第三章　行程問題

常見的題型有相遇與追及問題、環形運動問題、水流與扶梯問題、火車過橋問題等。解決行程問題，常用的基本方法有公式法、畫圖法和比例法。

一、常用方法

1．公式法

由于公式法對于多個運動過程或多個運動物體之間的運動關系不易把握到位，因此適用于比較簡單的形成問題。

【例1】部隊組織新兵到野外進行拉練，行程每天增加2千米。已知去時用了4天，回來時用了3天。目的地距離營地多少千米？（　　）

A．54 

B．72 

C．84　 

D．92

【答案】C 

【解析】設第一天行駛了x千米，則去時行了4x＋2＋4＋6，回時行了3x＋8＋10＋12，由二者相等可解得

x=18，則兩地相距3x＋30=84（千米）。

2．畫圖法

畫圖法可以幫助快速理解，常和公式法結合使用。注意運用公式：差異距離＝速度差×時間。畫圖法適用于較為復雜的行程過程，往往涉及折返型的運動過程。

【例2】某人在公共汽車上發現一個小偷向相反方向步行，10秒鐘后他下車去追小偷，如果他的速度比小偷快一倍，比汽車慢，則此人追上小偷需要（　  ）。

A．20秒　

B．50秒 　 

C．95秒

D．110秒

【答案】D

【解析】設小偷的速度為“1”，因為此人的速度是小偷速度的2倍，所以此人的速度為“2”，這時根據他的速度比汽車慢，可得汽車的速度為2÷（1-）=10，此人開始追小偷時和小偷相距（1＋10）×10=110。因此，此人追上小偷需要110（2－1）=110（秒）。 

3．比例法

比例型行程問題是一類特殊的行程問題，其特點在于側重考查路程、速度、時間三者中的某兩個量對應的比例關系，尤其是借助這種比例關系進行轉化的能力。

比例法應用前提：路程、速度、時間三個量中的某個量未知，或者不需要知道具體值，側重考查其余兩個量的比例關系。

【例3】從甲地到乙地有快車和慢車，快車12h，慢車15h，兩車同時從甲地出發，快車到達乙地后再返回，還需要多長時間和慢車相遇？（　　）

A．　 

B．　 

C． 

D．

【答案】A

【解析】題干信息相當于兩車相向行駛2倍的甲地到乙地的距離，所需的時間除去慢車從甲地到乙地的時間，即－12=。

【例4】甲、乙二人比賽爬樓梯，當甲爬到4層的時候，乙恰好爬到了3層。照這樣的速度繼續，當甲爬到16層時，乙爬到了幾層？（　　）

A．13層　

B．10層

C．12層

D．11層

【答案】D

【解析】當甲爬到4層時他走了3段階梯，乙走了2段階梯，則甲、乙的速度比為3:2。當甲爬到16層時，他走了15段階梯，時間相同，路程與速度成正比，則這時乙走了10段階梯，到達了第11層。

二、初等行程問題

初等行程問題是研究一個物體的運動，即研究單個物體的速度、時間、路程三者之間的關系。

1．行程問題最基本公式及其推論

（1）基本公式

路程＝速度×時間

（2）推論

時間相同時，路程與速度成正比；速度相同時，路程與時間成正比；路程相同時，速度與時間成反比。

2．題目設置

（1）路程：單向直路、往返路、上坡路、下坡路、環型路、“回頭”路、速度不同的一段路、隊伍（火車）過橋（隧道）、動物爬樹（井）等。

（2）時間：具體時刻、時間提前、時間延后、休息時間等。

（3）速度：平均速度、速度變大、速度變小等。

【例5】小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比騎車慢50%。如果他騎車從A城到B城，再步行返回A城共需2小時。問小王跑步從A城到B城需要多少分鐘？（　　）

A．45　 　

B．48　

C．56　

D．60

【答案】B

【解析】方法一：由題意可知，設步行、跑步、騎車的速度分別為1、2、4，則對步行與騎車應用等距離平均速度公式，其平均速度為＝，以此速度從A城到B城用時為2÷2＝1小時，因此跑步從A城到B城需用時×1÷2＝（小時），即48分鐘。

