第三節　組合與概率

1．5，3，7三個數字可以組成幾個三位數？（　　）

A．8個

B．6個

C．4個

D．10個

【答案】B

【解析】百位上的數可以在5，3，7三個數中選一個，有3種選法；在確定百位上的數后，十位上的數只有兩種選法；百位上和十位上的數確定以后，個位上的數只有一種選法。所以三位數的組成方法共有3×2×1＝6種。

2．甲袋中有3個白球2個黑球，乙袋中有4個白球4個黑球，現從甲袋中任取2球放入乙袋，再從乙袋中取一個球放入甲袋。已知從乙袋取出的是白球，問從甲袋取出的球是一黑一白的概率為多少？

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】從乙袋取出的是白球，這一點對于甲袋取出的球的概率沒有影響。因此，從甲袋取出2個球，有種情況；取出的球是一黑一白，有3×2＝6種情況。取出的球是一黑一白的概率為＝。

3．一條線段中間另有6個點，則這8個點可以構成多少條線段？（　　）

A．15

B．12

C．28

D．36

【答案】C

【解析】兩點確定一條線段，因此線段的條數即相當于從8個點中任意選取2個點的方法數，即這8個點可以構成＝28條線段。

4．對某單位的100名員工進行調查，結果發現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人？（　  ）

A．22人

B．28人

C．30人

D．36人

【答案】A

【解析】由題意知，喜歡看球賽和戲劇但不喜歡看電影的有18－12＝6人，喜歡看電影和戲劇但不喜歡看球賽的有16－12＝4人，則只喜歡看戲劇的有38－12－4－6＝16人，既喜歡看球賽又喜歡看電影的有58＋52＋16－100＝26人，則只喜歡看電影的有52－26－4＝22人。

5．共有100個人參加某公司的招聘考試，考試的內容共有5道題，1～5題分別有80人、92人、86人、78人和74人答對。答對3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過這次考試？（　  ）

A．30

B．55

C．70

D．74

【答案】C

【解析】方法一：由題意可知，100張卷子一共對了80＋92＋86＋78＋74＝410道題。要使得通過的人盡量少，應使通過的人盡量全對，不通過的人也盡量多答對題，即答對2道題。設通過的有x人，則不通過的有100－x人，由題意可知5x＋2×（100－x）＝410，得x＝70人。

方法二：1～5題分別錯了20、8、14、22、26道，一共為90道。為滿足題中要求，應讓更多的人不及格，這90道錯題分配的時候應該盡量每3道分給一個人，即可保證一個人不及格。這90道錯題最多可以分給30個人，讓這30個人不及格，因此及格的人最少的情況下是70人。

6．有120名職工投票從甲、乙、丙三人中選舉一人為勞模，每人只能投一次，且只能選一個人，得票最多的人當選。統計票數的過程中發現，在前81張票中，甲得21票，乙得25票，丙得35票。在余下的選票中，丙至少再得幾張選票就一定能當選？（　  ）

A．15

B．18

C．21

D．31

【答案】A

【解析】乙的票數最接近丙，在剩余的39票中，先分給乙10張，此時乙、丙得票數相同。還剩29張票，丙只要拿到其中的15張票，則可保證丙必然當選。

7．由0、2、3、4這四個數組成的年份中，在21世紀的有（　  ）個？

A．9

B．16

C．15

D．27

【答案】C

【解析】由題意知，年份的前兩位可以確定分別為2、0，后兩位有4×4＝16種不同選擇，其中2000年屬于20世紀，因此共有16－1＝15個。

8．從1，2，3，4，…，1000這1000個數中，每次取出兩個數，使其和大于1000，共有幾種取法？（　　）

A．250500

B．250000

C．249500

D．200500

【答案】B

【解析】A＝1，B可取1000，有1種取法；A＝2，B可取1000、999，有2種取法；A＝3，B可取1000、999、998，有3種取法；A＝500，B可取1000、999、…、501，有500種取法；A＝501，B可取1000、999、……、502，有499種取法；……A＝1000，B可取1，有1種取法。共有1＋2＋3＋……＋499＋500＋499＋……＋3＋2＋1＝250000種不同的取法。

