第七章　初等數(shù)學(xué)問題

一、多位數(shù)問題

多位數(shù)問題主要涉及一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)等多位數(shù)的構(gòu)造、求值以及判定位置等問題。在這類問題中，考查重點(diǎn)是考生的分析數(shù)字分析能力，需要考生能夠?qū)㈩}目條件迅速轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)字形式。多位數(shù)問題考查技巧涉及多位數(shù)構(gòu)造、數(shù)字拆分、數(shù)字結(jié)構(gòu)分析、直接代入驗(yàn)證等多個(gè)技巧。

位值原理：

①若某數(shù)的個(gè)位、十位、百位……依次為a，b，c…則該數(shù)的值為a×10⁰＋b×10¹＋c×10²＋…

②若某數(shù)的個(gè)位、十分位、百分位……依次為a，b，c…則該數(shù)的值為a×10⁰＋b×10^－1＋c×10^－2＋…

1．多位數(shù)構(gòu)造

多位數(shù)構(gòu)造指題目給出某多位數(shù)的數(shù)位信息，構(gòu)造出具體的多位數(shù)。

【例1】由1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，有多少個(gè)大于34152？（　　）

A．50　

B．54　

C．58　 

D．60

【答案】C

【解析】由題意可知，大于34152的五位數(shù)有以下幾種情況：①萬(wàn)位數(shù)是4或5時(shí)分別有4×3×2×1＝24（個(gè)）；②萬(wàn)位數(shù)是3，千位數(shù)是5時(shí)有3×2×1＝6（個(gè)）；③萬(wàn)位數(shù)是3，千位數(shù)是4時(shí)有4個(gè)：34215，34251，34512，34521。則共有24＋24＋6＋4＝58（個(gè)）數(shù)。

【例2】編一本書的書頁(yè)，用了270個(gè)數(shù)字（重復(fù)的也算，如頁(yè)碼115用了2個(gè)1和1個(gè)5共3個(gè)數(shù)字），問這本書一共有多少頁(yè)？（　　）

A．117 

B．126 

C．127　

D．189

【答案】B

【解析】從第1頁(yè)到第9頁(yè)，用掉了9個(gè)數(shù)字；從第10頁(yè)到第99頁(yè)，用掉數(shù)字共計(jì)90×2＝180（個(gè)），還剩余的數(shù)字270－9－180＝81（個(gè)），將全部用于三位數(shù)頁(yè)碼的構(gòu)造。故能編三位數(shù)頁(yè)碼81÷3＝27（頁(yè)），即這本書一共有100＋27－1＝126（頁(yè)）。

2．?dāng)?shù)字拆分

數(shù)字拆分指因?yàn)閿?shù)字的特殊結(jié)構(gòu)，需要對(duì)每位數(shù)上的數(shù)字單獨(dú)分析的方法。

【例3】一個(gè)自然數(shù)（0除外），如果它順著數(shù)和倒過來數(shù)都是一樣的，則稱這個(gè)數(shù)為“對(duì)稱數(shù)”。例如，2，101，1331是對(duì)稱數(shù)，但220不是對(duì)稱數(shù)。由數(shù)字0，1，2，3組成的不超過3位數(shù)的對(duì)稱數(shù)有（　　）個(gè)。

A．9　 

B．12　

C．18

D．21

【答案】C

【解析】一位數(shù)有3種情況，分別為1，2，3（注意0除外）；兩位數(shù)有3種情況，分別為11，22，33；三位數(shù)要為對(duì)稱數(shù)，其百位數(shù)字不能為0，且應(yīng)與個(gè)位數(shù)字相同，只有3種選擇，而十位數(shù)字可以為任意情況，有4種選擇，因此符合要求的三位數(shù)有3×4×1＝12個(gè)。綜上所述，對(duì)稱數(shù)共有3＋3＋12＝18（個(gè)）。

3．?dāng)?shù)字結(jié)構(gòu)分析

數(shù)字結(jié)構(gòu)分析指通過對(duì)數(shù)值的每個(gè)位數(shù)或添加數(shù)字在某些位數(shù)后，結(jié)構(gòu)上發(fā)生的一些變化，通過對(duì)這些結(jié)構(gòu)變化上的分析，得出具體的數(shù)字。

【例4】有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼1加在它的前面，那么可以得到一個(gè)三位數(shù)，如果把1加在它的后面，那么也可以得到一個(gè)三位數(shù)，而這兩個(gè)三位數(shù)相差414，求原來的兩位數(shù)？（　  ）

A．35 

B．43　 

C．52　

D．57

【答案】D

【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)十位為x，個(gè)位為y，則這個(gè)數(shù)可表示為10x＋y，將1加在這個(gè)數(shù)前形成的新數(shù)為

a＝100＋10x＋y，將1加在其后形成的新數(shù)為b＝100x＋10x＋1，由兩數(shù)相減為414，可知b的個(gè)位“1”減去a的個(gè)位“y”結(jié)果應(yīng)為4，則y應(yīng)為7。因此D項(xiàng)正確。