方法二：步行、跑步、騎車的速度比為1:2:4，設其分別為1、2、4，A、B兩城之間的距離為s，＋＝2，得s＝，因此跑步從A城到B城需用時÷2＝（小時），即48分鐘。

三、相遇問題

相遇問題是行程問題的典型應用題，研究“相向運動”的問題，反映的是兩個量或者多個物體所走的路程、速度和時間的關系，其核心就是速度和。通常是已知速度、路程等變量，求相遇時間或者已知時間，速度，求路程等這類題型。

1．基本公式

速度和×相遇時間＝相遇路程；

相遇路程÷相遇時間＝速度和；

相遇路程÷速度和＝相遇時間。

2．題目設置

（1）直線相遇問題

當相遇問題發生在直線路程上時，甲的路程＋乙的路程＝總路程；

（2）環線相遇問題

當相遇問題發生在環形路程上時，甲的路程＋乙的路程＝環形周長。

3．解題技巧

（1）解答相遇問題時，一般需要借助于列方程法進行求解；

（2）對于復雜的相遇問題，正確畫出行程圖、找準突破口往往是解題的關鍵。

（3）單個的往返問題，一般以時間關系為突破口；

（4）往返問題，一般以路程為突破口。

【例6】甲車從A地，乙車和丙車從B地同時出發，相向而行。已知甲車每小時行65公里，乙車每小時行73公里，丙車每小時行55公里。甲車和乙車相遇后，經過15小時又與丙車相遇，那么A、B兩地相距（　　）公里。

A．10100　 

B．13800

C．10600　 

D．14800

【答案】B

【解析】由題意可知，設從出發到甲乙相遇經過了t小時，得65×15＋55×15＋55t＝73t，得t＝100；A、B兩地的距離應為：65×100＋73×100＝13800（公里）。

【例7】甲、乙兩人同時從A、B兩地出發，相向前行，甲到達B地后，立即往回走，回到A地后，又立即向B地走去；乙到達A地后，立即往回走，回到B地后，又立即向A地走去。兩人如此往復，行走速度不變。若兩人第二次迎面相遇的地點距A地450米，第四次迎面相遇的地點距B地650米，則A、B兩地相距（　　）。

A．1020米 

B．950米

C．1150米　

D．1260米

【答案】A

【解析】在多次相遇問題中，兩人同時從異地出發，第n次迎面相遇時，兩人各自所走路程是兩人第一次相遇時各自所走路程的（2n－1）倍。設A、B兩地相距x米，第二次迎面相遇時，甲第一次從B地往A地走，甲所走路程為（2x－450）米；第四次迎面相遇時，甲第三次從B地往A地走，甲所走路程為（3x＋650）米。則（2x－450）:（3x＋650）＝（2×2－1）:（4×2－1），解得x＝1020（米）。

四、追及問題

追及問題是行程問題的常考典型應用題，是研究“同向運動”的問題，追及問題反映的是兩個量或者多個量所走的路程、速度和時間的關系，核心就是速度差。

1．基本公式

追及時間＝路程差÷速度差；

路程差＝追及時間×速度差；

速度差＝路程差÷追及時間。

2．題目設置

（1）當追及問題發生在直線路程上時：路程差＝追者路程一被追者路程＝速度差×追及時間；

（2）當發生在環形路程上時：快的路程－慢的路程＝曲線的周長。

【例8】甲和乙在長400米的環形跑道上勻速跑步，如兩人同時從同一點出發相向而行，則第一次相遇的位置距離出發點有150米的路程；如兩人同時從同一點出發同向而行，問跑的快的人第一次追上另一人時跑了多少米？（　　）

A．600　 

B．800　 

C．1000 

D．1200

【答案】C

【解析】由“第一次相遇的位置距離出發點有150米的路程”可知，兩個人分別跑了250米和150米，兩人相差250－150＝100（米），若如兩人同時從同一點出發同向而行，跑的快的人第一次追上另一人時定多跑了400米，而速度未變，則此時跑得快的人跑了400÷100×250＝1000（米）。

