第五章　幾何問題

一、平面幾何問題

1．周長問題

（1）周長公式

①正方形C＝4a（其中a為邊長）；

②長方形C＝2（a＋b）（其中a、b分別為長方形的長、寬）；

③圓形C＝2πR（其中R為圓的半徑）。

（2）題型設(shè)置

①規(guī)則的圖形：直接利用圖形的周長公式計算。

【例1】一個等腰三角形，一邊長是30厘米，另一邊長是65厘米，則這個三角形的周長是（　　）。

A．125厘米

B．160厘米

C．125厘米或160厘米

D．無法確定

【答案】B

【解析】由三角形兩邊之和大于第三邊可得，等腰三角形的腰長是65厘米。則三角形的周長是

65×2＋30＝160（厘米）。

【例2】半徑為1厘米的小圓在半徑為5厘米的固定的大圓外滾動一周，小圓滾了幾圈？（　　）

（　　）

A．4圈

B．5圈

C．6圈

D．7圈

【答案】B

【解析】根據(jù)公式可知，周長比等于半徑比，所以小圓滾動了5周。

②不規(guī)則的圖形

如果知道各個邊長的長度，直接相加；如果不知道各個邊長的長度，可以采用割補法，將圖形變成一個比較規(guī)則的圖形。

【例3】將半徑分別為4厘米和3厘米的兩個半圓如圖放置，則陰影部分的周長是（　　）。

A．21.98厘米

B．27.98厘米

C．25.98厘米

D．31.98厘米

【答案】B

【解析】陰影部分周長＝大半圓半徑＋小半圓直徑－大半圓半徑＋（大半圓弧長＋小半圓弧長）＝2×3＋（3＋4）×π＝7π＋6，π取3.14，則陰影部分的周長是27.98厘米。

2．面積問題

（1）規(guī)則的圖形：直接利用圖形的面積公式計算。常用的面積公式有

①正方形S＝a²（其中a為正方形的邊長）；

②長方形S＝ab（其中a、b分別為長方形的長、寬）；

③圓形S＝πR²（其中R為圓形的半徑）；

④三角形S＝ah（其中h是邊長為a的邊所對應(yīng)的高）；

⑤平行四邊形S＝ah（其中h是邊長為a的邊所對應(yīng)的高）；

⑥梯形S＝（a＋b）h（其中a、b分別為梯形的上底、下底；h是梯形的高）；

⑦扇形S＝（其中n是扇形的角，R是扇形的半徑）。

【例4】有一個邊長為2a的正三角形，將其各邊中點相連得到第二個三角形，那么連接到第四次時，得到的三角形的面積為（　　）。

A．a²

B．a²

C．a²

D．a²

【答案】B

【解析】由題意可知，該正三角形的邊長為2a，則面積為a²；由于連接一次中點所得的三角形面積是原來三角形面積的，因此，連接到第四次時所得到的三角形面積S＝a²××××＝a²。

【例5】長方形ABCD的面積是72平方厘米，E、F分別是CD、BC的中點。問三角形AEF的面積為多少平方厘米？（　  ）

A．24 

B．27　

C．36　

D．40

【答案】B

【解析】△AEF可看作長方形依次去除周圍三個三角形得到，△ABF為長方形的，AADE為長方形的，而△ECF為長方形的，則△AEF為長方形大小的，即其面積為27平方厘米。

【例6】把一個邊長為4厘米的正方形鐵絲框拉成兩個同樣大小的圓形鐵絲框，則每個圓鐵絲框的面積為（　　）。

A．

B． 

C．　 

D．

【答案】D

【解析】由題意可知，設(shè)圓鐵絲框半徑為r，則4×4＝2×2πr，r＝，則每個圓形絲框的面積為＝。

【例7】如圖所示，梯形ABCD的對角線AC⊥BD，其中AD＝，BC＝3，AC＝，BD＝2.1。問梯形ABCD的高AE的值是（　　）。

A．

B．1.72　 

C．

D．1.81

【答案】C

【解析】已知四邊形的對角線相互垂直，則四邊形的面積等于對角線乘積的一半。梯形的面積＝＝

（AD＋BC）×AE，得AE＝。

（2）不規(guī)則圖形：給出的圖形，并不規(guī)整，可以通過修改、增補圖形中的某些部分，使得圖形變?yōu)楸容^規(guī)整的、便于應(yīng)用公式的圖形。