4．直接代入驗(yàn)證

直接代入驗(yàn)證，指在題目所給信息不是那么明確的情況下，將每一個(gè)答案代入到題中所給信息，滿足題目信息的就是所要選的答案。在多位數(shù)分析中，這是一種比較有效的方法。

【例5】有兩個(gè)自然數(shù)，它們的和等于297，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和等于693。這兩個(gè)自然數(shù)的差等于多少？（　　）

A．33 

B．27　 

C．11　 

D．9

【答案】A

【解析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)是A×M，B×M，M是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，其中A，B，M均為整數(shù)，則A×M＋B×M＝（A＋B）×M＝279，M＋A×B×M＝（1＋A×B）×M＝693，得M是279的約數(shù)。有M＝1，3，9，11，27，33，99，297八種情況，分別代入兩個(gè)式子計(jì)算，得當(dāng)M＝33時(shí)，A，B＝4或5，即一個(gè)數(shù)是4×33＝132，一個(gè)數(shù)是5×33＝165，兩者之差為165－132＝33。

二、余數(shù)相關(guān)問題

1．基本余數(shù)問題

余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)＝商…余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）。

余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)。

核心公式：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）；被除數(shù)－余數(shù)＝除數(shù)×商，這也可以看作具有整除性質(zhì)，在余數(shù)計(jì)算中常有使用。

【例6】有一個(gè)整數(shù)，用它分別去除157、324和234，得到的三個(gè)余數(shù)之和是100，求這個(gè)整數(shù)。（　　）

A．44　

B．43　 

C．42　

D．41

【答案】D

【解析】設(shè)這個(gè)整數(shù)為x，商分別為a、b、c，則有x（a＋b＋c）＋100＝157＋324＋234，即x（a＋b＋c）＝615，即所求數(shù)應(yīng)能將615整除，只有41符合。

【例7】某校的學(xué)生總數(shù)是一個(gè)三位數(shù)，平均每個(gè)班35人，統(tǒng)計(jì)員提供的學(xué)生總數(shù)比實(shí)際總?cè)藬?shù)少270人，原來，他在記錄時(shí)粗心地將這個(gè)三位數(shù)的百位與十位的數(shù)字對(duì)調(diào)了，該學(xué)校學(xué)生總數(shù)最多是多少人？（　　）

A．748

B．630　 

C．525 

D．360

【答案】B

【解析】由“平均每個(gè)班35人”可知，該校學(xué)生總數(shù)能被35的質(zhì)因數(shù)5、7分別整除，只有630符合。

2．同余問題

同余指兩個(gè)整數(shù)，它們除以同一個(gè)整數(shù)所得的余數(shù)相同。

①余同取余：如果一個(gè)被除數(shù)的除數(shù)不同，余數(shù)相同，那么這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式可以表示為幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)共同的余數(shù)。

②和同加和：如果一個(gè)被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的和相等，那么這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式可以表示為幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)與余數(shù)的和。

③差同減差：如果一個(gè)被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的差相等，那么這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式可以表示為幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)減去除數(shù)與余數(shù)的差。

【例8】一個(gè)整數(shù)除以5余3，用所得的商除以6余2，再用所得的商除以7余1，用這個(gè)整數(shù)除以35，則余數(shù)為（　　）。

A．8　 

B．19　 

C．24

D．34

【答案】A

【解析】由題意可知，題中除數(shù)與余數(shù)相加均為8，由同余問題的口訣“差同減差，和同加和，余同取余，公倍數(shù)作周期”可知，這個(gè)數(shù)為210n＋8。又因?yàn)?10能被35整除，則這個(gè)數(shù)除以35的余數(shù)為8。因此A項(xiàng)正確。

【例9】有一個(gè)兩位數(shù)，除以3的余數(shù)為2，除以4的余數(shù)是1，則這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是（　　）。

A．0　 

B．5　 

C．1 

D．6

【答案】B

【解析】由“和同加和，公倍數(shù)做周期”可知，滿足條件的整數(shù)為5＋12n（n≥1），故該整數(shù)除以12的余數(shù)為5。

【例10】三個(gè)運(yùn)動(dòng)員跨臺(tái)階，臺(tái)階總數(shù)在100～150級(jí)之間，第一位運(yùn)動(dòng)員每次跨3級(jí)臺(tái)階，最后一步還剩2級(jí)臺(tái)階；第二位運(yùn)動(dòng)員每次跨4級(jí)，最后一步還剩3級(jí)臺(tái)階；第三位運(yùn)動(dòng)員每次跨5級(jí)臺(tái)階，最后一步還剩4級(jí)臺(tái)階。問這些臺(tái)階總共有（　　）級(jí)？