五、行船問題

行船問題是行程問題的一種，有基本行船問題和變形行船問題（扶梯問題）兩種類型。解決行船問題的關鍵是確定“船”的運動速度。一般情況下可采用列方程法求解。

1．基本行船問題

順水速度＝船速＋水速

逆水速度＝船速－水速

由上述兩個公式進行相加相減得以下兩公式：

船速＝（順水速度＋逆水速度）÷2

水速＝（順水速度－逆水速度）÷2

【例9】小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把空塑料水壺掉進江中，當他們發現并調過頭時，水壺與船已經相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每小時2千米，那么他們追上水壺需要多少時間？（　　）

A．0.2小時

B．O.3小時 

C．0.4小時 

D．0.5小時

【答案】D

【解析】根據題意，小船調轉船頭追水壺時為順流，小船的順流速度是4＋2＝6（千米/時）；此時水壺與船已經相距2千米，即追及路程是2千米，水壺的速度即為水流速度，則追及時間為＝0.5（小時）。

【例10】一條執行考察任務的科考船，現從B地沿河駛入海口，已知B地距入海口60千米，水速為每小時6千米，若船順流而下，則用4小時可以到達入海口，該船完成任務從入海口返回并按原速度航行4小時后，由于海水漲潮，水流方向發生變化，水速變為每小時3千米，則該船到達B地還需再航行（　　）小時。

A．5　 

B．4　 

C．3　 

D．2

【答案】B

【解析】從B地到入海口總路程為60千米，水速為6千米/小時。因為船順流而下到達入海口用時4小時，所以船速為60÷4－6＝9（千米/小時）。從入海口返回，逆流航行4小時，該船行駛的路程為（9－6）×4＝12（千米）。此時水流方向發生變化，逆流改為順流，且水速變為3千米/小時，則剩余路程用時（60－12）÷（9＋3）＝4（小時）。

3．行船問題的變形——扶梯問題

扶梯行程問題中的“扶梯總長”在題目當中一般被描述為“扶梯露在外面的階數”。

計算公式：扶梯總長＝人走的階數×（1±）

規律：順行用加法，逆行用減法。

（1）沿電梯運動

能看到的電梯級數＝人實際走過的級數＋電梯本身移動的級數；

由于人實際走過的時間與電梯本身移動的時間相等，則上式變形為：

能看到的電梯級數＝順行速度×沿電梯運動方向運動所需時間＝（人速＋電梯速度）×沿電梯運動方向運動所需時間；

（2）逆電梯運動

能看到的電梯級數＝人實際走過的級數－電梯本身走過的級數；

由于人實際走過的時間與電梯本身移動的時間相等，則上式變形為：

能看到的電梯級數＝逆行速度×逆電梯運動方向運動所需時間＝（人速－電梯速度）×逆電梯運動方向運動所需時間。

【例11】甲、乙兩人在勻速上升的自動扶梯從底部向頂部行走，甲每分鐘走的扶梯的級數是乙的2倍；當甲走了36級到達頂部，而乙則走了24級到頂部。那么，自動扶梯有多少級露在外面？（　　）

A．68　

B．56　

C．72　 

D．85

【答案】C

【解析】甲、乙走到頂部時間之比為:24＝3:4，則扶梯運送兩人的距離之比也為3:4，設分別為3x、4x，扶梯總長為n，由題意可得n＝36＋3x，n＝24＋4x，得x＝12，n＝72。即自動扶梯有72級露在外面。

六、火車過橋問題

火車過橋類問題一般難度并不大，只需注意情境中的細節。

題型簡述：運動物體的長度相對行進路程的影響較大，無法忽略不計。

思路提示：行進路程＝橋長＋車長

【例12】火車駛過長900米的鐵路橋，從車頭上橋到車尾離橋共用1分25秒，緊接著列車又穿過一條長1800米的隧道，從車頭迸隧道到車尾離開隧道用了2分40秒，則火車車身長為（　　）。