【例8】在邊長為2厘米的正方形里，分別以它的邊長為直徑畫弧，如圖所示，則四葉玫瑰型（陰影部分）的面積為（　　）平方厘米。

A．2.86　 

B．2.28　 

C．2.14　 

D．2

【答案】B

【解析】將正方形對角線連起來，看下面的半圓，外側(cè)的陰影部分的面積等于圓形的面積，減去三角形的面積，即π×12/2－2×1/2＝3.14/2－1＝1.57－1＝0.57；整個陰影部分的面積是0.57×4＝2.28。

【例9】在右圖的長方形中，長和寬分別是6cm和4cm，陰影部分的面積和是10cm²，四邊形ABCD的面積為（　　）平方厘米。

A．2　

B．4　 

C．5 

D．8

【答案】B

【解析】S_△AGF=4×6÷2=12（cm²），它與陰影部分的面積和是12＋10=22（cm²），而五邊形HCEFG的面積是長方形HEFG的等于（cm²），所以四邊形ABCD的面積是22－18=4（cm²）

【例10】如圖，三個圓的半徑都是5cm，三個圓兩兩相交于圓心。求陰影部分的面積之和是（　　） 

A．29.25cm²

B．33.25cm²　 

C．35.35cm²　 

D．39.25cm²

【答案】D

【解析】將原圖割補成下圖：

陰影部分正好是一個半圓，面積為5×5×3.14÷2=39.25（cm²）。

3．角度問題

常用知識點：

①三角形內(nèi)角和為180°；

②N邊形內(nèi)角和為（N－2）×180°；

③任意封閉的凸多邊形，外角和為360°。

【例11】N是正方形ABCD內(nèi)一點，如果NA:NB:NC＝2:4:6，則∠ANB的度數(shù)為（　　）。

A．120°　

B．135°　

C．150°　

D．以上都不正確

【答案】B

【解析】過B作BN′⊥BN，且使BN′＝BN，連接N′A，N′N，如下圖所示，因為∠N′BN＝∠ABC＝90°，得∠N′BA＝∠NBC。又因為AB＝BC，BN′＝BN，有△N′AB≌△NCB，則N′A＝NC，設(shè)NB＝4x，NC＝N′A＝6x。在直角△NBN′中，∠NN′B＝45°，且NN′＝＝4x，在△N′AN中，N′＝N′＋，所以∠N′NA＝90°，得∠ANB＝135°。

二、立體幾何問題

1．表面積問題

常用的表面積公式有：

①正方體的表面積S＝6a²（其中a正方體的邊長）；

②長方體的表面積S＝2ab＋2bc＋2ac（其中a、b、c分別為長方體的長、寬、高）；

③球體的表面積S＝4R²＝D²（其中R為球的半徑；D為球的直徑）；

④圓柱體的表面積S＝2R²＋2Rh（其中R為圓柱體底面圓的半徑，h是圓柱體的高）；

⑤圓柱體的底面積S＝2R²（其中R為圓柱體底面圓的半徑）；

⑥圓柱體的側(cè)面積S＝2Rh（其中R為圓柱體底面圓的半徑，h是圓柱體的高）。

【例12】如圖，正四面體P－ABC的棱長為a，D、E、F分別為PA、PB、PC的中點，G、H、M分別為DE、EF、FD的中點，則三角形GHM的面積與正四面體P－ABC的表面積之比為（　　）。

A．1:8

B．1:16

C．1:32

D．1:64

【答案】D

【解析】由題意可知：DE＝EF＝FD＝棱長、DG＝GE＝EH＝HF＝FM＝MD＝GM＝MH＝HG，則

S_△GMH＝S_△DEF、S_△DEF＝S_△ABC，即三角形GHM是四面體P－ABC表面積的。

【例13】若在一個邊長為20厘米的正方體表面上挖一個邊長為10厘米的正方體洞，問大正方體的表面積增加了多少？（　　）

A．100㎝²

B．400㎝² 

C．500㎝² 

D．600㎝²

【答案】B

【解析】在一個邊長為20㎝的大正方體中挖去1個邊長為10㎝的小正方體，則大正方體原有的6個面只有其中1個面的面積減少了100㎝²，而小正方體則多出了5個100㎝²的面，因此大正方體的面積增加了400㎝²。

