第10章　跨時期選擇

一、判斷題

1．利率上升必然引起給定正收入流現值的減少。（　　）

【答案】T

【解析】正收入流的現值為：。當利率上升，正收入流的現值必然減少。

2．如果消費者可以以相同的利率進行借貸，那么消費者可以負擔起一項消費現值等于收入現值的消費計劃。（　　）

【答案】T

【解析】消費者以同樣的利率進行借貸，那么預算約束方程為：

方程左邊為消費的現值，右邊為收入的現值。如果消費的現值等于收入的現值，消費是可行的。

3．當利率是5%時，某消費者是一個凈借款者，但利率是25%時，該消費者是一個凈儲蓄者。利率從5%增長至25%可能會使該消費者境況變壞。（　　）

【答案】T

【解析】如果利率下降后，消費者從貸款者變成了借款者，那么他的情況就無法判斷是變好還是變壞。如圖10-1所示，假設利率降低后，消費者的最優選擇點為C點，此時消費者選擇了在以前預算條件下無法選擇的點，但這并不表明對消費者而言C點比A點境況更好，因而此時無法判斷消費者的境況變化。同理，利率上升使得消費者由借款者變成了儲蓄者，消費者的境況變化也是無法判斷的。

圖10-1　利率下降后消費者的境況變化

4．如果利率小于通貨膨脹率，理性人就不會存錢。（　　）

【答案】F

【解析】考慮通貨膨脹因素，消費者跨期選擇的效用最大化條件為：

其中為實際利率。利率小于通貨膨脹率，意味著。但是只要，那么預算線與無差別曲線的切點仍可能位于稟賦點上方，即仍然可能會進行儲蓄。

5．若名義利率為3%，物價每年下降2%，則實際利率大約為5%。（　　）

【答案】T

【解析】由實際利率等于名義利率減去通貨膨脹率，則實際利率為

6．假設消費者在時期1和時期2擁有的貨幣量為（m₁，m₂），并且假設消費者將貨幣從時期1轉到時期2的唯一途徑是通過不生息的儲蓄，則他在時期2最多只能花費m₂。（　　）

【答案】F

【解析】既然消費者可以通過不生息的儲蓄來把時期1的貨幣轉到時期2，又因為消費者在時期2擁有的貨幣量為m₂，因此消費者在時期2的花費就完全可以大于m₂。

7．假定消費者的預算約束和對兩個時期中每個時期的消費偏好已給定，如果消費者最初是一個貸款者，那么利率上升后他還是一個貸款者。（　　）

【答案】T

【解析】當消費者為一個貸款者時，本身說明其對未來消費偏好甚于對現期消費。而當利率上升時，說明現期消費的成本增加，這樣將增強消費者對未來消費的偏好，故他將貸更多的款。

8．在跨時期選擇下，消費者的偏好同樣有完全替代、完全互補以及良好性狀的情況。（　　）

【答案】T

【解析】在跨時期選擇下，如果消費者的偏好為完全替代，這說明消費者并不在乎是今天消費還是明天消費，此時邊際替代率為－1；如果消費者的偏好為完全互補，這說明消費者想要使今天的消費量等于明天的消費量，他將不愿意用一個時期的消費來替代另一個時期的消費，而不管這樣做對他是否值得；如果消費者的偏好為良好性狀，這說明消費者愿意將今天一部分的消費來替代明天的消費，而究竟愿意替代多少，這又取決于其特有的消費形式。

9．利率變動的效應分為兩部分：一部分為替代效應，利率上升，替代效應趨于鼓勵儲蓄；另一部分為收入效應，收入效應趨于減少儲蓄。（　　）

【答案】T

【解析】當利率上升時，當期的消費價格上漲，替代效應會減少當期的消費，因此趨向于鼓勵儲蓄；消費為正常品，利率上升導致收入增加，收入效應使得當期消費增加，從而趨于減少儲蓄。

二、單項選擇題

1．如果現在與將來消費的都是正常商品，利率上升一定會使（　　）。

A．儲蓄者存錢更多

B．借款者借錢更少

C．減少每個人的現在消費

D．每個人的境況更壞

【答案】B

【解析】如果一個人是儲蓄者，利率上升后，他仍然會是一個儲蓄者，此時他的境況變好。但是無法判斷他是否儲蓄更多，因為收入效應與替代效應方向相反；如果一個人是借款者，利率上升后，預算線繞稟賦點旋轉，若消費者仍然做一個借款者，那么新的消費一定在稟賦點的右邊初始消費的左邊。此時借款者借錢將更少。