A．120米　

B．100米　

C．80米 

D．90米

【答案】A

【解析】設車身長度為x米，則從車頭上橋到車尾離橋火車行駛距離為（900＋x）米，從車頭進隧道到車尾離開隧道行駛距離為（1800＋x）米，列方程（900＋x）÷85＝（1800＋x）÷160，解得x＝120（米）。

【例13】一列火車的車身長800米，行駛的速度是每小時60千米，鐵路上有兩座隧洞且長度相等。火車從車頭進入第一個隧洞到車尾離開第一個隧洞用2分鐘，從車頭進入第一個隧洞到車尾離開第二個隧洞共用6分鐘，兩座隧洞之間相距多少千米？（　　）

A．3　

B．2.5 

C．2.8　

D．2.6

【答案】C

【解析】火車速度是1千米/分鐘，經過第一個隧洞用了2分鐘共走了2千米，因此隧洞的長度是2000－800＝1200（米）。從車頭進入第一個隧洞到車尾離開第二個隧洞行駛總長度是1×6－0.8＝5.2（千米），去掉兩個隧洞的長度，則它們之間的距離就是5.2－2×1.2＝2.8（千米）。

七、其他行程問題

1．封閉路線（環形）中的行程問題

①一般運動的兩者處于同一起點，當兩者異向運動時，可以看做相遇問題，等價于兩者一起運動完一周，則環形周長＝（速度1＋速度2）×異向運動的兩人兩次相遇的間隔時間，S＝（v₁＋v₂）×t；

②同向運動時，可以當做追及問題，等價于速度大的一方要比速度小的一方多運動一周長，則環形周長＝（速度1－速度2）×同向運動的兩人兩次相遇的間隔時間，即S＝（v₁－v₂）×t。

【例14】每條長200米的三個圓形跑道相交于A點，張三、李四、王五三個隊員從三個跑道的交點A處同時出發，各取一條跑道練習長跑。張三每小時跑5公里，李四每小時跑7公里，王五每小時跑9公里。問三人第四次在A處相遇時，他們跑了多長時間？（　　）

A．40分鐘   

B．48分鐘　

C．56分鐘　

D．64分鐘

【答案】B

【解析】三人每跑一圈的時間分別是＝，＝，＝分鐘，那么每過一個12分鐘則他們三人都恰好在A點，所以第四次相遇A點是48分鐘。

【例15】一個正六邊形跑道，每邊長為100米，甲乙兩人分別從兩個相對的頂點同時出發，沿跑道相向勻速前進，第一次相遇時甲比乙多跑了60米，問甲跑三圈時，兩人之間的直線距離是多少？（　　）

A．100米　

B．150米

C．200米　 

D．300米

【答案】C

【解析】根據題意，設第一次相遇時，甲跑了x米，因為是正六邊形，且每邊長度為100米，則有x＋x－60＝300，解得x＝180，即在相同的時間內甲跑了180米，乙跑了120米，二者的速度比為3:2，則在相同的時間內，甲跑三圈，乙要跑兩圈，即正好都在原先各自的起點處，此時兩者的直線距離即為兩個頂點之間的距離為200米。

2．等距離平均速度問題

等距離平均速度問題是指路程相等，速度不同，最后求的是兩段路程的平均速度的問題。通常情況下，題目給出的已知條件是兩段相等路程的不同速度，等距離平均速度應用公式為：

等距離平均速度（其中，分別為往返速度）。

【例16】一條環形賽道前半段為上坡，后半段為下坡，上坡和下坡的長度相等，兩輛車同時從賽道起點出發同向行駛，其中A車上下坡時速相等，而B車上坡時速比A車慢20%，下坡時速比A車快20%。問在A車跑到第幾圈時，兩車再次齊頭并進？（　　）

