第四章　比例問題

比例問題包括工程問題、濃度問題等，“設1法”是比例問題的核心解題方法，即將某個量設為便于計算的某一常數。“設1法”使用的前提是題目中沒有涉及某個具體量的大小，并且這個具體量的大小并不影響最終結果。不僅工程問題、濃度問題經常用到“設1法”，往返行程問題、幾何問題、費用問題、和差倍比問題等也經常用到。

一、工程問題

工程問題是將一般的工作問題分數化，即從分數的角度研究工作總量、工作時間、工作效率三者之間關系的問題。核心公式為工作總量＝工作效率×工作時間。在工程問題中，效率是解題的關鍵，無論是列方程還是分析各量關系，都要選擇效率作為思考的著眼點。

在工程問題中，工程總量一般是不需要具體值的，通常設為1，然后表示出效率進行求解。但此時效率往往表示為分數，求解較費時間。因此對很多問題，將工作總量設為合適的常數，更能方便快速地解題。這里的常數一般是完成時間的最小公倍數。

1．多人合作型問題

題型簡述：此類問題，一般表達為一個人需多少天完成，另一人或幾人需多長時間完成，問一起合作需多久完成。

思路提示：計算這類問題時，首先要計算清楚合作后的工作效率，根據工作總量就可以算出工作時間了。

【例1】甲乙兩個工程隊修一條公路，甲工程隊修了500米以后，乙工程隊來修，以往資料顯示，乙工程隊的效率是甲工程隊的2倍，乙工程隊修600米公路所用的時間比甲工程隊修500米公路時間還少20天，甲工程隊效率是（　　）米/天。

A．25 

B．15　 

C．20 

D．10

【答案】D

【解析】甲乙的工作時間是2:1，乙工程隊修500米的時間和修600米的時間比是5:6，聯立則有甲修500米時間和乙修600米的時間是10:6＝5:3；由于差值是20天，則甲修500米的時間是5×20/2＝10（天），則其效率是500÷50＝10（米/天）。

【例2】完成某項工程，甲單獨工作需要18小時，乙需要24小時，丙需要30小時。現按甲、乙、丙的順序輪班工作，每人工作一小時換班。當工程完工時，乙總共干了（　　）。

A．8小時　

B．7小時44分鐘 

C．7小時　

D．6小時48分鐘

【答案】B

【解析】甲、乙、丙三人各工作一小時的效率之和為＋＋＝，小時，即都工作7個小時后還有未做。之后甲再工作1小時，還有＝＜，需要乙再用÷＝小時＝44分鐘完成，故乙一共工作了7小時44分鐘。

2．無順序變動合作問題

題型簡述：多人合作完成某項工程，參與人員分階段發生變動，每階段參與時間明確。

思路提示：對合作的幾人，只要保證每個人的工作總量保持不變，則他們之間的合作關系可以任意打亂重排，可以按照題目給出的條件進行合作關系的重新調整（拆分組合），以及單獨考慮某人的工作全程（組合）。

無順序變動合作問題，對打亂重組的技巧性要求較高，要求考生迅速判斷復雜的合作過程，在每個人的工作總量保持不變的前提下，按照題目給出的條件進行合作關系的重新排列。

【例3】一項工程如果交給甲乙兩隊共同施工，8天能完成；如果交給甲丙兩隊共同施工，10天能完成；如果交給甲丁兩隊共同施工，15天能完成；如果交給乙丙丁三隊共同施工，6天就可以完成。如果甲隊獨立施工，需要多少天完成？（　　）

A．16　

B．20　

C．24　 

D．28

【答案】C

【解析】8、10、15和6的最小公倍數為120，假定這項工程的工作量為120，甲隊每天的工作量為x，則有

[（－x）＋（－x）＋（－x）]×6＝120，得x＝5。故甲隊獨立施工，需要＝24（天）完成。

【例4】一項工程由甲、乙、丙三個工程隊共同完成需要15天，甲隊與乙隊的工作效率相同，丙隊3天的工作量與乙隊4天的工作量相同，三隊同時開工2天后，丙隊被調往另一工地，甲、乙兩隊留下繼續工作。那么，開工22天以后，這項工程（　　）。

