第13章　早期量子論和量子力學基礎

一、選擇題

1．以下是一些材料的功函數（逸出功）：鈹—3．9eV；鈀—5.0eV；銫—1．9eV；鎢—4.5eV。今要制造能在可見光（頻率范圍：3．9×10¹⁴－7.5×10¹⁴Hz）下工作的光電管，在這些材料中應選（　　）。[電子科技大學2008研]

A．鈹

B．銫

C．鈀

D．鎢

【答案】B

【解析】由光電效應紅限可確定可見光頻率范圍內材料的逸出功為：

即。綜上可知銫的逸出功為1.9eV，在此范圍。

2．要使處于基態的氫原子受激后輻射出可見光譜線，最少應供給氫原子的能量為（　　）。[電子科技大學2008研]

A．12.09ev

B．10.20ev

C．1.89ev

D．1.51ev

【答案】A

【解析】可見光波長范圍為則波長倒數范圍為：

即，將代入里德伯方程

其中，

得。

故供給氫原子的能量至少能將氫原子激發到第3個能級上，即：

3．若a粒子在磁感應強度為B的磁場中沿半徑為R的圓形軌道運動，則口粒子的德布羅意波長是（　　）。[電子科技大學2008研]

A．　

B． 

C． 

D．

【答案】B

【解析】a粒子在磁場中所受洛倫茲力為；

a粒子作圓周運動，則；

由德布羅意公式

4．已知粒子在一維矩形無限深勢阱中運動，其波函數為（0＜x<a），那么粒子出現概率最大的位置是（　　）。[電子科技大學2008研]

A．　 

B．　 

C．　 

D．

【答案】B

【解析】概率密度為

顯然當時，概率最大，對應

5．某金屬產生光電效應的紅限波長為λ_o，今以波長為 （λ＜λ_o）的單色光照射該金屬，金屬釋放出的電子的動量大小為（　　）。（電子的質量為m） [電子科技大學2009研]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】對光電子動能定理得：，當時有紅限值，當時代入方程得且得電子的動量大小為：。

6．在氣體放電管中，用能量為12.2ev的電子去轟擊處于基態的氫原子，此時氫原子所發射的光子的能量的可能值是（　　）。[電子科技大學2009研]

A．12.09ev和3.4ev

B．10.20ev和1.51ev

C．12.09ev，10.20ev和1.89ev

D．12.09ev，10.20ev和3.4ev

【答案】C

【解析】設氫原子全部吸收電子能量后最高能激發到第n個能級，則，n取整數，故氫原子最高能激發到n＝3的能級當然也能激發到n＝2的能級，于是能產生3中能量的光電子，排除A、B。各種光電子能量分別如下

7．光電效應和康普頓效應都包含有電子和光子的相互作用過程。對此，在以下幾種理解中，正確的是（　　）。[電子科技大學2009研]

A．兩種效應中，電子和光子兩者組成的系統都服從動量守恒和能量守恒定律

B．兩種效應都相當于電子和光子的彈性碰撞過程

C．兩種效應都屬于電子吸收光子的過程

D．光電效應是電子吸收光子的過程，而康普頓效應則相當于電子和光子的彈性碰撞過程

【答案】D

【解析】光電效應光照射金屬板時，金屬板便釋放光電子，它是電子吸收光子的過程; 康普頓效應則相當于電子和光子的彈性碰撞過程,在整體碰撞過程中，動量守恒和能量守恒。

8．電子顯微鏡中的電子從靜止開始通過電勢差為U的靜電場加速后，其德布羅意波長是0.4，則U約為（　　）。[電子科技大學2009研]

A．150V

B．330V

C．630V

D．940V

【答案】D

【解析】電子的德布羅意波長：

電子由電場加速，由動能定理：

9．一維運動的粒子處在波函數

描寫的狀態，其中λ>0，則粒子出現概率最大的位置是（　　）。[電子科技大學2009研]

A．　 

B．　

C．　 

D．

【答案】A

【解析】粒子處于某位置的幾率為：

所以令

得

10．已知某單色光照射到一金屬表面產生了光電效應，若此金屬的逸出電勢是U_o（使電子從金屬逸出需作功eU_o），則此單色光的波長λ必須滿足（　　）。[電子科技大學2010研]

A．　 

B．　 

C．　 

D．

【答案】A

【解析】對于光電子由動能定理：

，

因為，所以。

11．在氣體放電管中，用能量為12.2ev的電子去轟擊處于基態的氫原子，此時氫原子所發射的光子的能量的可能值是（　　）。[電子科技大學2010研]

A．12.09ev和3.4ev

B．10.20ev和1.51ev

C．10.20ev，12.09ev，和1.89ev

D．10.20ev，12.09ev，和1.51ev

【答案】C

【解析】設氫原子全部吸收電子能量后最高能激發到第n個能級，則

n取整數，故氫原子最高能激發到n＝3的能級當然也能激發到n＝2的能級，于是能產生3中能量的光電子，排除A、B。各種光電子能量分別如下：

12．光子能量為0.5Mev的x射線，入射到某種物質上而發生康普頓散射。若反沖電子因散射而獲得的能量為0.1Mev，則散射光波長的改變量△λ與入射光波長λ₀之比值為（　　）。[電子科技大學2010研]

A．0.20

B．0.25

C．0.30

D．0.35

【答案】B

【解析】根據能量守恒，反沖電子獲得的能量就是入射光子與散射光子的能量差值，故：

又

故

13．若令（m_o為電子靜質量，c為真空的光速，h為普朗克恒量），則當電子的動能等于它的靜能時，它的德布羅意波長為（　　）。[電子科技大學2010研]

