)

圖8-4　互補(bǔ)偏好的斯拉茨基替代效應(yīng)

（2）正確。理由如下：

消費(fèi)者的效用最大化問(wèn)題為：

解上述最優(yōu)化問(wèn)題，得到商品1和2的馬歇爾需求函數(shù)分別為：

則他關(guān)于x的需求對(duì)y價(jià)格的交叉價(jià)格彈性為：

3．如果偏好是凹的，替代效應(yīng)仍然為負(fù)嗎？

答：如果偏好是凹的，替代效應(yīng)不一定為負(fù)，但肯定是非正的。分析如下：

一種商品的替代效應(yīng)是指價(jià)格變化引起商品需求量的總變化當(dāng)中，僅僅因?yàn)樵撋唐泛推渌唐分g的相對(duì)價(jià)格變化而引起的需求量的變化。替代效應(yīng)包括希克斯替代效應(yīng)和斯拉茨基替代效應(yīng)。希克斯替代效應(yīng)是指保持消費(fèi)者的效用不變的情況下，價(jià)格變化引起的需求量的變化（如圖8-5所示）；斯拉茨基替代效應(yīng)是指保持消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)能力不變的情況下，價(jià)格變化引起的需求量的變化（如圖8-6所示）。

圖8-5　希克斯替代

圖8-6　斯拉茨基替代

當(dāng)消費(fèi)者的偏好為凹的時(shí)候，替代效應(yīng)非正，即替代效應(yīng)或者為零，或者為負(fù)，見(jiàn)圖8-7（這里只考慮希克斯替代效應(yīng)，斯拉茨基替代效應(yīng)的分析也是類(lèi)似的）：

圖8-7　凹偏好的替代效應(yīng)

（1）替代效應(yīng)為零的情況

當(dāng)商品1的價(jià)格上升引起預(yù)算線從AB轉(zhuǎn)動(dòng)到AC時(shí)，消費(fèi)者對(duì)商品1的需求由B減少到C，如果保持消費(fèi)者的效用不變，僅僅考慮相對(duì)價(jià)格的變化對(duì)商品1的需求的影響，那么由圖中虛線BH的位置可以看出，商品1的需求不變，即價(jià)格變動(dòng)的替代效應(yīng)為零。

（2）替代效應(yīng)為負(fù)的情況

當(dāng)商品1的價(jià)格上升引起預(yù)算線從AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AD時(shí)，消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)點(diǎn)為A點(diǎn)。如果保持消費(fèi)者的效用不變，僅僅考慮相對(duì)價(jià)格的變化對(duì)商品1的需求的影響，那么由圖中虛線LN的位置可以看出，現(xiàn)在消費(fèi)者轉(zhuǎn)而消費(fèi)商品2，即對(duì)商品1的消費(fèi)下降為零，價(jià)格變動(dòng)的替代效應(yīng)就是商品1的消費(fèi)從C點(diǎn)的位置下降到O點(diǎn)的位置。

四、計(jì)算題

1．某人對(duì)商品x的需求函數(shù)如下：

其收入為m＝1000元，商品x的價(jià)格為P_x＝5元，商品y的價(jià)格為P_y＝20元。如果商品x的價(jià)格下降為P_x＝4元，那么：

（1）計(jì)算此人在價(jià)格變化前后對(duì)商品x的需求。

（2）假如價(jià)格變化后，收入也發(fā)生變化，使得價(jià)格變化前的消費(fèi)束恰好能夠滿(mǎn)足，則其新收入為多少？在此收入和新價(jià)格下，其對(duì)商品x的需求為多少？

（3）替代效應(yīng)和收入效應(yīng)各為多少？

（4）在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出此人價(jià)格變化前后的預(yù)算線，并用A、B分別標(biāo)出價(jià)格變化前后的最優(yōu)消費(fèi)。

（5）在（4）的圖上，再畫(huà)上（2）中價(jià)格和收入都變化后的預(yù)算線，并用C點(diǎn)標(biāo)出此時(shí)的最優(yōu)消費(fèi)。