A．已經完工

B．余下的量需甲乙兩隊共同工作1天

C．余下的量需乙丙兩隊共同工作1天

D．余下的量需甲乙丙三隊共同工作1天

【答案】D

【解析】由條件可設甲、乙一天的工作量為x，丙一天工作量為y，假設總工作量為1，則

,，解得，。工作22天后剩余工作量為，因此，三隊共同工作1天完成。

3．兩人合作調整型問題

題型簡述：先給出一種兩人合作完成某工程的方案，然后給出另一種同樣可以完成該工程的方案，待求相關量。

思路提示：分析前后方案的差異之處，確定兩人之間的效率比例關系，即多少份的A相當于多少份的B。基于比例關系快速求解。

【例4】校對一份書稿，編輯甲每天的工作效率等于編輯乙、丙每天工作效率之和，丙的工作效率相當于甲、乙每天工作效率之和的，如果三人一起校對只需6天就可完成。現在如果讓乙一人單獨校對這份書稿，則需要（　　）天才能完成。

A．20　

B．16

C．24　

D．18

【答案】D

【解析】三人一起完成校對需要6天，那么三人每天的效率之和是，因為甲每天的工作效率等于乙、丙每天工作效率之和，那么甲的工作效率為，乙、丙的效率和也是，設乙單獨完成校對需要X天，那么根據題意可得到方程：解得X=18（天），即乙單獨完成校對需要18天。

【例5】某項工程，小王單獨做需15天完成，小張單獨做需10天完成。現在兩人合做，但中間小王休息了5天，小張也休息了若干天，最后該工程用11天完成。則小張休息的天數是（　　）。

A．6　 

B．2

C．3　 

D．5

【答案】D

【解析】假設工作總量為15、10的最小公倍數，即30。根據題意，小王每天的工作量為30/15＝2，小張每天的工作量為30/10＝3，則在兩人合作期間，小王的工作量為2×（11－5）＝12，小張的工作量為30－12＝18，所以小張工作了18/3＝6（天），則休息了11－6＝5（天）。

【例6】某工廠的兩個車間共有120名工人，每名工人每天生產15件設備。如果將乙車間工人的調到甲車間，則甲車間每天生產的設備數將比乙車間多120件。問原來乙車間比甲車間多多少人？（　　）

A．12 

B．24

C．36　

D．48

【答案】D

【解析】設乙車間原有x人，“將乙車間工人的調到甲車間”后，乙車間剩x人，此時，“甲車間每天生產的設備數將比乙車間多120件”，即甲車間比乙車間多了＝8人，則甲車間為x＋8人。則有x＋（x＋8）＝120，x＝84。故原來乙車間比甲車間多84－（120－84）＝48（人）。

4．效率變動型問題

題型簡述：不同效率導致完工時間不同，出現“提前”或“延遲”等提示詞語。

思路提示：利用工程量保持不變時，工作效率與工作時間成反比，通過時間、效率中一個量的前后比例來反映另一個量的前后比例。

【例7】生產隊預計30天修完一條水渠，先由18人修12天完成工程的，如果要提前6天完工，還要再增加多少人？（　　）

A．18人　 

B．36人

C．12人　 

D．20人

【答案】A

【解析】一個人工作一天叫一個“工作日”。由“18人修12天完成工程的”可知，完成工作的需工作日

18×12=216（個），則剩余工作所需工作日為：216×[（1-）÷]=432（個）工作日；剩余天數是：30－6－12=12天；剩余工作所需人數為：432÷12=36（人）；所需增加人數為：36－18=18（人）。

【例8】某行政村計劃15天完成春播任務1500畝，播種5天后，由于更新機械，工作效率提高25%，問這個行政村會提前幾天完成這1500畝的春播計劃？（　　）

A．4　

B．3　 

C．2　 

D．1

【答案】C

【解析】根據題意，由于工作效率提高了25%，前后工作效率之比為4:5，則在工作總量相同的情況，工作時間之比為5:4，在播種5天之后，按照原來的效率，還需要播種15－5＝10（天），提高效率之后，則只需要8天，即提前了10－8＝2（天）。

4．工程問題變形——水管注水問題

（1）只進不出型，指的是在注水的時候，只需要考慮進水管，排水管是關閉的，這就和工程問題是相同的，只是表述不同。

【例9】某水池裝有甲、乙、丙三根管，單獨開放甲管12分鐘可注滿全池，單獨開乙管15分鐘可注滿全池，單獨開丙管20分鐘可注滿全池，如果三管齊開，幾分鐘可注滿水池？（　　）