A．119

B．121　

C．129　

D．131

【答案】A

【解析】3、4、5的最小公倍數(shù)為60，則總級(jí)數(shù)為60n－1，則有100≤60n－1≤150，解得n＝2，即臺(tái)階總共有119級(jí)。

三、平均數(shù)

平均數(shù)相關(guān)公式主要有：

（1）算數(shù)平均數(shù)：x＝（x₁＋x₂＋x₃＋…＋x_n）÷n

（2）調(diào)和平均數(shù)：＝

（3）加權(quán)平均數(shù)：＝

其中，w₁，w₂，w₃，…，w_n分別為x₁，x₂，x₃，…，x_n的權(quán)。

【例11】有四個(gè)數(shù)，去掉最大的數(shù)，其余三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是41，去掉最小的數(shù)，其余三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是60，最大數(shù)與最小數(shù)的和是95。則這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（　　）。

A．49.75　

B．51.25　 

C．53.75

D．54.75

【答案】A

【解析】將所有情況合為整體，恰好每個(gè)數(shù)字被計(jì)算兩次，則平均數(shù)＝（41×3＋60×3＋95）÷2÷4＝49.75。

【例12】T＝，則T值的整數(shù)部分是（　　）。

A．180

B．181 

C．182　

D．183

【答案】D

【解析】，因此＜T＜，得182＜T＜182.9，即T的整數(shù)部分應(yīng)為182。

四、數(shù)列問題

1．常用數(shù)列推理公式：

①1＋2＋3＋4＋5＋……＋n＝n（n＋1）；

②1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）＝；

③＋＋＋……＋＝n（n＋1）（2n＋1）；

④＋＋＋……＋＝（2n－1）（2n＋1）；

⑤－＋－＋……＋＝n（n＋1）；

⑥1×2＋2×3＋3×4＋……＋ n（n＋1）＝n（n＋1）（n＋2）。

⑦＋＋＋……＋＝

2．等差數(shù)列

等差數(shù)列即相鄰兩項(xiàng)的數(shù)值的差值是一定值的連續(xù)數(shù)列。

（1）通項(xiàng)公式

a_n＝a₁＋（n－1）d

其中，a₁表示數(shù)列的第一項(xiàng)，a_n表示數(shù)列的第n項(xiàng)，d表示公差。

（2）求和公式

S_n＝na₁＋d＝＝平均數(shù)×項(xiàng)數(shù)＝中位數(shù)×項(xiàng)數(shù)

（3）對(duì)稱公式

當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，有a_m＋a_n＝a_p＋a_q

特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有a_m＋a_n＝2a_p

（4）等差中項(xiàng)

在數(shù)值a、b之間插入一個(gè)數(shù)值M，使得M＝（a＋b）/2，稱M是數(shù)列a、M、b的等差中項(xiàng)。對(duì)于有n個(gè)數(shù)值，且n是一個(gè)有限的數(shù)值等差數(shù)列：

①n是奇數(shù)，等差中項(xiàng)M＝a（n＋1）/2＝（a₁＋a_n）/2，其求和公式為Sn＝Mn；

②n是偶數(shù)，等差中項(xiàng)M＝（a_n/2＋a_n/2＋1）/2，其求和公式為Sn＝Mn。

【例13】已知等差數(shù)列｛a_n｝滿足a₂＋a₄＝4，a₃＋a₅＝10，則它的前10項(xiàng)的和S₁₀＝（　  ）。

A．138

B．135

C．95　

D．23

【答案】C

【解析】由a₂＋a₄＝4，a₃＋a₅＝10得，a₁＝4，d＝3，故S₁₀＝10a₁＋45d＝40＋135＝95。

3．等比數(shù)列

等比數(shù)列a₁，a₂，…，a_n

（1）公差：q＝

（2）求和公式：S_n＝

（3）性質(zhì)：當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，有a_ma_n＝a_pa_q，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有a_ma_n＝a_p²。

【例14】1，1，2，6，（　  ）。

A．21 

B．22 　

C．23 

D．24

【答案】D

【解析】這是一個(gè)典型的等比數(shù)列，后一項(xiàng)比前一項(xiàng)分別為1，2，3，4。

【例15】232，364，4128，52416，（　  ）

A．64832　

B．624382　

C．723654 

D．87544

【答案】A

【解析】將每個(gè)數(shù)看成3個(gè)部分的組合。第一部分：2、3、4、5、（6）為連續(xù)自然數(shù)；第二部分：3、6、12、24、（48）是公比為2的等比數(shù)列；第三部分：2、4、8、16、（32）是公比為2的等比數(shù)列。所填數(shù)應(yīng)是64832。