解：（1）價(jià)格變化前：x（5，20，1000）＝80；價(jià)格變化后：x（4，20，1000）＝100。

（2）變化前y的消費(fèi)量為：

變化后的收入為：4×80＋20×30＝920（元）。

商品x的需求為：

（3）替代效應(yīng)：92－80＝12；收入效應(yīng)：100－92＝8。

（4）價(jià)格變化前的預(yù)算線：5x＋20y＝1000；

價(jià)格變化，收入不變時(shí)的預(yù)算線：4x＋20y＝1000。如圖8-8所示。

圖8-8　預(yù)算線

（5）價(jià)格變化，收入為920時(shí)的預(yù)算線：4x＋20y＝920。如圖8-8所示。

2．某消費(fèi)者的效用函數(shù)為U＝XY，P_x＝1（元），P_y＝2（元），M＝40（元），現(xiàn)在P_y突然下降到1元。試問(wèn)：

（1）Y價(jià)格下降的替代效應(yīng)使他買(mǎi)更多還是更少的Y？

（2）Y價(jià)格下降對(duì)Y需求的收入效應(yīng)相當(dāng)于他增加或減少多少收入的效應(yīng)？收入效應(yīng)使他買(mǎi)更多還是更少的Y？

（3）Y價(jià)格下降的替代效應(yīng)使他買(mǎi)更多還是更少的X？收入效應(yīng)使他買(mǎi)更多還是更少的X？Y價(jià)格下降對(duì)X的需求的總效應(yīng)是多少？對(duì)Y需求的總效應(yīng)是多少？

解：（1）價(jià)格沒(méi)有變化時(shí)，已知P_x＝1，P_y＝2，U＝XY。

效用最大化的條件為：

即X＝2Y。將其代入預(yù)算方程X＋2Y＝40，解得：X＝20，Y＝10。

價(jià)格變化后，購(gòu)買(mǎi)20單位的X、10單位的Y所需要的收入為：

在新價(jià)格和新收入（30元）下，P_x＝1，P_y＝1，U＝XY。

預(yù)算約束為：X＋Y＝30。

同理可解得：X＝15，Y＝15。

因此，Y價(jià)格下降的替代效應(yīng)使他購(gòu)買(mǎi)更多的Y，多購(gòu)買(mǎi)15－10＝5單位。

（2）原收入條件下，Y價(jià)格下降，可知P_x＝1，P_y＝1，M＝40，MU_x＝Y(jié)，MU_y＝X。

由效用最大化的條件可得：Y＝X。

預(yù)算線方程為：X＋Y＝40。

因此Y＝X＝20。

可見(jiàn)，Y價(jià)格下降的收入效應(yīng)使他多購(gòu)買(mǎi)20－12＝5單位Y。

由于在新價(jià)格和收入為30元時(shí)，他購(gòu)買(mǎi)15單位的X、15單位的Y。

在新價(jià)格下，要使他能購(gòu)買(mǎi)20單位的X、20單位的Y，需增加10元收入，即收入為40元。所以，要增購(gòu)5單位的Y的話(huà)，必須增加10元收入。因此，Y價(jià)格下降對(duì)Y需求的收入效應(yīng)相當(dāng)于他增加10元收入的效應(yīng)。

（3）Y的價(jià)格下降的替代效應(yīng)使他買(mǎi)更少的X，少買(mǎi)20－15＝5單位。收入效應(yīng)使他購(gòu)買(mǎi)更多的X，多買(mǎi)20－15＝5單位。Y價(jià)格下降對(duì)X需求的總效應(yīng)為零。

Y價(jià)格下降的替代效應(yīng)使他多購(gòu)買(mǎi)5單位Y，收入效應(yīng)使他也多購(gòu)買(mǎi)5單位Y。故Y價(jià)格下降對(duì)Y需求的總效應(yīng)為10單位。

3．已知約翰從消費(fèi)漢堡和可樂(lè)中所獲得的效用可以用以下函數(shù)表達(dá)

其中x為漢堡的消費(fèi)數(shù)量，y是可樂(lè)的消費(fèi)數(shù)量。假設(shè)已知約翰的月收入為I美元，漢堡和可樂(lè)的價(jià)格分別p_x和p_y，且約翰將其全部收入都用于購(gòu)買(mǎi)漢堡與可樂(lè)，那么請(qǐng)問(wèn)：

（1）約翰對(duì)漢堡和可樂(lè)的馬歇爾需求函數(shù)分別是多少？

（2）假設(shè)現(xiàn)在漢堡的價(jià)格發(fā)生微小的變化，請(qǐng)問(wèn)價(jià)格變化引起的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)分別為多少？

解：（1）此消費(fèi)者的最優(yōu)化問(wèn)題為：

構(gòu)造拉格朗日輔助函數(shù)