A．

B． 

C． 

D．

【答案】D

【解析】當電子的動能等于它的靜能時，即 

　  （1）

當電子運動時有： 

（2）

由題意：　

　 （3）

由德布羅意波的公式得：　 

  （4）

聯立（1）、（2）、（3）、（4）方程可得德布羅意波長為。

14．根據量子力學理論，當主量子數n＝3時，電子動量矩的可能值為（　　）。[電子科技大學2010研]

A．　

B．h，2h，3h

C．　

D．3h

【答案】A

【解析】由薛定諤方程和核外電子排布可知電子動量矩可能值為。

三、填空題

1．某基態氫原子吸收一個能量為11.6電子伏特的光子后所能到達的最高能態為（　  ），從該能態直接躍遷回基態輻射的光子頻率為（　　）。[南京理工大學2011研]

【答案】；

【解析】（1）氫原子的基態能量為，對于其他能級滿足

氫原子從基態吸收11.6電子伏特的能量后，變成的能量為：。這個能量在能級2和能級3之間，所以能達到的最高能態為

。

（2）發生能級躍遷，有

2．某金屬的電子逸出功為6.2電子伏特，要從金屬表面釋放出電子，照射光的波長必須滿足（　　）。[南京理工大學2011研]

【答案】

【解析】愛因斯坦的光電效應理論公式為：,當滿足時，有電子從金屬表面逸出。所以

3．鉀的光電效應紅限是λ₀＝620nm，鉀電子的溢出功為（　　）。在波長為λ＝330nm的光照射下鉀的遏土電勢差為（　　）。[南京航空航天大學2007研]

【答案】；

【解析】（1）由愛因斯坦光電效應可知光子逸出滿足：

所以，當電子剛要逸出時，即有：

（2）設當用波長為330nm的光照射時，逸出的電子速度為

則由光電效應可得：

同時考慮到動能定理：

聯立以上各式可以解得：

4．初速為 5×10⁶ms^－1的電子經過場強為400Vm^－1的均勻電場，則電子在電場中飛行10cm時電子的德波羅意波長為（　  ）。（普朗克常量h＝6.63×10^－34J·s） [南京航空航天大學2007研]

【答案】

【解析】設電子在運動了10cm時的速度為，則在電場中做加速運動：

電子的動量為：

德布羅意波長為：

聯立以上各式可以解得：。

5．設氫原子電子的運動狀態其量子數n＝4，則其電子角量子數λ的可取值有（　　），當電子處于2s態時四個量子數可取值有（　　）。[南京航空航天大學2007研]

【答案】；或

【解析】（1）電子繞核運動的角動量須滿足量子化條件：

這里角量子數為：

題意中，，所以

（2）當電子處在2s態時，主量子數、角量子數、磁量子數和自旋量子數分別為；且它們的取值滿足：

在本題中，處于2s態的電子，，所以可以取的各量子數值為或。

6．在康普頓散射中，若入射光子與散射光子的波長分別為λ和λ’，則反沖電子獲得的動能為（　　）。[南京航空航天大學2008研]

【答案】

【解析】在康布頓散射實驗中，滿足能量守恒

電子的動能為：

而，，代入上式可以得到。

7．靜止質量為m_e的電子，經電勢差為U的靜電場加速后，若不考慮相對論效應，電子的德布羅意波長λ＝（　　）。[南京航空航天大學2008研]

【答案】h／（2m_eeU）^1/2

【解析】電子經過靜電場加速有：，

同時，德布羅意波的波長為：，

所以，。

三、簡答題

光子在哪些方面與其他粒子（譬如電子）相似？在哪些方面不同？[浙江師范大學2011研]

答：（1）光子和其他粒子都具有速度、動量以及能量。

（2）光子和其他粒子不同處：光子可以發生湮滅和產生，而其他粒子不行；光子沒有質量，而其他粒子有質量。

四、計算題

1．試求出動能為E_k＝2.55MeV的電子的（1）運動質量，（2）運動的動量，（3）德布羅意波長。[南京理工大學2011研]

解：（1）電子的動能為：

所以電子的運動質量為：

（2）由相對論的能量動量關系為：

所以動量為：

（3）德布羅波公式為：

2．能量為15eV的光子被處于基態的氫原子吸收，使氫原子電離而發射一個光電子，求此光電子的德布羅依波長。（電子質量m＝9.11×l0^－31kg，普朗克常量h＝6.63×i0^－34J·S，1eV＝1.60×10^－19J） [電子科技大學2009研]

解：遠離核的光電子的動能為

光電子的德布羅依波長為

3．波長為λ的單色光照射某金屬M表面發生光電效應，發射的光電子（電量為e、質量為m）垂直進入磁感應強度為的勻強磁場，今測出電子在該磁場中作圓運動的最大半徑為R，求：（1）該金屬材料的逸出功；（2）遏止電勢差。[電子科技大學2010研]

圖13-1

解：（1）設質子的速度為，則在磁場中作圓周運動有

解得速度為

同時，考慮光電效應

（2）由題意

則

4．己知一維線性諧振子處在第一激發態時的波函數為

式中α為一常量．求在此激發態時概率最大的位置。[南京航空航天大學2008研]

解：諧振子處于第一激發態時概率密度為

具有最大概率的位置由dP₁／dx＝0決定，即由

解得

x＝±1/α

考慮到這兩點，則此坐標即為概率最大的位置。