第六章　計數問題

一、排列組合問題

1．題型簡述

排列組合的難點主要體現在對排列組合原理的理解與運用上，也即確定是排列還是組合。排列與組合，前者與順序有關，后者與順序無關。考生可以通過任選一種安排好的情況，調整其中兩個物體的前后順序，看是否會出現新的情形，若是則與順序有關，反之則與順序無關。對基本的排列組合題能夠迅速判斷是排列還是組合，并寫出對應方法數。

（1）排列

排列是指，從n個不同的元素中，取出m個（m≤n）元素（各不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

（2）組合

組合是指，從n個不同的元素中取出m個（m≤n）元素拼成一組（即不排序），叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

2．核心公式

排列公式：＝＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）。

組合公式：＝＝。

【例1】某中學要從12名優秀學生當中投票評選三好學生，若每位投票人必須從這12名優秀學生當中任選三位投票，則該中學至少有多少投票人參加評選，才能保證有10位投票人投了相同的三位優秀學生的票？（　　）

A．1978

B．1979 

C．1980

D．1981

【答案】D

【解析】由題意可知，從12名優秀學生中任意選三位，一共有＝220（種）選法。若其中每種選法都有9個人投票，那么再有一個投票人就可以保證有10位投票人投了相同的三位優秀學生的票，則該中學投票人數至少要有9×220＋1＝1981（人）。

3．分類法

根據題意分成若干類分別計算：①根據題目的信息，確定分類的標準；②確定每個標準下面的取法；③根據加法原理，求出滿足條件的個數。

【例2】甲、乙兩個科室各有4名職員，且都是男女各半，現從兩個科室中選出4人參加培訓，要求女職員比重不得低于一半，且每個科室至少選1人。問有多少種不同的選法？（　　）

A．67　

B．63　 

C．53　 

D．51

【答案】D

【解析】由“要求女職員比重不得低于一半”可知，選拔可分為三種情況：①2男2女，需先從4個女職員中選兩個，再從4個男職員中選兩個，最后減去4個職員都從一個科室中選出的2種情形，即有－2＝34（種）選法；②1男3女，有＝16（種）選法；③0男4女，只有1種選法。則共有34＋16＋1＝51（種）選法。

【例3】從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意選出三個數，使它們的和為偶數，則共有（　　）種不同的選法。

A．40　

B．41　 

C．44　 

D．46

【答案】C

【解析】首先將這9個數進行奇、偶分類，即奇數1，3，5，7，9和偶數2，4，6，8，如果要想使任取的3個數為偶數，則必須要3個全都是偶數，或者取1個偶數2個奇數。

具體步驟分成兩步，運用加法原理：

①3個全都是偶數的取法有（種）；

②1個偶數2個奇數的取法有（種）。

根據加法原理，總的選法一共有4＋40=44（種）。

4．分步計算法

分步是指對完成一件事，需要將完成該事劃分為多個步驟依次完成，每個步驟內的方法只能保證完成該步，而對下步可能會有相應的影響。從而實際的方法數為各步驟的方法數直接相乘，即分步用乘法原理。

【例4】某論壇邀請了六位嘉賓，安排其中三人進行單獨演講，另三人參加圓桌對話節目。如每位嘉賓都可以參加演講或圓桌對話，演講順序分先后且圓桌對話必須安排在任意兩場演講之間，問一共有多少種不同的安排方式？（　　）

A．120 

B．240　

C．480　

D．1440

【答案】B

【解析】第一步，將6人分為演講組和圓桌對話組，共＝20種安排方式；第二步，將演講組全排列，共

＝6（種）安排方式；第三步，將圓桌對話組安排在任意兩場演講之間，共2種安排方式，則一共有

20×6×2＝240（種）安排方式。

【例5】如下圖所示，某城鎮共有6條東西方向的街道和6條南北方向的街道，其中有一個湖，街道在此變成一個菱形的環湖大道。現要從城鎮的A處送一份加急信件到B處，為節省時間，要選擇最短的路線，共有（　　）種不同走法。

A．35 

B．36　 

C．37　 

D．38

【答案】A

【解析】要使從A到B路徑最短，則必須向右或向下走且經過一段斜線以減少路程，即經過路程可能為如下兩種情況：A→D→E→B或A→C→F→B。①從A到D必須經過三個橫向段與兩個縱向段，因此方法數相當于從5個段中選擇兩個為縱向（每步的方向確定則路程確定），即＝10，同理，從E到B方法數為＝3；②從A到C方法數為＝5，從F到B方法數為1。因此總的方法數為10×3＋5×1＝35（種）。