2．某消費者的效用函數為

c₁、c₂分別為時期1和時期2的消費量。該消費者在時期1賺了189元，將會在時期2賺到63元。他可以10%的利率進行借貸，并且沒有通貨膨脹，則該消費者（　　）。

A．會存60元

B．會借60元

C．不會進行借貸

D．會存124元

【答案】A

【解析】根據效用函數可得：c₁＝c₂。消費者跨期消費的預算約束方程為：

則

聯立可得：c₁＝c₂＝129。因此，消費者第一期將會存60元。

3．若消費者將時期1的一單位消費看作時期2的一單位消費的完全替代品，且實際利率為正值，則消費者（　　）。

A．只在時期1消費

B．只在時期2消費

C．每個時期消費相同

D．如果收入彈性大于1則在時期1的消費大于時期2，否則在時期2的消費大于時期1

【答案】B

【解析】消費者的效用函數為：

實際利率為正，說明名義利率大于通貨膨脹率，選擇把時期1的收入全部儲存起來用于時期2的消費，能夠使消費者的效用最大化。因此消費者只在時期2消費。

4．若名義利率為5%，通貨膨脹率為6%，則理性消費者（　　）。

A．由于實際利率是負的，不會儲蓄

B．會儲蓄少于其收入的1%

C．只由名義利率決定，不管通貨膨脹率為多少都會儲蓄相同的數量

D．即使實際利率為負也有可能儲蓄

【答案】D

【解析】考慮通貨膨脹因素，消費者跨期選擇的效用最大化條件為：

其中為實際利率。可知預算線的斜率為。當，隨著實際利率越來越小，消費者可能更多地選擇第一期消費，減少第二期消費，本題中，預算線還是向右下方傾斜的，因此盡管實際利率為負，但是只要，那么預算線與無差異曲線的切點仍可能會位于稟賦點上方，即仍然可能會進行儲蓄。

5．某消費者在時期1的收入為300元，在時期2的收入為625元。她的效用函數為

其中c₁、c₂分別是她在時期1與時期2的消費量。利率為0.25。如果她出乎意料中了彩票，在時期2會得到獎金，即她的收入在時期2將為1250元，時期1的收入仍為300元，則她在時期1的消費量將會（　　）。

A．加倍

B．增加400元

C．增加150元

D．保持不變

【答案】B

【解析】效用函數為

則效用最大化條件為：

當第二期收入為625，跨期消費的預算約束為：

與效用最大化條件聯立可得：c₁＝640，c₂＝200；當第二期收入為1250，跨期消費的預算約束為

與效用最大化條件聯立可得：c₁＝1040，c₂＝325。時期1的消費量增加400。

6．若名義利率為80%，通貨膨脹率為50%，則實際利率為多少？（　　）

A．10%

B．20%

C．30%

D．40%

【答案】B

【解析】設實際利率為，則，代入數據可得：。

7．若通貨膨脹率比利率高，則（　　）。

A．應該在第一時期消費掉所有的財富

B．將錢藏在家里床底下會比存入銀行更好（假定沒有被偷的風險）

C．消費必然會少于當通貨膨脹率比利率低時

D．以上都不對

【答案】D

【解析】考慮通貨膨脹因素，消費者跨期選擇的效用最大化條件為：

其中為實際利率。可知預算線的斜率為。A項，當，隨著實際利率越來越小，消費者可能更多地選擇第一期消費，減少第二期消費，此時消費者不可能在第一期消費掉所有的財富，否則就不能使效用最大化；B項，存入銀行至少還可以得到名義利率，而自己儲存起來則損失更多；C項，假設消費者在第一時期儲蓄，實際利率下降，第一期消費具有負的替代效應和正的收入效應，因此，消費可能增加也可能減少。

8．用（C₁，C₂）表示消費者在時期1和時期2的消費量，并假設每個時期的消費價格為1，每個時期擁有的貨幣量為（m₁，m₂），如果允許消費者按利率r借貸貨幣，那么下列說法錯誤的是（　　）。

A．此時消費者在時期2的消費為

B．當時，消費者處于“波洛厄尼斯點”