【例14】一個長7厘米、寬5厘米、高3厘米的長方體盒子。一只瓢蟲從盒子的任意一個頂點，爬到與該頂點在同一體對角線的另一個頂點，則所有情形的爬行路線的最小值是（　　）。

A．　

B．　

C．　 

D．

【答案】D

【解析】把紙盒由立體展為平面，有三種展開方式，如下圖所示，其中瓢蟲從一個頂點走向同一體對角線的最短距離為＝（厘米）。

【例15】相同表面積的四面體、六面體、正十二面體及正二十面體中體積最大的是（　　）。

A．四面體　

B．六面體　 

C．正十二面體　

D．正二十面體

【答案】D

【解析】相同表面積的空間幾何圖形，越接近于球，其體積越大。正二十面體是四個圖形中最接近于球的立體幾何圖形，體積最大。

【例16】把一個64cm×40cm×24cm的長方體切成若干個完全相同的小正方體，并使這些小正方體的表面積總和最小。則小正方體的表面積總和為（　　）。

A．73280cm² 

B．54680cm²

C．69450cm² 

D．46080cm²

【答案】D

【解析】要使這些小正方體的表面積總和最小，那么小正方體的邊長要盡可能大。64、40、24的最大公約數(shù)為8，因此小正方體的邊長為8cm，共有64×40×24÷8³=120（塊）。表面積總和為6×8²×120=46080（cm²）。

2．體積問題

常用體積公式有：

①正方體V＝a³（其中a正方體的邊長）；

②長方體V＝abc（其中a、b、c分別為長方體的長、寬、高）；

③球體V＝R³＝D³（其中R為球的半徑；D為球的直徑）；

④圓柱體V＝R²h（其中R為圓柱體底面圓的半徑，h是圓柱體的高）；

⑤圓錐體V＝R²h（其中R為圓錐體底面圓的半徑，h是圓錐體的高）。

【例17】一間長250米、寬10米、高4米的倉庫放置了1000個棱長為1米的正方體箱子，剩余的空間為多少立方米？（　　）

A．0　 

B．1500 

C．5000

D．9000

【答案】D

【解析】倉庫的空間為250×10×4＝10000（立方米），1000個箱子的體積為1000×＝1000（立方米），則剩余空間為9000立方米。

【例18】一個底面面積為9π厘米的圓柱體，斜著截去一段后，截成的形體如圖，一邊高6厘米，一邊高4厘米，它的體積是多少？（　　）

A．45π

B．40　 

C．　 

D．36.5π

【答案】A

【解析】將所給類圓柱體再復(fù)制一個放到上面，恰好構(gòu)成一個新圓柱體，新圓柱體高為6＋4＝10厘米，則它的體積是新圓柱體積的一半，為9×10÷2＝45π（立方厘米）。

【例19】小曾做了一個長方體紙盒，所有棱長的和是120，長寬高的比是5:3:2，該長方體紙盒的體積是多少？（　　）

A．810 

B．375 

C．288　

D．180

【答案】A

【解析】由題意可知，長＋寬＋高＝120÷4＝30，長寬高的比是5:3:2，所以該長方體紙盒的長為15，寬為9，高為6，體積＝長×寬×高＝15×9×6＝810。

【例20】某個裝有一層12聽可樂的箱子，現(xiàn)在要向箱子中的空隙放入填充物，已知每聽可樂直徑為6㎝，高12㎝。則至少要向該箱子放多少填充物？（　　）

A．835㎝³

B．975㎝³

C．1005㎝³ 

D．1115㎝³

【答案】D

【解析】由題意可知，恰好裝滿這12聽可樂的箱子的底面積應(yīng)為6×6×12＝432（cm²），且要使填充物放得最少，則箱子要與可樂同高。至少要向該箱子放入432×12－9×12×12≈1115（cm³）的填充物。