5．捆綁插空法

（1）相鄰問題——捆綁法：先將相鄰元素全排列，然后視為一個整體與剩余元素全排列。

（2）不相鄰問題——插空法：先將剩余元素全排列，然后將不相鄰元素有序插入所成間隙中。

【例6】A、B、C、D、E、F、G，這7位同學站成一排，要求AB兩個同學必須相鄰的排法共有多少種？（　　）

A．720

B．1020

C．1440

D．1680

【答案】C

【解析】由于要求AB兩個同學必須相鄰，把這兩個人看作一個元素，與剩余的5個元素進行排序，即有

＝6×5×4×3×2×1＝720（種）。AB和BA的排序是不一樣的，即AB的排序是2種，則滿足要求的排序就是

720×2＝1440（種）。

【例7】四名學生和兩位老師站一排照相，兩老師不在兩端，但相鄰的排法有（　　）

A．72種　

B．108種　

C．144種　 

D．288種

【答案】C

【解析】把兩個老師看成一個整體，即一個人，這樣相當于有5個人排隊。由于老師不能排在兩端，所以應該從中間的三個位置中選一個位置給老師排，而兩個老師之間可以互換，所以兩個老師的排法有A¹₃A²₂=6（種）。學生可以在剩余四個位置進行排列，排法有A⁴₄=24（種）。則題干的排法共有24×6=144（種）。

6．重復剔除法

（1）多人排成圈問題

N人排成一圈，有種排法。

（2）物品串成圈問題

N個珍珠串成一條項鏈，有種串法。

7．多人傳球法

M個人傳N次球，記，則與X最接近的整數為傳給“非自己的某人”的方法數，與X第二接近的整數便是傳給自己的方法數。

二、容斥問題

1．容斥原理

容斥原理主要用于有重疊部分的計數，其計數思想是先不考慮重疊的情況，將所有集合的所有對象數目計算出來，再逐步排除重疊的情況。

容斥原理中側重考查兩類題型：

（1）二或三集合容斥原理的整體思維，把滿足單個條件當做一個整體，計算每個整體的容斥公式求解；

（2）多個集合的逆向思維考慮，考慮到正面分析每個條件會比較困難，根據題設可以從逆向考慮不滿足的情況，再結合極端情況解答。

2．容斥公式

（1）三集合容斥原理公式：

|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|

（2）兩集合容斥原理公式：

|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|

（3）對兩集合的容斥原理的推論公式：

滿足條件1的個數＋滿足條件2的個數－都滿足的個數＝總數－都不滿足的個數＝滿足至少一個條件的個數。

【例8】某班共有30名男生，其中20人參加足球隊，12人參加籃球隊，10人參加排球隊。已知沒有一個人同時參加3個隊，且每人至少參加一個隊，有6人既參加足球隊又參加籃球隊，有2人既參加籃球隊又參加排球隊，那么既參加足球隊又參加排球隊的有（　　）。

A．3人

B．4人

C．6人 

D．7人

【答案】B

【解析】設既參加足球隊又參加排球隊的有x人，由三集合容斥原理公式|A∪B∪|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|可知，30＝20＋12＋10－6－2－x，解得x＝4（人）。

三、概率問題

概率，又稱或然率、機會率或機率、可能性，表示的是一個事件發生的可能性大小，也是對隨機時間發生的可能性的度量。

1．古典概型

（1）特點

①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個。

②每個基本事件出現的可能性相等。

（2）公式

P（A）＝

【例9】田忌與齊威王賽馬并最終獲勝被傳為佳話，假設齊威王以上等馬、中等馬和下等馬的固定程序排陣，那么田忌隨機將自己的三匹馬排陣時，能夠獲得兩場勝利的概率是（　　）。

A．2/3

B．1/3 

C．1/6　 　 

D．1/9

【答案】C

【解析】根據題意，田忌隨機將自己的三匹馬排陣的時候，一共有3×2×1＝6種排法；能夠獲得兩場勝利的情況只有一種，即用自己的下等馬對齊威王的上等馬，用自己的上等馬對齊威王的中等馬，用自己的中等馬對齊威王的下等馬，則能夠獲得兩場勝利的概率是1/6。