9．某社團共有46人，其中35人愛好戲劇，30人愛好體育，38人愛好寫作，40人愛好收藏，問這個社團至少有多少人以上四項活動都喜歡？（　  ）

A．5

B．6

C．7

D．8

【答案】A

【解析】由題意可知，不喜歡戲劇的有11人，不喜歡體育的有16人，不喜歡寫作的有8人，不喜歡收藏的有6人，只有當這4個集合相互沒有交集時，才能得出四項活動都喜歡的最少人數。故46－（11＋16＋8＋6）＝5人。

10．某一學校有500人，其中選修數學的有359人，選修文學的有408人，那么兩種課程都選的學生至少有多少？（　  ）

A．165人

B．203人

C．267人

D．199人

【答案】C

【解析】設至少有x人兩種課程都選，則359－x＋408－x＋x≤500，解得x≥267，則兩種課程都選的學生至少有267人。

11．某班同學要訂A、B、C、D四種學習報，每人至少訂一種，最多訂四種，那么每個同學有多少種不同的訂報方式？（　　）

A．7種

B．12種

C．15種

D．21種

【答案】C

【解析】按照訂閱的種數不同，可以分為4類，分別為訂閱一、二、三、四種，其對應方法數分別為，，

，，因此總的種數為＋＋＋＝15種。

12．小王忘記了朋友的手機號的最后兩位數，只記得倒數第一位是奇數，則他最多要撥號多少次才能保證撥通？（　　）

A．90

B．50

C．45

D．20

【答案】B

【解析】由題意可知，最后一位有5種可能；倒數第二位有10種可能。因此總的組合方法有5×10＝50種。

13．某專業有學生50人，現開設有甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課程的有28人，兼選甲、丙兩門課程的有26人，兼選乙、丙兩門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三門課程均未選的有多少人？（　  ）

A．1人

B．2人

C．3人

D．4人

【答案】B

【解析】由三個集合的容斥公式∣A∪B∪C∣＝∣A∣＋∣B∣＋∣C∣－∣A∩B∣－∣B∩C∣－∣C∩A∣＋∣A∩B∩C∣可知，三門課程至少選了一門的有40＋36＋30－28－26－24＋20＝48人。所以三門課程均未選的有50－48＝2人。

14．一個正八面體兩個相對的頂點分別為A和B，一個點從A出發，沿八面體的棱移動到B位置，其中任何頂點最多到達1次，且全程必須走過所有8個面的至少1條邊，問有多少種不同走法？（　  ）

A．8

B．16

C．24

D．32

【答案】A

【解析】從A點到中間四個頂點，有4種選擇；到達任一個頂點后，可橫向左轉圈，或橫向右轉圈，然后再到達B點，有2種選擇。因此共有2×4＝8種走法。

15．小王的手機通訊錄上有一手機號碼，只記下前面8個數字為15903428。但他肯定，后面3個數字全是偶數，最后一個數字是6，且后3個數字中相鄰數字不相同，請問該手機號碼有多少種可能？（　  ）

A．15

B．16

C．20

D．18

【答案】B

【解析】倒數第二個數字是非6偶數，共有4種可能；倒數第三個數字是不與倒數第二個數字重復的偶數，也有4種可能。因此該手機號碼有4×4＝16種可能。

16．要求廚師從12種主料中挑出2種，從13種配料中挑出3種來烹飪菜肴，烹飪方式共7種，最多可做出多少道不一樣的菜肴？（　  ）

A．131204

B．132132

D．130468

D．133456

【答案】B

【解析】從12種主料中挑出2種，共＝＝66種方法；從13種配料中挑出3種，共＝＝286種方法；從7種烹飪方式中選一種，共7種方法。因此總的方法數為66×286×7種，尾數為2，因此B項正確。

17．對若干人進行測試，一共5道題，規定每道題做對得2分，沒做得1分，做錯得0分。考官說這次測試至少有3個人每道題的得分都一致。則至少有多少人參加測試？（　  ）

