四、計算題

1．假設索洛模型所描述的一個經濟處于人口增長為每年1.0%，技術進步率g為每年2.0%的穩態。總產出和總資本以每年3%的速度增長，再假設產出中資本的份額為0.3。如果你用增長核算方程式把產出的增長分為三個源泉——資本、勞動以及全要素生產率，那么，你歸于這每一個源泉的產出的增長是多少？

解：已知：，，。資本所占份額：，故勞動所占份額：。全要素生產率的貢獻為：產出增長＝資本的貢獻＋勞動的貢獻＋全要素生產率，即為：

解得。

即上式可表示為

由此可知：每年資本的貢獻是0.9%，勞動的貢獻是0.7%，全要素生產率增長的貢獻是1.4%。

2．假定生產函數為，資本平均可以持續使用50年。假定人口增長率和技術進步率都為零。

（1）根據最簡單的索洛增長模型，穩態時。試用微積分求以人均量表示的資本存量黃金律。

（2）計算經濟處于資本存量黃金律時的人均產量水平、人均投資水平、儲蓄率和人均消費水平。

解：（1）人均產出函數為：

已知資本可以使用50年，即每年的折舊率為2%。資本存量黃金律是使消費達到極大的資本存量，人均消費最大的一階條件為：。即有：

解得：。

（2）由，可得：

人均產量為：；

穩態的人均投資為：；

人均消費等于人均產量減去人均投資，即。

經濟處于均衡時，人均儲蓄等于人均投資，即。將已求出的和代入該式，可得，即儲蓄率為25%。

3．考慮用以下生產函數描述的一個經濟：。求解：

（1）人均生產函數是什么？

（2）假定沒有人口增長或技術進步，找出穩定狀態的人均資本存量、人均產出以及作為儲蓄率和折舊率函數的人均消費。

（3）試用微積分找出資本的邊際產量。

解：（1）已知生產函數為。用勞動去除生產函數的兩邊得到：

整理后可得：。

由于，，代入上式后得人均生產函數為：。

（2）若沒有人口增長和技術進步，則穩態時：，即有：

解得：。

此時人均產出為：；

人均消費為：。

（3）為了計算資本的邊際產品，就生產函數對資本求導，可得：

4．索洛增長模型描述的一個經濟有以下生產函數：。求解：

（1）作為s、n、g和d的函數的穩定狀態的y值。

（2）一個發達國家的儲蓄率為28%，人口增長率為每年1%。一個不發達國家的儲蓄率為10%，人口增長率為每年4%。在這兩個國家中，g＝0.02，d＝0.04。找出每個國家穩定狀態的值。

（3）不發達國家為了提高自己的收入水平可能采取什么政策？

解：（1）經濟穩態時有：，即有：

解得：

從而可得的穩態值為：。

（2）發達國家的穩態人均產出為：；

不發達國家的穩態人均產出為：。

（3）由（1）部分求得的的表達式表明：不發達國家可以能夠通過降低人口增長率或提高儲蓄率來提高其收入水平。降低人口增長率的政策包括宣傳生育控制的方法及不鼓勵生育。提高儲蓄率的政策包括通過減少預算赤字來增加公共儲蓄、引入私人儲蓄激勵（例如免利息稅）以及其他能增加儲蓄回報率的稅收政策。

5．在美國，資本在GDP中的份額為30%左右；產出的平均增長為每年3%左右；折舊率為每年4%左右；資本—產出比率為2.5左右。假設生產函數是柯布-道格拉斯生產函數，因此，資本在產出中的份額是不變的，而且，美國已經處于穩定狀態。求解：

（1）在初始穩定狀態，儲蓄率應該是多少？（提示：使用穩定狀態的關系：sy=(d＋n＋g)k）

（2）在初始穩定狀態，資本的邊際產量是多少？

（3）假設公共政策提高了儲蓄率，從而使經濟達到了資本的黃金律水平。在黃金律穩定狀態，資本的邊際產量將是多少？比較黃金穩定狀態的邊際產量和初始穩定狀態的邊際產量，并解釋。

（4）在黃金律穩定狀態，資本—產出比率將是多少？（提示：對柯布-道格拉斯生產函數來說，資本—產出比率與資本的邊際產量是相關的。）

（5）要達到黃金律穩定狀態，儲蓄率必須是多少？

解：柯布-道格拉斯生產函數的形式為，穩態時，已知產出增長率等于3%，所以可知，折舊率，資本產出比。且，即以單位有效勞動來表示的資本—產出比與以總量表示的資本—產出比相同）。

（1）穩態條件為：，所以可得儲蓄率為：

所以初始儲蓄率是17.5%。

（2）資本所占收入份額為：，即。

將上面所列各值代入得：。

（3）在穩態資本存量黃金律時：

將上面所列各值代入得：

在穩態資本存量黃金律時，資本的邊際產品是7%，而初始穩態時，它是12%。因此，從初始穩態出發，有必要提高值以獲得穩態資本存量黃金律。

（4）對于柯布-道格拉斯生產函數，，可得黃金律穩定狀態下的資本—產出比為：

在資本存量黃金律穩態時，資本—產出比等于4.29，而目前的資本產出比為2.5。

（5）從（1）可知，在穩態時有：

已知黃金律資本—產量比。可得：

因此，為了達到資本存量黃金律穩態，儲蓄率必須從17.5%提高到30%。