第二章　計算問題

一、乘方尾數問題

在不直接計算算式各項值的情況下，只計算算式的尾數，得到結果的尾數。從而確定選項中的答案。一般適用于加、減、乘（方）這三種情況的運算（出現除法運算除外）。

1．乘方尾數的變化規律：

①2的乘方尾數：每4個數為一個周期，分別為2，4，8，6；

②3的乘方尾數：每4個數為一個周期，分別為3，9，7，1；

③4的乘方尾數：每2個數為一個周期，分別為4，6；

④0、1、5和6的乘方尾數：常數0、1、5和6；

⑤7的乘方尾數：每4個數為一個周期，分別為7，9，3，1；

⑥8的乘方尾數：每4個數為一個周期，分別為8，4，2，6；

⑦9的乘方尾數：每2個數為一個周期，分別為9，1。

2．乘方尾數口訣

底數留個位，指數除4留余數，余數為0當做4，所得數的尾數等于原數的尾數。

【例1】1²＋2²＋3²＋…＋123456789²的個位數是（　　）。

A．3　

B．4　 

C．5

D．6

【答案】C

【解析】原式各項的尾數按照1²到9²依次循環，則計算1²＋2²＋3²＋…＋9²的尾數即可，1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1的尾數為5，則所有數字之和的尾數為5。因此C項正確。

二、裂項相消問題

裂項公式：在分母明顯由幾個差別不大的式子組成時，可以采用裂項的方式，使得計算式子變得簡單。常用的格式有：

1．兩項分母裂項公式

“＝（－）×”得：＋＋＋…＋＝（－）×

2．三項分母裂項公式

“＝[－]×”得：＋＋…＋＝[－]×

【例2】＋＋……＋的值為（　  ）。

A．　 

B． 

C．　

D．

【答案】C

【解析】＋＋＋…＋＝（－）×，則＋

＋……＋＝（－）×＝。

三、選項估算問題

估算，即在精度要求不太高的情況下，進行粗略估值的計算方式。估算的常用形式主要包括兩種，選項差距大的時候可以直接用四舍五入進行計算，選項差距不夠大的時候要考慮誤差分析。

1．尾數估算法

尾數估算法是指在選項中的尾數不相同時，算出計算結果的尾數，來估計正確答案的方法，常用的估算法包括尾數法、多位尾數法、除法尾數法等。

【例3】958×376＋253－132²的值為（　　）。

A．343031 

B．343022 

C．343037　

D．343029

【答案】C

【解析】958×376的尾數是8，132×132的尾數是4，則結果的尾數為8＋3－4＝7。因此C項正確。

【例4】1²⁰⁰⁷＋3²⁰⁰⁷＋5²⁰⁰⁷＋7²⁰⁰⁷＋9²⁰⁰⁷的值的個位數是（　　）。

A．5　

B．6　

C．8　 

D．9

【答案】A

【解析】1的多次方個位數始終為1，5的多次方個位數始終為5，9的多次方個位數是9、1循環，3的多次方個位數是3、9、7、1循環，7的多次方個位數是7、9、3、1循環。因為2007÷4＝501…3，各數2007次方的個位數分別是1，7，5，3，9，又1＋7＋5＋3＋9＝25，1²⁰⁰⁷＋3²⁰⁰⁷＋5²⁰⁰⁷＋7²⁰⁰⁷＋9²⁰⁰⁷的個位數為5。

2．湊整估算法

湊整估算法是指為方便計算，對式子中的一些值進行估算，算出答案的大概范圍，結合選項從而得出結果的方法。

【例5】10的平方加11的平方加12的平方加13的平方加14的平方，其和除以365，得幾？（　  ）

A．5.5

B．4　

C．2.5 

D．2

【答案】D

【解析】10²＋11²＋12²＋13²＋14²≈5×12²＝720，且略大于720。720÷365≈1.97。D項最接近。

四、整體消去問題

“整體消去法”，指在計算中，將相近的數化為相同，從而作為一個整體進行抵消的方法。

【例6】÷與下列哪個數最接近？（　  ）

A．0.75　 

B．0.55　 

C．0.92

D．1.1

【答案】C

【解析】原式＝＝×＝＝。

五、中學數學問題

中學數學問題主要是指涉及中學數學知識的題型，運用中學數學知識，并結合選項進行求解，包括：

1．新定義符號運算

加、減、乘、除是我們所熟悉的四則運算，定義新運算就是打破原有的運算規則，給出一種新的運算方法，并賦予該運算方法新的運算符號，如*、△、◎、※等。

【例7】定義新運算：，則下列各項中最大的是（　　）。

A．　 

B． 

C．　

D．30

【答案】C

【解析】π＜3.2，25＜30，即＜。＞30，即3.2×10＞，故3.2＝3.2×10＝32。因此C項正確。

【例8】定義4△5=4＋5＋6＋7＋8=30，7△4＝7＋8＋9＋10=34，按此規律，（26△15）＋（10△3）的值為（　　）。

A．528

B．525

C．423　

D．420

【答案】A

【解析】a△b代表的是一個公差為1的等差數列的和，其中a代表該數列的首項，b代表該數列的項數，因此由等差數列求和公式可以得到，a△b=ab＋b（b－1）。因此，（26△15）＋（10△3）=26×15＋×15×（15－1）＋10＋11＋12=528。

2．復雜方程求解

【例9】已知：，則x＋2＋＝（　　）。

A． 

B．a　

C．2a　 

D．

【答案】C

【解析】由題意可知，，x＋2＋＝＝

＝＋2＝2a－2＋2＝2a。

3．不等式

【例10】某書的頁碼是連續的自然數1，2，3，4，…，9，10…當將這些頁碼相加時，某人把其中一個頁碼錯加了兩次，結果和為2001，則這書共有（　  ）頁。

A．59

B．61 

C．66　 

D．62

【答案】D

【解析】設這本書有n頁，頁碼總數為，依題意有＜2001，得n＜63，則n＝62。

4．函數

對于函數問題，數學運算中考查較多的便是分段函數問題，而二次函數的最值問題也不可忽視。

（1）二次函數

設f（x）＝ax²＋bx＋c（a≠0），則其頂點為（，），對稱軸為x＝。

①若a＞0，它的圖像是開口向上的拋物線，則：

a．當x＝∈[m，n]時，f（x）在區間[m，n]上的極小值f（x）_min＝f（）＝；f（x）在區間[m，n]上的極大值f（x）_max＝MAX[f（m），f（n）]；

b．當＜m時，f（x）_min＝f（m），f（x）_max＝f（n）；

c．當n＜時，f（x）_min＝f（n），f（x）_max＝f（m）。

②若a＜0，它的圖像是開口向下的拋物線，則：

a．當x＝∈[m，n]時，f（x）_min＝MIN[f（m），f（n）]，f（x）_max＝f（）＝；

b．當＜m時，f（x）_min＝f（n），f（x）_max＝f（m）；

c．當n＜時，f（x）_min＝f（m），f（x）_max＝f（n）。

（2）分段函數

分段函數是自變量在不同的取值范圍內，其對應法則也不同的函數。在表達形式上可表達如下：

f（x）＝

其圖像表現為若干段不一定連續的曲線。