四、計算題

1．對于AK生產函數，假設經濟的初始資本存量為。回答下面的問題：

（1）求出內生的經濟增長率，同時給出內生經濟增長的條件；

（2）求出初始的消費水平和投資率。

解：生產函數為：

（1）的動態學為：

由，得內生的經濟增長率為：

內生經濟增長的條件是：，即。

（2）由得，即以此為投資率，則初始的消費水平為：

2．假定生產函數為。

（1）寫出人均資本增長率表達式，并說明是什么形狀。

（2）寫出人均資本和人均產量增長率表達式，它們大于零嗎？它們在轉移動態中會下降嗎？

（3）該模型與資本收益遞減有什么聯系？資本收益不遞減的假定是否合理，為什么？

解：（1）由于，按不變比例增長。為水平線，其在縱軸的截距為。

（2）人均資本的增長率表達式為：

由于，，故人均產量增量表達式為：

人均產量將按常數增長（其增長率等于資本增長率）。它們在轉移動態中不會下降。

（3）模型不存在資本收益遞減。

其資本收益不遞減的假定有一定的合理性，資本收益不遞減的原因在于：“干中學”、制度改善、技術進步的外溢效應。但即使考慮所有這些因素，資本收益遞減似乎也會從某一時間開始起作用。

3．考慮一個具有如下生產函數的經濟體：Y=AK0.4L0.6，其中K為資本，L為勞動：

（1）假設A=1，計算人均生產函數。

（2）假設每年折舊率δ為5%，考慮簡單的索洛增長模型，穩態時c=f(k*)-δk*，求出人均資本存量的黃金律以及黃金律水平下的人均產量水平，人均投資水平，人均消費水平。

（3）在一般化(A不等于常數)的生產函數中，你認為A可能包含哪些影響經濟長期增長的因素，這些因素是否可能與資本K或勞動L相關？

解：（1）A=1時，Y=AK0.4L0.6=K0.4L0.6，令人均產出為,人均資本為,則人均生產函數為：

。

（2）根據索洛增長模型的基本方程，及簡單的索洛增長模型中人口增長率n=0可得：穩態時k=sf(k)-(n+δ)k=sk0.4-(0+0.05)k=0，即s=0.05k0.6。

資本的黃金律水平是指穩定狀態人均消費最大化所對應的人均資本水平。當經濟達到黃金律水平時，需要滿足MPK=n+δ，即，0.4k-0.6=0.05，解得：人均資本存量的黃金律水平k*=32。

此時，人均產量水平為y*=f(32)=320.4=4；人均儲蓄率為s*=0.05k*0.6=0.4，人均投資水平為s*y*=0.4×4=1.6；人均消費水平為c*=f(k*)-δk*=4-0.05×32=2.4。

（3）這里的A就是被稱為全要素生產率的現期技術水平，一般被稱作索洛余量或索洛殘余，是用來解釋經濟增長中扣除勞動和資本要素投入的剩余部分的貢獻。索洛殘余用公式可以表示為：

式中，為總產出增長率，為勞動的增長率，為資本的增長率，和分別表示資本份額和勞動份額，為索洛殘余。

被解釋為廣義的技術進步對經濟的貢獻A，既包括科技進步，也包括人力資源素質的提升、管理水平的進步及其它對經濟具有正外部性的貢獻因素。其中勞動者素質提高、資本管理水平及效率的提高與L、K有關。

4．在不包含技術進步的索洛模型中，假設生產函數為，人口增長率為n，儲蓄率為s，資本折舊率為δ。定義k=K/L表示人均資本，y=Y/L表示人均產出。請回答以下問題：

（1）推導出人均資本積累的動態方程；

（2）計算出黃金律的資本存量以及相應的儲蓄率；

（3）在上述索洛模型中引入稅收政策，假設政府對收入征稅，稅率為τ（為簡化起見，這里不考慮稅收的具體用途），重新計算黃金律的資本存量以及相應的儲蓄率。

解：（1）由生產函數為可得人均生產函數為y=f(k)=Akα。人均資本積累的動態方程推導如下：

將公式K=I－δ，K=S－δ，k=sy－δK兩邊同除以L，可得：

=sAkα-δk

又由k=，對該式關于時間變量求導，經運算可得：

所以=Δk+nk，將其代入=sAkα-δk中可得：

Δk=sAkα-(n+δ)k

（2）穩態的消費可表示為：

c=Akα-(n+δ)k

黃金律的資本存量應滿足：

=αAkα-1-(n+δ)=0

解得：。

黃金律資本存量對應的儲蓄率。

（3）征稅后，穩態的消費可表示為：

c=(1-τ)Akα-(n+δ)k

黃金律的資本存量應滿足：

=α(1-τ)Akα-1-(n+δ)=0

解得：。

黃金律資本存量對應的儲蓄率。