C．當時，消費者是貸款者，即儲蓄者

D．此時消費者的預算線為

【答案】C

【解析】A項，由于每個時期消費的價格為1，所以時期1儲蓄的貨幣為，在利率為r的情況下，這筆儲蓄到時期2就變成了，因此時期2的消費為。B項，當時，消費者既不儲蓄，也不借款，這種情況下，消費者處于“波洛厄尼斯點”。C項，消費者在時期1的收入小于消費，因此消費者向別人借款，而不是貸款。D項，將A項中的表達式調整變形即可得到該條預算線。

9．下列哪個情況中居民會增加他們的儲蓄量？（　　）

A．預期的未來收入小于現期收入，或利率下降

B．預期的未來收入小于現期收入，或利率上升

C．預期的未來收入大于現期收入，或利率下降

D．預期的未來收入大于現期收入，或利率上升

【答案】B

【解析】AC兩項，當利率上升時，當期的消費價格上漲，替代效應會減少當期的消費，因此趨向于鼓勵儲蓄，利率下降時則相反；BD兩項，居民的現期收入大于居民的未來預期收入，為了平滑消費，居民必然會增加當期儲蓄。

10．關于跨時期選擇的比較靜態分析，下列說法錯誤的是（　　）。

A．如果用橫軸代表時期1，縱軸代表時期2，那么利率上升一定使消費者預算線變得更為陡峭

B．如果消費者初為貸款者，那么在利率上升時，消費者的狀況會變差

C．如果消費者初為貸款者，那么在利率下降時，他在時期2的消費肯定減少

D．如果消費者初為借款者，那么在利率下降時，消費者的狀況一定改善

【答案】B

【解析】消費者初為貸款者，在利率上升時，如果他仍然選擇做一個貸款者，那么他的境況會變好。

11．假設某個消費者只活兩個時期，在時期1他能夠獲得收入400000，在時期2他會退休，并靠他的儲蓄生活。該消費者具有柯布—道格拉斯形式的效用函數，其中C₁是他時期1的消費量，C₂是他時期2的消費量。實際利率是r。那么（　　）。

A．如果利率上升，該消費者在時期1將會儲蓄更多

B．如果利率上升，該消費者在時期1將會儲蓄更少

C．利率變化的影響是不確定的，但是消費者肯定會根據利率的變化重新確定每一期的消費量

D．利率的變化不會影響他的儲蓄量

【答案】D

【解析】消費者的預算約束為：

設柯布—道格拉斯的效用函數為：

構造拉格朗日函數為：

效用最大化的一階條件為：

解得：。時期1的消費量C₁不會隨著利率的變化而變化，因此利率變化也不影響其儲蓄量。

三、簡答題

1．請畫圖說明一個借款者當利率上升以后是否一定還是一個借款者，并簡要說明原因。

答：當利率上升以后，一個借款者可能仍然做一個借款者，也有可能使借款者變成一個貸款者。理由如下：

圖10-2　利率上升對借款者的影響

如圖10-2所示，c₁＞m₁，表明消費者是一個借款者。原有的跨期預算約束線為AB，利率的上升會使得跨期預算約束線圍繞初始稟賦點（m₁，m₂）點順時針旋轉到EF，變得更陡峭。當利率上升后，消費者可以選擇新的最優消費束為E₁，表明消費者從一個借款者變成一個貸款者；消費者可以選擇新的最優消費束為E₂，表明消費者仍然是一個借款者。

2．很多人認為，造成美國金融危機的真正原因是美國人的“過度消費”，也就是說，在消費者跨期選擇模型中美國人是借錢者，而不是儲蓄者。

（1）畫出借錢者的跨期選擇模型，并討論利率變化對借錢者的影響；

（2）解釋為什么說導致美國人過度消費的一個重要誘因是美聯儲的低利率政策（提示：利率下降可能使一個儲蓄者變成借錢者）；

（3）如果存在著“借貸約束”（當前消費不能超過當前收入），上述模型會發生什么變化？

答：（1）借錢者的跨期選擇模型如圖10-3所示。借款者的第一期消費大于第一期收入，即c₁＞m₁。

圖10-3　借款者的跨期選擇模型

（2）對儲蓄者來說提高利率等于實際收入提高，能達到更高效用水平；同理，對一個借錢者來說，利率上升就降低了他的真實收入（他必須付出更多的利息還債），從而收入效應為負，效用水平降低。并且，利率水平的上升有可能使一個借錢者變為儲蓄者，而利率水平的下降也可能使一個儲蓄者變為借錢者。美聯儲的低利率政策使得更多的人變成借錢者，從而導致儲蓄減少，消費過度。