【例10】某單位共有36人，四種血型的人數分別是：A型12人、B型10人、AB型8人、O型6人。如果從這個單位中隨機地找兩個人，那么這兩個人具有相同血型的概率是多少？（　　）

A．

B． 

C．　

D．

【答案】A

【解析】樣本點總數是從36人中隨機找兩個人的不同方法。題中的事件A是“從36人中，挑選兩個血型相同的人”。

樣本點總數為；完成事件A，有四類方式：一是挑選兩個A型血的人、二是挑選兩個B型血的人、三是挑選兩個AB型血的人、四是挑選兩個O型血的人。運用加法原理，事件A的樣本點總數是。事件A發生的概率是。

2．條件概率

條件概率：表示的是在事件A發生的前提下，事件B發生的概率，記作P（B∣A）。其核心公式為P（B∣A）＝P（A∩B）/P（A），其中：P（A∩B）表示的是事件A、B同時發生的概率；P（A）表示的是事件A發生的概率；P（B∣A）表示的是在事件B發生的條件下，事件A發生的概率。

【例11】根據大量的統計，大熊貓活到十歲的概率是0.8，活到十五歲的概率是0.6。現有一只大熊貓已活到十歲了，求它活到十五歲的概率。（　　）

A．0.6 

B．0.75 

C．0.8　

D．0.96

【答案】

【解析】由題意可知，大熊貓活到十五歲的概率是P（A∩B）＝0.6，大熊貓活到十歲的概率是P（A）＝0.8，則該大熊貓活到十五歲的概率為P（B∣A）＝0.6/0.8＝0.75。

【例12】一個袋子里有10個小球，其中4個白球，6個黑球，無放回地每次抽取1個，則第二次取到白球的概率是多少？

A．2/15

B．4/15 

C．1/5　

D．2/5

【答案】D

【解析】可分成兩種情況：①第一次取到白球，第二次也取到白球的概率是；×＝；②第一次取到黑球，第二次取到白球的概率是×＝，即第二次取到白球的概率為＋＝＝。

3．幾何概型

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱為幾何概型。

（1）特點

①試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個。

②每個基本事件出現的可能性相等。

（2）公式

P（A）＝

【例13】甲、乙兩人約定在下午4點到5點間在某地相見。他們約好當其中一人先到后一定要等另一人15分鐘，若另一人仍不到則可以離去，則甲、乙能相見的概率為（　　）。

A．　

B．　

C． 

D．

【答案】A

【解析】設甲到達時間為4點x分，乙到達時間為4點y分。如下圖，只有當∣x－y∣≤15時兩者可相見，即圖中陰影部分。甲乙能相見的概率即陰影部分面積占總面積的比，其值為＝。

四、構造問題

“構造問題”其實可以分為三種類型的題：構造數列、構造最不利（也叫抽屜原理）、多集合反向構造。

1．構造數列

常見“構造數列”題的特征是：最……最……，排名第……最……，對于這樣的“構造問題”，解題方法就是構造出一個滿足題目要求的數列。

【例14】某單位2011年招聘了65名畢業生，擬分配到該單位的7個不同部門，假設行政部門分得的畢業生人數比其他部門都多，問行政部門分得的畢業生人數至少為多少名？（　　）

A.10　

B．11

C．12 

D．13

【答案】B

【解析】若要使得行政部門分得的畢業生人數盡可能地少，則應該使得其他剩余部門分得的人數應該盡可能地多（但必須注意的是，行政部門的分得的畢業生人數一定是所有部門中最多的，這是前提條件），所以，依題意設行政部門分得的人數為X，則其余部門的分得的人數應該盡可能地大，但還是一定要小于行政部門，且其他部門分得的人數也可以相同，因此，可以構造出的一個數列為：X，X-1，X-1，X-1，X-1，X-1，X-1,這分別是7個部門分得的人數，從而即有：X＋（X-1）＋（X-1）＋（X-1）＋（X-1）＋（X-1）＋（X-1）=65,解得X≈10.1（人），題意是要求行政部門最少分得的人數，所以，應該最少是11人，因此本題答案為B選項。

注意：在構造完滿足題目要求的數列后，解出的答案有可能是小數，若要求是整數，則應該這樣來取：①若題意問的是“最少、至少…”,則整數部分直接加1，例X=10.3，則取X=11；②若題意問的是“最高、最大、最多…”,則直接取整數部門，例X=10.6，則取X=10。