A．450

B．488

C．243

D．487

【答案】D

【解析】每道題都有3種得分的可能性，則得分情況共有3⁵＝243種，則至少有243×（3－1）＋1＝487人參加測試。

18．在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施5個程序，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（　　）。

A．24種

B．48種

C．96種

D．144種

【答案】B

【解析】程序B和程序C實施時必須相鄰，則將這兩個程序捆綁在一起，作為整體參與排列，相當于4個程序進行排列，有＝24種情況，B和C本身又有2種情況，因此最終的編排方法有24×2＝48種。

19．將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，要求三盆紅花互不相鄰，共有多少種不同的方法？（　　）

A．8

B．10

C．15

D．20

【答案】B

【解析】要求三盆紅花互不相鄰，則將3盆紅花插入四盆黃花形成的5個空位（包括兩端）里，有＝10種不同的方法。

20．某人進行一次射擊練習，已知其每次射中靶心的概率是80%，求此人5次射擊中有4次命中的概率？（　　）

A．80%

B．60%

C．40.96%

D．35.47%

【答案】C

【解析】已知5次射擊有4次命中，那么可以先選出具體哪4次命中，選取的方法有種；對于每一種選取方法，每次命中的概率是80%，剩下一次沒有命中，概率為1－80%＝20%，故所求概率為×（80%）⁴×20%＝40.96%。

21．某中學在高考前夕進行了四次語文模擬考試，第一次得90分以上的學生為70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，請問在四次考試中都是90分以上的學生至少是多少？（　　）

A．40%

B．30%

C．20%

D．10%

【答案】C

【解析】四次沒考到90分以上的學生分別占30%、25%、15%、10%，要使得四次都是90分以上的學生最少，應使某次沒考到90分以上的學生盡可能多，即四次沒考到90分以上的學生人數互不相交，因此四次都在90分以上的學生至少有1－30%－25%－15%－10%＝20%。

22．調研人員在一次市場調查活動中收回了435份調查問卷，其中80%的調查問卷上填寫了被調查者的手機號碼。那么調研人員至少需要從這些調查表中隨機抽出多少份，才能保證一定能找到兩個手機號碼后兩位相同的被調查者？（　　）

A．101

B．175

C．188

D．200

【答案】C

【解析】在435份調查問卷中有435×20%＝87份沒有寫手機號；且手機號碼后兩位可能出現的情況一共10×10＝100種，因此要保證一定能找到兩個手機號碼后兩位相同的被調查者，至少需要抽取87＋100＋1＝188份。

23．一個袋內有100個球，其中有紅球28個、綠球20個、黃球12個、藍球20個、白球10個、黑球10個。現在從袋中任意摸球出來，如果要使摸出的球中，至少有15個球的顏色相同，問至少要摸出幾個球才能保證滿足上述要求？（　  ）

A．78個

B．77個

C．75個

D．68個

【答案】C

【解析】設手中有100個球，盡量不發出15個顏色相同的球。先將每種顏色的球發出14個，不足14個的全部發出，則共計發出14＋14＋12＋14＋10＋10＝74個，但剩下的球中任意再發出1個就滿足要求了。因此至少要摸出75個球。

24．某草場有480只兔子，其中白兔、黑兔、灰兔和棕兔分別有160、128、100和92只。問至少要放出多少只兔子，才能保證放出的兔子中一定有100只顏色相同？（　　）

A．101

B．191

C．389

D．390

【答案】D

【解析】白兔、黑兔和灰兔各放出99只，棕兔全都放出，此時，再多放1只兔子，必然有一種顏色超過100只，因此所求數目為99×3＋92＋1＝390只。

25．小王開車上班需經過4個交通路口，假設經過每個路口遇到紅燈的概率分別為0.1，0.2，0.25，0.4，則他上班經過4個路口至少有一處遇到綠燈的概率是（　  ）。

A．0.899

B．0.988

C．0.989

D．0.998

【答案】D

【解析】至少有一處遇到綠燈的反面情況是四個路口均為紅燈，而四個路口全部為紅燈的概率是0.1×0.2×0.25×0.4＝0.002，因此至少一處遇到綠燈的概率為1－0.002＝0.998。