效用最大化的一階條件為：

聯(lián)立解得：，。

（2）設(shè)漢堡價(jià)格變化量為?p_x，即

漢堡的價(jià)格發(fā)生微小的變化后，漢堡的最優(yōu)消費(fèi)量為

所以，總效應(yīng)為

價(jià)格變化后，要維持原有的效用水平所需的收入為M′，所以

其中。

根據(jù)消費(fèi)者效用最大化條件

得。

保持效用不變有：

解出：

因此，替代效應(yīng)為：

收入效應(yīng)為：

4．小凡對(duì)X和Y商品的效用函數(shù)為，收入m＝2400，A城市X商品價(jià)格為100，Y商品價(jià)格為200，B城市X商品價(jià)格為200，Y商品價(jià)格200，老板希望小凡到城市B去上班。

（1）如果在兩個(gè)城市，小凡的收入相同，問(wèn)在城市A和城市B對(duì)商品X的需求變化為多少？多少可歸結(jié)為替代效應(yīng)，多少可歸結(jié)為收入效應(yīng)？

（2）小凡到B城市去工作，相當(dāng)于收入減少多少？老板至少要給小凡多少錢(qián)，他才愿意到B城市去工作？

解：（1）在A城市，小凡的效用最大化問(wèn)題為：

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為：

效用最大化的一階條件為：

解得：X₁＝12，Y＝6。

在城市B小凡的效用最大化問(wèn)題為：

同理解得：X₂＝Y(jié)＝6。

故在城市A和城市B對(duì)商品X的需求變化為：?X＝X₂－X₁＝6－12＝－6。

②此人在城市A對(duì)商品X和商品Y的馬歇爾需求為：

其中p₁和p_Y分別為商品X和商品Y在城市A的價(jià)格。

則間接效用函數(shù)為

代入馬歇爾需求中得到補(bǔ)償性需求：

此人在A城市的效用為

為保證在B城市同樣獲得在A城市的效用，則小凡對(duì)商品X為：

從而替代效應(yīng)為：

收入效應(yīng)則為：

（2）①在B城市工作時(shí)的效用水平為：

為維持B城市的效用水平，小凡在A城市的支出最小化問(wèn)題為：

解得：，。

此時(shí)收入為

則小凡到B城市工作，相當(dāng)于收入減少：m－m″＝2400－1697＝703。

②在B城市工作，為維持原有的效用水平，則小凡支出最小化問(wèn)題為：

解得：。此時(shí)收入至少為：

故小凡到B城市工作，老板至少要給小凡3394。

5．設(shè)某消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為

這里。什么是該消費(fèi)者對(duì)物品1的希克斯需求函數(shù)？

答：根據(jù)間接效用函數(shù)與支出函數(shù)是反函數(shù)的關(guān)系，由于消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為

從中反解出m關(guān)于p₁、p₂和v的表達(dá)式，并用u替換v，就得到了消費(fèi)者的支出函數(shù)：

根據(jù)謝潑德引理，可知物品1的希克斯需求函數(shù)為：

6．已知一個(gè)消費(fèi)者對(duì)牛奶的需求函數(shù)為

這里x為一周內(nèi)牛奶的消費(fèi)量，y＝120元為收入，p＝3元/桶，現(xiàn)在假定牛奶價(jià)格從3元/桶降為2元/桶。問(wèn)：

（1）該價(jià)格變化對(duì)該消費(fèi)者的需求總效應(yīng)是多少？（即其牛奶消費(fèi)會(huì)變化多少？）

（2）請(qǐng)算出價(jià)格變化的斯拉茨基替代效應(yīng)。

（提示：如該消費(fèi)者維持原消費(fèi)水平，降價(jià)會(huì)使他省出多少錢(qián)？現(xiàn)在他用多少錢(qián)就相當(dāng)于原來(lái)的120元錢(qián)？）

（3）請(qǐng)算出價(jià)格變化的斯拉茨基收入效應(yīng)。

解：（1）p＝3（元/桶）時(shí)，

p＝2（元/桶）時(shí)，

所以總效應(yīng)為：

（2）價(jià)格變化后，為了使消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)得起價(jià)格變化前的商品數(shù)量，需要把他的收入增加

即他的收入要減少14元。這樣在保持消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)力不變的條件下，消費(fèi)者對(duì)該商品的需求為：

從而替代效應(yīng)為：

（3）收入效應(yīng)等于總效應(yīng)減去替代效應(yīng)，即：