2．抽屜原理

常見“構造最不利（抽屜原理）”題的特征是：至少（最少）……保證，這樣的“抽屜原理”題，解題方法是構造出一種最不利的情況，最后的答案為：答案=最不利的情況＋1。

題目多是敘述為“黑色布袋中有……（具體物品），至少要取出多少個，才可以保證……（要滿足的目標）”。抽屜問題的解題原則為反向構造，即假設所有物品并非放在布袋中，而是在自己手中，然后逐一發出，則在不滿足題目所給條件下，直到一個什么結果才必須滿足目標。這個結果就是題目要求下發出的最多數目。

抽屜原理一：將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。

抽屜原理二：將多于mn件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于（m＋1）件。

【例15】一種水果糖什錦袋里有80顆水果糖，包含8種果味的水果糖各10顆。現在讓一群小朋友隨意從什錦袋中摸兩顆糖。那么要多少個孩子摸，才能保證他們其中至少有兩個人摸到的兩顆糖果味是相同的？（　　）

A．41　

B．37　 

C．40　 

D．36

【答案】B

【解析】取極端情況，每一種情況都有孩子摸到，則共有摸到兩顆相同果味糖果的情況8種，摸到兩顆果味不同的情況＝28（種）。此時，再多一個小朋友摸糖，則必有兩個小朋友摸到兩顆果味相同的情況。則所求人數為8＋28＋1＝37（種）。

【例16】64個小球放到18個盒子里，每個里面最多放6個，所有盒子里都有小球，問最少幾個盒子里的小球數目相同？（　　）

A．2　 

B．3

C．4

D．5

【答案】C

【解析】利用抽屜原理，按題干要求每個盒子里都有小球，最多放6個，可以從1到6構造6個抽屜，則問題轉化為至少有幾個含小球數目相同的盒子在同一個抽屜里。因為共有18個盒子，18÷6=3，故假設每個抽屜里有3個盒子的小球數目是相同的，故18個盒子里放的小球最多有3×（1＋2＋3＋4＋5＋6）=63<64，因此，至少有4個盒子里的小球數目相同。

【例17】共有100個人參加某公司的招聘考試，考試的內容共有5道題，1～5題分別有80人、92人、86人、78人和74人答對。答對3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過這次考試？（　　）

A．30　

B．55　 

C．70　 

D．74

【答案】C

【解析】未被解答對的題目總數為：（100－80）＋（100－92）＋（100－86）＋（100－78）＋（100－74）=90（道）。由于必須錯誤3道或者3道以上才不通過考試，因此根據“最不利原則”，這90道試題恰好是有30個人答錯，每個人錯誤3道試題。這樣，能夠通過考試的人至少為100－30=70（人）。

3．多集合反向構造

常見“多集合反向構造”題的特征是：都……至少……，這樣的“多集合反向構造”題，解題的方法就是反向、加和、作差。

【例18】建華中學共有1600名學生，其中喜歡乒乓球的有1180人，喜歡羽毛球的有1360人，喜歡籃球的有1250人，喜歡足球的有1040人，問以上四項球類運動都喜歡的至少有幾人？（　　）

A.20　 

B．30

C．40　 

D．50

【答案】B

【解析】這是一道“多集合反向構造”題，做這種題的方法通常是：反向、加和、作差。通過簡單計算得知：不喜歡兵乓球的有420人，不喜歡羽毛球的有240人，不喜歡籃球的有350人，不喜歡足球的有560人。分析得知，要使得四項球類都喜歡的人數最少，則應該使有不喜歡這四項運動的人都只有一項運動不喜歡，這樣底線球類運動都喜歡的人數會最少。不喜歡的人數最多為420＋240＋350＋560=1570（人），這是最極端的情況，則四項球類運動都喜歡的至少有1600-1570=30（人），因此，本題答案為B選項。

五、雞兔同籠問題

1．標準雞兔同籠問題

這類問題采用方程法也能解決，但是計算量較大，因此不推薦方程法，一般采用極端法：如上例中，可假設全都是雞，則應有35×2＝70只腳，與實際的94只腳相比，少了94－70＝24只腳。每少2只腳就說明有一只兔，因此一共有兔24＋2＝12只，雞有35－12＝23只。