A．6　 

B．8

C．5　 

D．4

【答案】C

【解析】根據題意，由于單開甲用12分鐘，單開乙用15分鐘，單開丙用20分鐘，設總量為12、15、20的最小公倍數，即60。則甲管每分鐘進水量為5，乙管每分鐘排水量為4，丙管每分鐘進水量為3，三管齊開每分鐘進水量為5＋4＋3＝12。則放滿水需要60/12＝5（分鐘）。

（2）有進有出型，指的是在注水的時候，不僅要考慮進水管，還要考慮排水管，是工程問題的變形，即排水管是把進水管的效率降低的水管。

【例10】一個浴缸要放滿水需要30分鐘，排光一浴缸水需要50分鐘，假如忘記關上出水口，將這個浴缸放滿水需要多少分鐘？（　　）

A．65　 

B．75　 

C．85　

D．95

【答案】B

【解析】根據題意，注滿水需要30分鐘，排完需要50分鐘，假設浴缸的水量為30、50的最小公倍數，即150，則每分鐘放水的量為5，每分鐘排水的量為3，每分鐘凈進水的量為5－3＝2，則放滿水需要150/2＝75（分鐘）。

二、濃度問題

溶度問題的核心公式為濃度＝溶質÷溶液，溶液＝溶質＋溶劑。濃度問題主要考查濃度、溶質、溶液三個量的相互轉化關系，特別是各個量的變化對濃度的影響。只增加溶質或減少溶劑，溶液的溶度都會增大；如果題中表明的是溶液在增大，則要注意題目中的不變量及相等量，以此求解。濃度問題中常用的解題技巧包括列方程、賦值法、抓不變量法。

1．溶質不變、溶液變化

（1）題型簡述

一般包括兩個方面，稀釋（加入溶劑）和蒸發（減少溶劑）。為了更好地說明解題的技巧，把濃度發生一次變化的試題，稱為單次稀釋或者蒸發；濃度多次變化的稱為多次稀釋或者蒸發。

（2）解題技巧

在解題時，把握住問題的本質——溶質質量不變。具體的解題技巧有：

①對于單次稀釋或者蒸發試題，采用基礎公式——濃度＝溶質/溶液求解即可。

②對于單次稀釋或者蒸發試題，采用方程法解答，其等量關系，就是溶液變化前后的溶質質量不變。這種方法在本質上和公式法相同。

③對于多次稀釋或者蒸發問題，采用特殊值法解答，在設置特殊值的時候，可以有兩種情況，一是將溶液質量設為特殊值，這個特殊值一般設為整百的數值；二是將溶質質量設為特殊值，這個特殊值是各個濃度值的最小公倍數。

【例11】一種溶液，蒸發一定水后，濃度為10%；再蒸發同樣的水，濃度為12%；第三次蒸發同樣多的水后，濃度變為多少？（　　）

A．14%　

B．17%　

C．16%　

D．15%

【答案】D

【解析】解法一：設其溶質為60，則可知其濃度在10%時，溶液量為600，其濃度在12%時，溶液量為500，在變化過程中蒸發掉了水為100，則第三次蒸發同樣多的水后，溶液還剩400，即其濃度為15%。

解法二：溶質的量不變，設溶液量為X，蒸發掉的水為Y，所求的濃度為M，根據題意，則有方程

（X－Y）×10%=（X－2Y）×12%=（X－3Y）×M，所得M=15%。

2．溶質變化、溶液不變

把一個瓶子里面的溶液倒掉一部分，再加入一些其他物質，加入的物質，可以是溶劑，可以是溶質，也可以是溶液，讓加入的量填滿瓶子，溶液的質量不會變化，但是溶質的質量肯定會變化。

（1）每次倒出去的比重不同

由于溶液質量是一定的，在解題時，可以采用特殊值法來解答，特殊值在設置的時候，設置溶液的質量，因為溶液的質量不會變化。

【例12】一滿杯純牛奶，喝去20%后用水加滿，再喝去60%。此時杯中的純牛奶占杯子容積的百分數為（　　）。

A．52%　

B．48% 　

C．42%　

D．32%

【答案】D

【解析】根據題意，由于添加的是水，形成的溶液是混合均勻溶液，則喝掉的溶液的比例，是喝掉的溶質的比例。由題意可知，剩下的純牛奶的比例為（1－20%）（1－60%）＝80%×40%＝32%。