A．22　

B．23　 

C．24

D．25

【答案】D

【解析】設A車速度為ν，則B車上坡速度為0.8ν、下坡速度為1.2ν，由等距離平均速度公式可知，B車完成一圈的平均速度為＝＝0.96ν，則A車與B車的速度之比為25:24，即A車完成25圈時，兩車同時回到起點。

3．沿途數車問題

沿途數車問題公式，發車時間間隔，（每隔t₁分鐘就遇到迎面開來的一輛公車，每隔t₂分鐘就有一輛公車從后面超過該人）。

【例17】小明放學后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行。每隔30分鐘就有輛公共汽車從后面超過他，每隔20分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發一次車？（　　）

A．20　 

B．24　 

C．25　

D．30

【答案】B

【解析】假設小明在路上向前行走了60（20、30的最小公倍數）分鐘后，立即回頭再走60分鐘，回到原地。則在前60分鐘他迎面遇到的車為：60÷20＝3（輛），后60分鐘追上他的車有60÷30＝2（輛）。則在兩個60分鐘里他共遇到朝同一方向開來的5輛車，則發車的時間間隔為60×2÷（3＋2）＝24（分鐘）。

4．間歇型行程問題

先考慮沒有休息時的運動情況，然后考慮休息間隔所帶來的影響。

【例18】公路上有三輛同向行駛的汽車，其中甲車的時速為63公里，乙、丙兩車的時速均為60公里，但由于水箱故障，丙車每連續行駛30分鐘后必須停車2分鐘。早上10點，三車到達同一位置，問1小時后，甲、丙兩車最多相距多少公里？（　　）

A．5 　 

B．7

C．9　 

D．11

【答案】B

【解析】甲車的時速為63公里，即甲1小時行駛了63公里，丙車最多需要停車4分鐘，即行駛了56分鐘，則丙車行駛路程為×60＝56（公里），則甲、丙兩車最多相距63－56＝7（公里）。

【例19】高速公路上行駛的汽車A的速度是100公里每小時，汽車B的速度是120公里每小時，此刻汽車A在汽車B前方80公里處，汽車A中途加油停車10分鐘后繼續向前行駛。那么從兩車相距80公里處開始，汽車B至少要多長時間可以追上汽車A？（　　）

A．2小時　

B．3小時10分　 

C．3小時50分　

D．4小時10分

【答案】B

【解析】當A車加油時間剛結束時，B車追上A車所需時間最少。A車加油的10分鐘，B車的行駛路程為

120×（10÷60）＝20（公里），剩余60公里的距離相當于追及問題，追上所需的時間為60÷（120－100）＝3（小時）。即汽車B追上汽車A總共需要3小時10分鐘。

5．兩次相遇問題

S表示兩端點之間的距離。單邊型指兩次距離都是關于同一端點，兩邊型指兩次距離分別關于兩個端點。

（1）單邊型兩次相遇距離公式：s＝

【例20】甲、乙兩人同時分別從A、B兩地相向而行，相遇時距A地80米，相遇后，他們各自按原速度繼續前進，到達目的地后立即返回，在距A地60米處再次相遇。求A、B兩地的距離為（　　）米？

A．100　 

B．120　

C．150　

D．180

【答案】C

【解析】當甲、乙兩人第一次相遇時，兩人共行了一個全程，其中甲走了80米，當兩人第二次相遇時，兩人共行了3個全程，其中，甲走了3個80米。甲走的路程加上60米正好是兩個全程（此處畫圖即可看出），因此全程為：（80×3＋60）/2=150（米）。

（2）兩邊型兩次相遇距離公式：s＝3s₁－s₂

【例21】甲從A地、乙從B地同時以均勻的速度相向而行。第一次相遇離A地6千米，繼續前進，到達對方起點后立即返回，在離B地3千米處第二次相遇，則A、B兩地相距多少千米？（　　）

A．10　 

B．12　 

C．18　 

D．15

【答案】D

【解析】如圖可知，甲、乙從出發到第二次相遇所走的路程是從出發到第一次相遇所走路程的3倍。

第一次相遇甲走了6千米，第二次相遇時甲共走了63=18（千米），總路程為18－3=15（千米）。