（1）思路提示：設雞求兔

（2）核心公式：兔頭數＝（總腳數－2×總頭數）÷2，雞頭數＝總頭數－兔頭數

【例19】有一個籠子里關著若干只兔子和雞，雞和兔子的數量之和與雞腿和兔子腿之和的比是2：5。雞和兔子的數量之比是（　　）。

A．1：3

B．3：1　

C．2：3

D．3：2

【答案】B

【解析】本題不需要實際計算出雞和兔子的數量，假設雞和兔子的數量分別為x和y，則根據題干可列出等式：（x＋y）：（2x＋4y）=2：5，即得出雞與兔子的數量比是3：1。需要注意的是：①雞與兔子之比，而不是兔子與雞之比；②雞只有2條腿，兔子有4條腿。

2．雞兔同籠問題變形題

在職業能力測試中，經常出現的“得失”問題，也可看做雞兔同籠問題，利用假設法求解。

（1）思路提示：設得求失

（2）核心公式：損失數＝（每件應得×總件數－實得數）÷（每件應得＋每件損賠）

“雞兔同籠”問題的解法一般只適用于兩類不同物體間的關系，當題目中涉及三類不同物體時，則需要找到其中兩類物體的共同點，把它們看成一個整體，從而把三類物體間的關系轉化為兩類物體間的關系。

【例20】某班50名同學為災區人民捐款，平均每個女同學捐款8元，每個男同學捐款5元，已知全班女同學比男同學多捐101元，求這個班男、女學生各多少人？（　  ）

A．男生28人  女生22人 

B．男生23人  女生27人

C．男生20人  女生30人 

D．男生26人  女生24人

【答案】B

【解析】解法一：假設男、女生各25人，那么女同學共捐8×25=200（元），男同學共捐5×25＝125（元），女同學比男同學多捐75元，比實際少了101－75＝26（元），說明女同學人數大于25人，每減少一個男同學增加一個女同學，男、女同學的捐款錢數的差就會增加5＋8=13（元），所以要減少2個男同學，增加2個女同學，即男同學有23個，女同學有27個。

解法二：假設女同學為x人，則男同學為50－x人。根據題干可知8x－5（50－x）=101。解得x=27，從而

50－x=23。

六、其他計數問題

1．比賽計數

指在比賽中，隊伍或主辦方要考慮的比賽場數，在實際比賽中，這類問題應用廣泛。根據賽制的不同，比賽的場次也有所不同。

（1）淘汰賽

在第一輪比賽的時候，兩兩對決，勝者進入到以下一輪的比賽，負者直接被淘汰出局，最終得到比賽的冠軍或者前四名。

①決出冠軍或冠、亞軍，比賽場次＝n－1；

②決出1、2、3、4名，比賽場次＝n，（n為比賽的隊伍）；

【例21】某羽毛球協會舉辦羽毛球單打公開賽，共有1044人報名參加。比賽采取淘汰制。首先用抽簽的方法抽出522對進行522場比賽，獲勝的522人，進入第2輪比賽。第2輪比賽也用同樣的抽簽方法決定誰與誰比賽。這樣比賽下去，假如沒有人棄權，最少要打多少場才可決出冠軍？（　　）

A．1044

B．1043 

C．874 

D．688

【答案】B

【解析】根據題意，由于是淘汰賽，最終決出冠軍，共有1044人報名參加，則一共需要1044－1＝1043場比賽。

【例22】某單位組織的羽毛球男單比賽共有48名選手報名參加，比賽采用淘汰賽制，在比賽中負一場的選手即被淘汰，直至決出最后的冠軍，如每名選手每天最多參加一場比賽，則比賽至少需要舉行幾天？（　  ）

A．4　 

B．5

C．6

D．7

【答案】C

【解析】要使比賽的天數最少，則需要每天比賽的選手盡可能的多，加之每名選手每天最多參加一場比賽。第一天總共比賽48÷2＝24場，還剩24名；第二天總共比賽24÷2＝12場，還剩12名；第三天總共比賽12÷2＝6場，還剩6名；第4天總共比賽6÷2＝3場，還剩3名。第五天選2人進行比賽，淘汰1人，剩下2人，第六天決出冠軍。因此，比賽至少需要舉行6天。