（2）每次倒出去的比重相同

如果滿瓶溶液的濃度為C，第一次倒出1/n，加滿水（溶劑）；第二次倒出1/n，加滿水（溶劑）；如此反復m次，則最終得到的溶液的濃度P為：P＝C×（1－1/n）m。

若每次用水重復稀釋時，可直接利用公式計算：

①設已有溶液質量為m，每次倒出溶液為，再添入清水補滿，重復n次：

c＝（）ⁿ×c₀

②設已有溶液質量為m，每次先倒入清水，再倒出溶液，重復n次：

c＝（）ⁿ×c₀

其中c為稀釋后的濃度，c₀為溶液原來的濃度。

【例13】從裝有100克濃度為10%的鹽水瓶中倒出10克鹽水后，再向瓶中倒入10克清水，這樣算一次操作，照這樣進行下去，第三次操作完成后，瓶中鹽水的濃度為（　　）。

A．7%　

B．7.12%

C．7.22% 

D．7.29%

【答案】D

【解析】由于每次倒出去之后，都向瓶子里面加入水（溶劑），溶液質量保持不變，一共有100g，每次倒出去10g，即倒出去10/100＝1/10，操作三次，則瓶子中的濃度為10%×（1－1/10）³＝10%×（9/10）³，能被9整除，因此D項正確。

3．溶質變化、溶液變化（溶液混合問題）

（1）題型簡述：把兩種或者兩種以上的溶液混合在一塊，溶質質量、溶液質量發生變化。

（2）思路提示

①以兩溶液混合為例，分別設兩溶液質量為m₁、m₂，濃度為c₁、c₂，混合后濃度為c，則有混合公式：

m₁c₁＋m₂c₂＝（m₁＋m₂）c

②十字交叉法。操作過程如下圖所示：

③有時為僅涉及溶質、溶劑等量之間的比例，不涉及具體總量的抽象比例濃度問題，此時為題中所出現的“不變量”或“相等量”賦值，然后代入計算。

【例14】甲、乙兩瓶酒精溶液分別重400克和150克，甲中含酒精120克，乙中含酒精90克。從兩瓶中應各取出（　　）才能兌成濃度為50%的酒精溶液150克。

A．甲100克，乙50克

B．甲90克，乙60克

C．甲60克，乙90克 

D．甲50克，乙100克

【答案】D

【解析】由題干可知，甲中酒精濃度為120÷400×100%=30%，乙中酒精濃度為90÷150×100%=60%。根據十字交叉法：

所以兩種酒精溶液的質量比為1：2，混合溶液共150克，應取甲溶液150×=50克，乙溶液150×＋2=100（克）。

【例15】取甲種硫酸300克和乙種硫酸250克，再加水200克，可混合成濃度為50%的硫酸；而取甲種硫酸200克和乙種硫酸150克，再加上純硫酸200克，可混合成濃度為80%的硫酸。那么，甲、乙兩種硫酸的濃度各是多少？（　　）

A．75%，60% 

B．68%，63%  　 

C．71%，73%

D．59%，65%

【答案】A

【解析】根據題意，假設甲硫酸濃度為x，乙硫酸濃度為y，則有（300x＋250y）/（300＋250＋200）＝50%；

（200x＋150y＋200）/（200＋150＋200）＝80%；得x＝75%，y＝60%。

【例16】兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液，一個瓶子中酒精與水的體積比是3:1，另一個瓶子中酒精與水的體積比是4:1，若把兩瓶酒精溶液混合，則混合后的酒精和水的體積之比是多少？（　　）

A．31:9  　 

B．7:2 

C．31:40

D．20:11

【答案】A

【解析】兩個瓶子中酒精含量占溶液總量分別為：，。將兩個分數和化成分母相同的分數，即，。所以，混合溶液中酒精與溶液總量之比為31:40，那么，酒精與水的比為31:9。

【例17】三個容積相同的瓶子里裝滿了酒精溶液，酒精與水的比分別是2:1，3:1，4:1。當把三瓶酒精溶液混和后，酒精與水的比是多少？（　　）

A．133:47 

B．131:49　

C．33:12

D．3:1

【答案】A

【解析】由于第一個瓶子的體積比是2:1，則瓶子體積能被2＋1＝3整除，同理可知，體積能被4、5整除，假設瓶子體積為3、4、5的最小公倍數60。則第一個瓶子里的酒精是60×2/3＝40，水是60－40＝20；第二個瓶子里面的酒精是60×3/4＝45，水是60－45＝15；第三個瓶子里面的酒精是60×4/5＝48，水是60－48＝12；當三個瓶子的溶液混合后，酒精的含量是40＋45＋48＝120＋13＝133，水的含量是20＋15＋12＝47，兩者的比例就是133:47。