第二節　圖形與幾何

1．一個三角形的兩條邊的長分別是a、b，且a＞b，那么這個三角形的周長L的取值范圍是：

A．3a＞L＞3b

B．2（a＋b）＞L＞2a

C．2a＋b＞L＞2b＋a

D．3a－b＞L＞2＋2b

【答案】B

【解析】根據題意，設第三邊為c，則有a－b＜c＜a＋b，所以2a＜L＜2（a＋b）。

2．下圖中大正方形ABCD的面積是16，其他點都是它所在邊的中點，問陰影三角形面積是多少？（　  ）

A．

B．

C．1.5

D．3

【答案】C

【解析】最中間的正方形面積是大正方形面積的，為4。將最內部正方形分出的兩個全等直角三角形相拼構成這個正方形面積的一半。另外的等腰直角三角形是最內部正方形面積的，則陰影面積為最中間正方形的1－－＝，陰影三角形面積為4×＝1.5。

3．過長方體一側面的兩條對角線交點，與下底面四個頂點連得一四棱錐，則四棱錐與長方體的體積比為多少？（　　）

A．1:8

B．1:6

C．1:4

D．1:3

【答案】B

【解析】等底等高時，椎體體積是柱體體積的，而題中椎體的高是長方體高的一半，四棱錐與長方體的體積之比為1:6。

4． 3條直線最多能將平面分成幾部分？（　  ）

A．4部分

B．6部分

C．7部分

D．8部分

【答案】C

【解析】三條直線兩兩相交，且不交于一處時，分成的部分最多，即可將平面分成7部分。

5．一個四邊形廣場，它的四邊長分別是60米、72米、96米、84米，現在四邊上植樹，四角需種樹，而且每兩棵樹的間隔相等，那么，至少要種多少棵樹？（　?。?/p>

A．22

B．25

C．26

D．30

【答案】C

【解析】由題意可知，需要四邊長被兩棵樹之間的間隔整除。60，72，96，84都能被12整除，即60，72，96，84的最大公約數為12。因此至少要種60÷12＋72÷12＋96÷12＋84÷12＝5＋6＋8＋7＝26棵樹。

6．一個長方體，6個面均涂滿紅色，現沿垂直于長邊的方向將長邊等距離切5刀，再沿垂直于寬邊的方向將寬邊等距離切4刀，若要得到24塊沒有紅色面的小長方體，需要將高邊沿垂直于高邊方向等距離切幾刀？（　?。?/p>

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【解析】由題意可知，長邊切5刀，將長方體分成了（5＋1）個長方體；寬邊切4刀，則分成了（5＋1）（4＋1）個長方體。設需要將高邊切n刀，則將長方體共分成了（5＋1）（4＋1）（n＋1）＝30n＋30個長方體，其中沒有紅色面的小長方體共有（5－1）（4－1）（n－1）＝24，得n＝3。

7．一人上樓，邊走邊數臺階。從一樓走到四樓，共走了54級臺階。如果每層樓之間的臺階數相同，他一直要走到八樓，問他從一樓到八樓一共要走多少級臺階？（　　）

A．126

B．120

C．114

D．108

【答案】A

【解析】從一樓走到四樓，共走了54級臺階，而他實際走了3層樓的高度，所以每層樓的臺階數為54÷3＝18級。他從一樓到八樓一共要走7層樓，因此共要走7×18＝126級臺階。

8．相同表面積的四面體、六面體、正十二面體及正二十面體中體積最大的是（　　）

A．四面體

B．六面體

c．正十二面體

D．正二十面體

【答案】D

【解析】相同表面積的空間幾何圖形，越接近于球，其體積越大。正二十面體是四個圖形中最接近于球的立體幾何圖形，體積最大。

9．建造一個容積為16立方米、深為4米的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為每平方米160元和每平方米100元，那么該水池的最低總造價是多少元？（　  ）

A．3980

B．3560

C．3270

D．3840

【答案】D

【解析】水池體積一定、深度一定，則其底面積＝16÷4＝4平方米固定，故池底的造價不變，其值為4×160＝640元。側面高為4保持不變，則側面積的大小由池底的周長決定。又因為平面幾何圖形面積一定時，越接近于圓，周長越小，故池底是正方形時周長最小，此時正方形邊長為2米，側面積為2×4×4＝32平方米，池壁造價為32×100＝3200元。因此最低造價為640＋3200＝3840元。

10．植樹節到了，學校組織學生進行植樹比賽。其路線為從學校門口到一食堂的540米的路上雙邊種植，要求學校門口栽樹，食堂處不栽，樹木之間的間隔為2米、1米交替進行，面積為7850平方米圓形操場環形種植樹木之間的間隔為2米，一共需要多少棵樹苗？（　?。?/p>

A．876

B．877

C．878

D．879

【答案】C

【解析】由題意可知，從學校門口到一食堂的540米的路上需要間隔為2米、1米交替進行種植，可以看作先進行3米間隔種植，然后在3米間隔中插入一棵樹使之間隔為2米、1米交替，則所需的樹苗為2×（＋

＋1）－1＝721棵；圓形操場的半徑為＝50米，故周長為2πr＝2×3.14×50＝314米，需要的樹苗為314÷2＝157棵，因此一共需要樹苗721＋157＝878棵。