（3）存在“借貸約束”的情況下，跨期選擇模型如圖10-4所示。消費者的第一期消費小于等于第一期的收入。

圖10-4　“借貸約束”下的跨期選擇模型

3．（1）證明：如果當前和未來消費的都是正常商品，利率上升肯定會使儲蓄者選擇在第二期消費更多。

（2）如果當前和未來消費的都是正常商品，利率上升一定會使儲蓄者儲蓄更多嗎？為什么？

（3）仿照消費的替代效應與收入效應推導跨期選擇的總效應公式，并結合圖形加以說明。

證明：（1）假設當前和未來的消費分別為C₁和C₂，當前和未來的收入分別為m₁和m₂，利率為r，則有以下關系：

由于該參與人為儲蓄者，則S＞0，從而儲蓄者的第二期消費與利率呈正相關關系，所以利率上升會使儲蓄者選擇在第二期消費更多。

（2）不一定。一般來說，剛開始隨著利率的上升儲蓄者會增加第二期消費和第二期儲蓄。隨著利率上升到一定數量以后，利率的上升會使兩期的消費都增加并減少第一期的儲蓄。

由，，可得：

從而當C₂＞m₂時，，第一期的消費增加儲蓄減少；當C₂＜m₂時，，第二期的消費減少儲蓄增加。

（3）消費者的跨期收入和消費通過利率聯系起來，實際利率的變動能夠影響消費者的跨期消費決策。現實中存在兩種情況，即消費者在第一期有可能進行儲蓄或者借貸，為了簡化分析，這里只討論儲蓄的情況。假定消費者在第一期儲蓄，由于預算約束線的斜率為－（1＋r），r上升會使得預算約束線圍繞兩期收入的組合（y₁，y₂）點順時針旋轉，變得更陡峭，從而影響消費者在兩個時期的消費決策。如圖10-5所示，隨著r的上升，預算約束線由AB順時針旋轉為A′B′，最優消費組合由E₀點移動到E₁點，即第一期消費減少，第二期消費增加。

圖10-5　真實利率變動對消費決策的影響

實際利率上升對消費的影響可分解為兩種效應：收入效應和替代效應。收入效應即利率的上升使得消費者實際收入增加，從而可以向更高的無差異曲線移動，并把增加的收入分攤到兩期消費中。替代效應即兩期消費的相對價格變動造成兩期消費量的變動。在第一期儲蓄的前提下，利率的上升會使得第二期消費相對于第一期消費變得更便宜。也就是說由于儲蓄賺到的利息更多，消費者為得到1單位第二期消費所犧牲的第一期消費減少了，則消費者應該在第一期減少消費，而在第二期增加消費。

顯然，在利率上升的情況下，收入效應和替代效應都增加了第二期的消費，但兩種效應對第一期消費的影響是相反的，可能增加也可能減少第一期消費。因此，利率的上升既可能刺激也可能抑制儲蓄，這取決于收入效應和替代效應的相對規模。