3．正方體染色問題

題型簡介：將一個大正方體表面染色，在切割成若干個相同的小正方體，求三面被染色、兩面被染色、一面被染色或沒有面被染色的小正方體的數(shù)目。

解題技巧：假設(shè)將一個立方體切割成邊長為原來的1/n的小立方體，在表面染色，則：

（1）三個面被染色的是8個頂角的小立方體；

（2）兩個面被染色的是12（n-2）個在棱上的小正方體；

（3）只有一個面被染色的是6（n-2）²個位于外表面中央的小正方體；

（4）都沒被染色的是（n-2）³個不在表面的小立方體。

【例21】一個邊長為8的正立方體，由若干個邊長為1的正立方體組成，現(xiàn)在要將大立方體表面涂漆，請問一共有多少個小立方體被涂上了顏色？（　　）

A.296　

B．324 

C．328　 

D．384

【答案】A

【解析】邊長為8的正立方體共有8×8×8=512（個）邊長為1的小正立方體，不在表面的小正立方體共有

6×6×6=216（個），所以被染色的小正方體的個數(shù)為512-216=296（個）。

三、幾何性質(zhì)問題

1．幾何極限理論

①平面幾何圖形在周長相同的情況下，其形狀越接近于圓，面積越大；

②平面幾何圖形在面積相同的情況下，其形狀越接近于圓，周長越小；

③立體幾何圖形在表面積相同的情況下，其形狀越接近于球，體積越大；

④立體幾何圖形在體積相同的情況下，其形狀越接近于球，表面積越小。

【例22】在下列a、b、c、d四個等周長的規(guī)則幾何圖形中，面積最大和最小的分別是（　　）。

A．a(chǎn)和c　 

B．d和a　 

C．b和d　  　

D．d和c

【答案】D

【解析】周長與邊數(shù)、面積的關(guān)系是周長相同則邊數(shù)越少面積也越小，越趨近于圓，面積越大。

2．等比例放縮性質(zhì)

一個幾何圖形其尺度變?yōu)樵瓉淼膍倍，則：

①對應(yīng)周長變?yōu)樵瓉淼膍倍

②對應(yīng)面積變?yōu)樵瓉淼膍²倍

③對應(yīng)體積變?yōu)樵瓉淼膍³倍

【例23】正六面體的表面積增加96%，則棱長增加多少？（　　）

A．20% 

B．30% 

C．40%　

D．50%

【答案】C

【解析】設(shè)增加后的棱長為x，原來的棱長為1，則面積增加為＝0.96，x＝1.4，則棱長增加了40%。

3．三角形性質(zhì)

在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

【例24】一個三角形的兩條邊的長分別是a、b，且a＞b，那么這個三角形的周長L的取值范圍是：（　　）。

A．3a＞L＞3b　

B．2（a＋b）＞L＞2a

C．2a＋b＞L＞2b＋a

D．3a－b＞L＞2＋2b

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，設(shè)第三邊為c，則有a－b＜c＜a＋b，所以2a＜L＜2（a＋b）。

4．圓的性質(zhì)

若兩圓相離，則不存在交點，有四條公切線；若外切，存在一個交點，有三條公切線；若相交，有兩個交點，兩條公切線；若內(nèi)切，有一個交點，有一條公切線；若內(nèi)含，一個圓完全在一個圓內(nèi)，無公切線。

【例25】若半徑不相等的兩個圓有公共點，那么這兩個圓的公切線最多有（　　）。

A．1條

B．2條

C．3條

D．4條

【答案】C

【解析】由題意可知，這兩個圓相交或相切，當(dāng)它們相交時，有2條公切線；當(dāng)它們內(nèi)切時，有1條公切線；當(dāng)它們外切時，有3條公切線。因此這兩個圓的公切線最多有3條。

【例26】3顆氣象衛(wèi)星與地心距離相等，并可同時覆蓋全球地表，現(xiàn)假設(shè)地球半徑為R，這3顆衛(wèi)星距地球最短距離為（　　）。

A．R　

B．2R　

C．R

D．R

【答案】A

【解析】設(shè)地球為球形，三顆氣象衛(wèi)星位于以地球為內(nèi)切圓的等邊三角形的三個頂點，由直角三角形中30°角的性質(zhì)可知，氣象衛(wèi)星距離地心的距離為2R，則氣象衛(wèi)星距離地球的最近距離為R。