（2）循環賽

循環賽，是比賽的隊伍任意兩隊之間都要碰面一次或者兩次，即比賽一次或者兩次，然后按照最后的積分排出名次。

①單循環，比賽一次，就稱為是單循環賽，比賽場次＝；

②雙循環，比賽兩次，就稱為是雙循環賽，比賽場次＝2；

【例23】16支球隊分兩組，每組打單循環賽，共需打（　　）場比賽。

A．16　

B．56　 

C．64 　 

D．100

【答案】B

【解析】根據題意，由于16支球隊分兩組，每組8隊，實行單循環賽，則每組需要打＝28（場），則兩組共需要28×2＝56（場）。

（3）實際生活中，一般采用的是先打循環賽，再打淘汰賽，只要分清每個階段，在相應階段算出相應的比賽場次，然后再相加即可。

【例24】8個甲級隊應邀參加比賽，先平均分成兩組，分別進行單循環賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名和另一組的第二名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3、4名，整個賽程的比賽場數是（　　）。

A．16 

B．15　 

C．14　 

D．13

【答案】A

【解析】根據題意，將隊伍分成兩組，每組4隊進行單循環賽，一共需要比賽2×＝12（場）；得到兩組的前兩名，一共四組隊員進行淘汰賽，比賽得出前四名的排名，此時需要4場比賽，則一共需要12＋4＝16（場）比賽。

2．植樹問題

（1）標準植樹問題

在一條公路上等距離植樹，如給出植樹的方式（端點是否植樹）、相鄰兩棵樹之間的距離、路的總長度，就可以求出共需要植多少棵樹。

植樹問題研究的是總長、間距和棵數之間的相互關系。根據端點是否植樹，可以分成三個類型（以下數量關系適用的是單邊植樹問題，雙邊植樹問題需在此基礎上乘以2）：

①路不封閉且兩端均不植樹：棵數＝總長÷間隔－1；

②路不封閉且只有一端植樹、封閉道路植樹（閉合曲線）：棵數＝總長÷間隔；

③路不封閉且兩端均植樹：棵數＝總長÷間隔＋1。

【例25】某村要在一條長360米的公路兩邊栽樹，原計劃每隔4米栽種一棵樹，并已挖好了坑，現改為每隔6米栽種一棵樹，則需要新挖坑和填坑的個數分別是（　　）。

A．40和50

B．80和100

C．30和60 

D．60和120

【答案】D

【解析】解法一：此題可先算公路一邊需要新挖坑和填坑的數量。根據題意可知：原計劃要挖坑的數量為

360/4＋1=91（個）；現計劃要挖坑的數量為360/6＋1=61（個），又因4與6的公倍數是12，因此原計劃和現計劃一共有360/12＋1=31個坑重合，所以需要填的是91－31=60（個），需要挖的是61－31=30（個）。由此可知路兩邊需要填的坑為120個，需要挖的坑是60個。

解法二：4與6的公倍數為12，那么每隔12米就要挖一個坑、填兩個坑，因此一共需要挖坑360/12=30（個）、填坑360/12×2=60（個）。由此可知路兩邊共需挖坑60個，填坑120個。

（2）植樹問題的變形題

在數學運算中還有一些變形題，如鋸木頭、走樓梯等實際問題，這些變形只是形式上的改變，其本質仍然是植樹問題。

解決植樹問題的變形題，要注意端點是否“植樹”。分清“棵數”與“段數”之間是＋1還是－1。常見的變形題：鋸木頭、爬樓梯、隊列問題均可視為兩端都不植樹問題，其中的知識要點如下：