設x₁（p₁，m（p₁））是商品1的需求函數，使式中的價格2保持不變，貨幣與稟賦的關系為

則有：

由

代入可得：

可得跨期選擇的總效用公式為：

四、計算題

1．某消費者的效用函數為

其中c₁、c₂分別是她在時期1與時期2的消費量。她在每個時期都可以賺得100單位的消費品，并可以按10%的利率進行借貸。

（1）寫出該消費者的預算方程。

（2）若該消費者不進行借貸，則她對現在與未來消費品的邊際替代率是多少？

（3）若該消費者進行最佳數量的借款或者儲蓄，則她在時期2的消費對時期1的消費的比率是多少？

解：（1）跨期消費的預算方程為：

代入數據：

整理可得：1.1c₁＋c₂＝210。

（2）因該消費者不進行借貸，故每個時期的消費正好等于收入，即c₁＝100，c₂＝100。

此時，邊際替代率為：

因此若她不進行借貸，則她對現在與未來消費品的邊際替代率是1/2。

（3）構造拉格朗日函數為：

效用最大化的一階條件為：

兩式相除可得：。因此她在時期2的消費是時期1消費的4.84倍。

2．消費者的效用函數為

在第1期和第2期的收入分別為m₁＝100元和m₂＝180元，利率為r，求：

（1）第1期和第2期的最優消費分別是多少？

（2）r分別取什么值時，該消費者在第1期將借入、借出，或者既不借入也不借出？

（3）當利率r變化時，會對第1期和第2期的消費產生什么影響？

解：（1）求解效用最大化問題即：

構造拉格朗日函數：

效用最大化的一階條件為：

解得，。

故第1期和第2期的最優消費分別是

（2）當c₁＜m₁，即時，可得r＞0.2，此時消費者借出；

當c₁＝m₁，即時，可得r＝0.2，此時消費者既不借出也不借入；

當c₁＞m₁，即時，可得r＜0.2，此時消費者借入。

（3）因為

所以當利率r上升時，第1期消費下降，第2期消費上升；當利率r下降時，第1期消費上升，第2期消費下降。

3．考慮費雪兩期消費模型：如果消費者可以以r_b＞0的利率儲蓄，以r_s＞0的利率借貸，并且r_s＞r_b，那么

（1）在消費者第一期收入大于第一期消費的情況下，其預算約束是什么？

（2）在消費者第一期收入小于第一期消費的情況下，其預算約束是什么？

（3）畫出消費者可以選擇的第一期和第二期消費的組合。

（4）加上消費者的無差異曲線。說明三種可能的結果：一是消費者有儲蓄，二是消費者有借貸，三是消費者既無儲蓄也無借貸。

解：（1）在消費者第一期消費小于第一期收入的情況下，該消費者是一個儲蓄者，它面臨著利率r_b。他的預算約束是

（2）在消費者第一期消費大于第一期收入的情況下，該消費者是一個借貸者，它面臨著利率r_s。他的預算約束是

（3）圖10-6中畫出了兩條預算約束線，它們在點（Y₁，Y₂）相交，在這點，消費者既不是儲蓄者也不是借貸者。陰影部分代表消費者可以選擇的第一期與第二期的消費組合。

圖10-6　借貸制約

（4）圖10-7描繪了三種情況。圖10-7（a）顯示了一個儲蓄者的無差異曲線與點（Y₁，Y₂）左邊的預算線相切的情況。圖10-7（b）顯示了一個借貸者的無差異曲線與點（Y₁，Y₂）右邊的預算線相切的情況。圖10-7（c）顯示了一個既無儲蓄又無借貸的消費者的情形：消費者可以達到的最高的無差異曲線是經過點（Y₁，Y₂）的。

（a）消費者是儲蓄者

（b）消費者是借貸者

（c）消費者既無儲蓄又無借貸

圖10-7　三種可能的結果

如果消費者是儲蓄者，則第一期的消費取決于，即兩個時期的收入Y₁、Y₂和利率r_b。

如果消費者是一個借貸者，則第一期的消費取決于，即兩個時期的收入Y₁、Y₂和利率r_s。

如果消費者既不是儲蓄者又不是借貸者，則第一期的消費只取決于Y₁。

4．假定消費者只進行兩期選擇。消費者的兩期收入分別為Y₁和Y₂，兩期的消費分別是C₁和C₂，利率為r；消費者的效用函數為

兩期結束后，消費者的收入與消費均為0。證明：

（1）1期消費與2期收入同方向變化，與利率反方向變化；

（2）1期儲蓄與2期收入反方向變化；

（3）2期消費與1期收入、2期收入以及利率都是同方向變化。

證明：消費者行為目標是效用最大化，即：

構造拉格朗日函數為：

求條件極值可以解出：

第一期消費為

則第一期儲蓄為

第二期消費為

從而可得：

（1），所以1期消費與2期收入同方向變化。

，所以1期消費與利率反方向變化。

（2），所以1期儲蓄與2期收入反方向變化。

（3），，，所以2期消費與1期收入、2期收入以及利率都是同方向變化。

5．在一個只有消費者進行借貸的債券市場上，假設存在200個消費者。消費者具有相同的兩期消費效用函數，其中C₁表示第一期的消費，C₂表示第二期消費。我們假定其中有100個消費者，具有預期的收入流為I₁＝14000，I₂＝10000。而其余的消費者具有預期收入流為I₁＝9000，I₂＝16000，其中I₁、I₂分別表示消費者第一期和第二期的收入。計算該債券市場處于均衡時的市場利率。

解：令市場利率為r。消費者的最優規劃為：

構造拉格朗日函數：

效用最大化的一階條件為：

根據以上等式，求解得：

由于消費者只具有兩期消費，所以消費者將在第一期持有債券，第二期債券持有量為0。消費者對于債券的超額需求為：

當兩類消費者對于債券的超額總需求為0時，債券市場處于均衡。即有：

解得：r≈0.13。

即該證券市場處于均衡時的市場利率為13%。