11．某大學參加軍訓隊列表演，組織一個方陣隊伍。如果每班60人，這個方陣至少要有5個班的同學參加；如果每班70人，這個方陣至少要有4個班的同學參加。那么組成這個方陣最外層的人數應為幾人？（　  ）

A．16

B．64

C．68

D．60

【答案】D

【解析】設最外層每邊人數為N，則方陣人數為N²，由題意可知，240＜N²≤300，210＜N²≤280，則240＜N²≤280，而在240和280之間的完全平方數只有16²＝256，故N＝16。則方陣最外層人數為4（N－1）＝60人。

12.A、B兩地直線距離40千米，汽車P與兩地直線距離和等于60千米。則以下判斷正確的是（　?。?。

A．如果A、B、P不在同一條直線上，汽車所在位置有3個，可位于A、B兩地之間或A、B兩地外側

B．如果A、B、P不在同一條直線上，汽車的位置有無窮多個

C．如果A、B、P位于同一條直線上，汽車位于A、B兩地之間或兩地外側

D．如果A、B、P位于同一條直線上，汽車位于A、B兩地外側，且汽車到A的距離為20千米

【答案】B

【解析】AB距離為40千米，AP和BP距離之和為60千米。①A、B、P三點在同一直線上，則P點位于AB外側10千米處；②若A、B、P三點不在同一直線上，則轉化為A、B點固定，AP＋BP＝60千米，此時P點的位子移動的軌跡為橢圓，動點的個數為無數個。因此B項正確。

13．若干學校聯合進行團體操表演，參演學生組成一個方陣，已知方陣由外到內第二層有104人，則該方陣共有學生（　　）人。

A．625

B．841

C．1024

D．1369

【答案】B

【解析】由題意可知，方陣中最外層人數比相鄰內層人數多8人，故最外層人數為104＋8＝112人。設最外層每邊的人數為N人，則（N－1）×4＝112，N＝29人，故方陣共有學生29×29＝841人

14．正六面體的表面積增加96%，則棱長增加多少？（　?。?/p>

A．20%

B．30%

C．40%

D．50%

【答案】C

【解析】設增加后的棱長為x，原來的棱長為1，則面積增加為＝0.96，x＝1.4，則棱長增加了40%。

15．科考隊員在冰面上鉆孔獲取樣本，測量不同孔心之間的距離，獲得的部分數據分別為1米、3米、6米、12米、24米、48米。問科考隊員至少鉆了多少個孔？（　  ）

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】D

【解析】所測距離組成一個數列1、3、6、12、24、48，該數列中任一項均大于其前面所有項之和，則這6條線段不可能組成封閉回路，即6條線段最少7個端點，至少鉆7個孔。

16．已知一直角三角的一個直角邊長為12，且周長比面積的數值小18，則該三角形的面積是（　?。?。

A．20

B．36

C．54

D．96

【答案】C

【解析】設另一直角邊為x，斜邊為y，根據勾股定理可得，x²＋12²＝y²，則有x＋12＋y＋18＝×12x，5x＝30＋y，聯立兩式可得，x＝9，y＝15，則三角形的面積為6x＝6×9＝54。

17．一個正三角形和一個正六邊形周長相等，則正六邊形面積為正三角形的（　　）。

A．倍

B．1.5倍

C．倍

D．2倍

【答案】B

【解析】設正三角形和一個正六邊形的周長為6，六邊形的邊長為1，三角形的邊長為2；正六邊形可以分成6個邊長為1的小正三角形，邊長為2的正三角形可以分成4個邊長為1的小正三角形。所以正六邊形面積:正三角形的面積＝6:4，即正六邊形面積為正三角形的1.5倍。

18．3顆氣象衛星與地心距離相等，并可同時覆蓋全球地表，現假設地球半徑為R，這3顆衛星距地球最短距離為（　　）。

A．R

B．2R

C．R

D．R

【答案】A

【解析】設地球為球形，三顆氣象衛星位于以地球為內切圓的等邊三角形的三個頂點，由直角三角形中30°角的性質可知，氣象衛星距離地心的距離為2R，則氣象衛星距離地球的最近距離為R。

19．一個棱長為8㎝²的立方體，表面涂滿油漆，現在將它切成棱長為0.5㎝的小立方體，問兩個表面有油漆的小立方體有多少個？（　  ）

A．144

B．168

C．192

D．256

【答案】B

【解析】兩個表面有油漆的小立方體均分布在大立方體的12條棱的周圍，每條棱可分8÷0.5＝16段，即共有16個小立方體，又由于16個小立方體中，在每條棱的兩端的兩個小立方體三面有油漆，因此每條棱上只有14個小立方體兩個表面有油漆，則兩個表面有油漆的小立方體共有12×14＝168個。

20．矩形的一邊增加了10%，與它相鄰的一邊減少了10%，那么矩形的面積（　?。?。

A．增加10%

B．減少10%

C．不變

D．減少1%

【答案】D

【解析】設矩形原來的長、寬分別為a、b，則原來的面積S＝ab，現在的面積為1.1a×0.9b＝0.99ab，（ab－0.99ab）/ab＝1%，即減少了1%。