（1）鋸木頭：要鋸成n段，則需鋸（n－1）次；

【例26】一根鋼管，如果把它鋸成4段，需要24分鐘。照此速度，如果將它鋸成8段，需要多長時間 （　　）分鐘？

A．42 

B．48　

C．56　

D．64

【答案】C

【解析】鋸4段，需要鋸3次，每次8分鐘。鋸8段，需要鋸7次，共計56分鐘。

（2）爬樓梯：從1層到n層，需爬（n－1）段樓梯；若每爬完一段，休息一次，則需休息（n－2）次；

【例27】某人要上某大廈的10樓，他從1樓到5樓用了100秒，按此速度，他到10樓還需要的時間為（　　）秒。

A．225

B．125　

C．100 

D．150

【答案】B

【解析】每層樓梯花了100÷（5－1）=25（秒），到10樓還需25×（10－5）=125（秒）

（3）排列問題：有n個人（或n輛車），中間有（n－1）個空。

【例28】一張節目表上原有3個節目，如果保持這三個節目的相對順序不變，再添加2個新節目，有多少種安排方法？（　　）

A．20 

B．12　 

C．6　 

D．4

【答案】A

【解析】解法一：第一類：新節目不挨著，用插空法A²₄=12（種）；第二類：新節目挨著，用插空法A¹₄×A²₂=8（種）。根據加法原理，共有不同安排方法20種。

解法二：第一步：先插第一個節目，用插空法（有4個空）A¹₄=4（種）；第二步：再插第二個節目，用插空法（有5個空）A¹₅=5（種）；根據乘法原理，共有不同的安排方法20種。

解法三：一共5個節目，在5個位置中選兩個安排新節目為A²₅=20（種）。

3．方陣計數

（1）題型簡述

許多人或許多事物，按一定條件排成正方形或長方形，再根據已知條件求總人（物）數，這類問題稱為方陣問題（也叫乘方問題）。

在解方陣問題時，首先要搞清方陣中的一些量（如層數、最外層人數、最里層人數、總人數）之間的關系。解題時要靈活運用方陣問題常用公式及性質。

（2）方陣問題常用公式及性質：

①方陣相鄰兩層人數相差8（此處需注意一種特殊情況：當實心方陣的最外層每邊人數為奇數時，從內到外每層人數依次是1、8、16、24……）；

②核心公式：實心方陣總人數＝最外層每邊人數²；

空心方陣總人數可利用等差數列求和公式來求（首項為最外層總人數，公差為－8的等差數列）；

③方陣每層總人數＝方陣每層每邊人數×4－4；

④在方陣中若去掉一行一列，去掉的人數＝原來每行人數×2－1；

⑤在方陣中若去掉兩行兩列，去掉的人數＝原來每行人數×4－2×2。

【例29】用紅、黃兩色鮮花組成的實心方陣（所有花盆大小完全相同），最外層是紅花，從外往內每層按紅花、黃花相間擺放。如果最外層一圈的正方形有紅花44盆，那么完成造型共需黃花（　　）。

A．48盆

B．60盆　 

C．72盆

D．84盆

【答案】B

【解析】在方陣中，相鄰兩圈之間相差8，即外圈數總是比內圈數多8，則相隔一圈相差16，并且構成等差數列；題中最外圈紅花為44，則次外層黃花為36，則所需黃花總數為36＋20＋4＝60（盆）。

【例30】某部隊戰士排成了一個6行、8列的長方陣。現在要求各行戰士從左至右1，2，1，2，1，2，1，2報數，各列再從前到后1，2，3，1，2，3報數。問在兩次報數中，所報數字不同的戰士有（　　） 人。

A．18　

B．24　

C．32　

D．36

【答案】C

【解析】研究第一列的情況，所報數字不同的戰士有4人，其他各列情況相同，那么所求戰士人數為

4×8=32（人）。

4．過河問題

過河問題中，過河時間一般指單程時間。涉及時間計算時要注意單程時間（過河時間）還是往返時間。每次過河后都需要有1個人將船劃回來，而最后一次過河后，船不再需要被劃回來。假設n個人過河，船最多載m個人，則過河次數k＝；若需要a個人劃船，每次劃船實質上只能渡過去m－a個人，最后一次可以過去m個人，即（m－a）×（k－1）＋m＝n，求解就可以得到過河次數k＝。

【例31】32名學生需要到河對岸去野營，只有一條船，每次最多載4人（其中需1人劃船），往返一次需5分鐘，如果9時整開始渡河，9時17分時，至少有（　　）人還在等待渡河。

A．15　

B．17　

C．19   

D．22

【答案】C

【解析】由于9時開始渡河，往返一次需5分鐘，9點、9點5分、9點10分、9點15分，船各運一批人過河，所以一共運了4次（其中第4次還在路上）。因此共有4×（4－1）＋1＝13（人）已經離開了出發點，至少有32－13＝19（人）等待渡河。

【例32】毛毛騎在牛背上過河，他共有甲、乙、丙、丁4頭牛，甲過河要20分鐘，乙過河要30分鐘，丙過河要40分鐘，丁過河要50分鐘。毛毛每次只能趕2頭牛過河，要把4頭牛都趕到對岸去，最少要多少分鐘？（　　）

A．190  

B．170　

C．180

D．160

【答案】D

【解析】毛毛騎過河用時最短的甲牛趕其他牛過河，首先趕乙牛過河需要30分鐘，騎甲牛返回對岸需要20分鐘，再趕丙牛過河需要40分鐘，騎甲牛返回對岸又需要20分鐘，最后趕丁牛過河需要50分鐘。此時所有的牛均過了河，總共需要的時間是30＋20＋40＋20＋50=160（分鐘）。

5．空瓶換水問題

空瓶換水問題，即為等量轉化問題，比如n個空瓶換m瓶飲料等。求解“已知y個空瓶可換n瓶飲料，假設某人買了x瓶飲料，問他最多能喝多少瓶飲料”的問題，解決此類問題的方法是采用“等價交換”的原則。

y個空瓶可換n瓶飲料時，可以推出“等量轉化問題”的核心公式：

（1）若y個空瓶可換n瓶飲料，最多喝z瓶，則需要買x瓶飲料，有。

【例33】“紅星”啤酒開展“7個空瓶換1瓶啤酒”的優惠促銷活動。現在已知張先生在活動促銷期間共喝掉347瓶“紅星”啤酒，問張先生最少用錢買了多少瓶啤酒？（　　）

A．296瓶　 

B．298瓶　 

C．300瓶　 

D．302瓶

【答案】B

【解析】方法一：7個空瓶換1瓶啤酒，則張先生最少用錢買了347－（347÷7）≈298（瓶）啤酒。

方法二：設未知數列方程：設買了x瓶啤酒，根據6個空瓶＝1個啤酒得：347＝x＋x/6，得x＝297.4，啤酒的瓶數不能是小數，則最少用錢買了298瓶。

（2）若y個空瓶可換n瓶飲料，買了x瓶飲料，則最多可以喝z瓶，有。

【例34】某超市1瓶啤酒的價格是3元，退還5個啤酒瓶可以換1瓶啤酒。小明現在要買24瓶啤酒，則他最多可以喝多少瓶啤酒？（　　）

A．29　 

B．30　

C．31　 

D．32

【答案】A

【解析】方法一：5個啤酒瓶＝1瓶啤酒，則4個瓶可以換1瓶容量的酒，24÷4＝6。注意這里24被4整除，因此實際上只能換5瓶酒，所以總共可以喝29瓶啤酒。

方法二：小明剛開始有24個空瓶，則他第一次可以換4瓶啤酒，然后還剩8個空瓶，第二次可以換1瓶啤酒，還剩4個空瓶，不能再換啤酒，所以他可以喝24＋4＋1＝29（瓶）啤酒。

6．幾何元素計數

點、線、角、面等的個數。

【例35】2010條直線能把平面最多分成多少塊？（　　）

A．2010

B．2011 

C．2021055 

D．2021056

【答案】D

【解析】N條直線把平面分成多少塊的規律為：①最少分成N＋1塊，即所有直線平行；②最多分成（N²＋N＋2）／2塊，即沒有兩條直線是平行的。（2010²＋2010＋2）÷2=2021056（塊）。

【例36】在筑籬笆時，木工在一直線上放了20根柱子，每兩根柱子之間的距離為4米，籬笆長（　　）。

A．40米

B．54米

C．66米

D．76米

【答案】D

【解析】每根柱子可看做一個點，直線被20個點分成19段，每段長4米，故籬笆長度為19×4=76（米）。

【例37】下圖五角星中共有三角形（　  ）。

A．5個 

B．8個 

C．10個

D．11個

【答案】C

【解析】本題所給五角星中共有三角形10個：每個角獨立的三角形各一個，共5個；每個角與對角分別形成2個三角形，重復數為5，共2×5－5=5（個），則所給五角星中共有三角形5＋5=10（個），注意不要重復數。

7．剪繩計數

繩子的段數總是比切口數多1；一根繩子連續對折N次，從中剪M刀，則繩子被剪成2^N×M＋1段。

【例38】把一根線繩對折、對折、再對折，然后從對折后線繩的中間剪開，這根線繩被剪成了幾小段？（　　）

A．6　 

B．7　 

C．8　 

D．9

【答案】D

【解析】對折n次，可以剪成2n＋1段，則根據題意，這根線繩被剪成2³＋1=9（段）。