第12章　光　學

一、選擇題

1．某元素的特征光譜中含有波長分別為λ₁＝450nm和λ₂＝750nm（1nm＝10^－9m）的光譜線。在光柵光譜中，這兩種波長的譜線有重疊現象，重疊處λ₂的譜線的級數將是（　  ）。[華南理工大學2011研]

A．2，3，4，5．．．．．．

B．2，5，8，11．．．．．．

C．2，4，6，8．．．．．．

D．3，6，9，12．．．．．．

【答案】D

【解析】設、的衍射明條紋級次分別為、。光柵方程為：，要使兩不同波長的光譜重合，就是要求衍射角相同，即需要滿足：，帶入數值得：，所以當取5的倍數，取3的倍數時兩波長的光譜重合。

2．一束光強為I₀的自然光，相繼通過三個偏振片P₁、P₂、P₃后，出射光的光強為I＝I₀／8。己知P₁和P₃的偏振化方向相互垂直，若以入射光線為軸，旋轉P₂，要使出射光的光強為零，P₂最少要轉過的角度是（　  ）。[華南理工大學2011研]

A．30°　 

B．45°

C．60°　 

D．90°

【答案】B

【解析】由于P₁和P₃ 垂直，設P₁和P₂垂直呈角度為x，則由馬呂斯定律，出射光強為：

可得x為45度。要想出射光強為0，則需要P₁和P₂垂直或者P₂和P₃ 垂直，所以至少需要旋轉45°。

3．一束平行單色光垂直入射在光柵上，當光柵常數（a＋b）為下列哪種情況時（a代表每條縫的寬度），k＝3、6、9等級次的主極大均不出現?（　　）。[華南理工大學2009研]

A．a＋b＝2a

B．a＋b＝3a

C．a＋b＝4a

A．a＋b＝6a

【答案】B

【解析】此為缺級現象，即的某些值滿足光柵方程的主明紋條件，而又滿足單縫衍射的暗紋條件，這些主明紋將消失。即同時滿足

由題意k＝3、6、9等級次的主極大均不出現即缺級，即

4．如圖12-1所示，平行單色光垂直照射到薄膜上，經上下兩表面反射的兩束光發生干涉，若薄膜的厚度為e，并且n₁＜n₂＞n₃，λ₁為入射光在折射率為n₁的媒質中的波長，則兩束反射光在相遇點的相位差為（　　）。[華南理工大學2010研]

圖12-1

A．2πn₂e／（n₁λ₁）

B．[4πn₁e／（n₂λ₁）]＋π

C．[4πn₂e／（n₁λ₁）]＋π　 

D．4πn₂e／（n₁λ₁）

【答案】D

【解析】如果不考慮反射，相位差為，其中，考慮到反射，且n₁<n₂>n_3，  將引入附加相位差

5．光強為I₀的自然光依次通過兩個偏振片P₁和P₂。若P₁和P₂的偏振化方向的夾角α＝30°，則透射偏振光的強度I是（　　）。[華南理工大學2010研]

A．I₀／4

B．

C．

D．I₀／8

E．3I₀／8

【答案】E

【解析】由馬呂斯定律，出射光強為：

6．用單色光垂直照射在觀察牛頓環的裝置上，當平凸透鏡垂直向上作緩慢、微小平移，可以觀察到這些環狀條紋將（　　）。[電子科技大學2008研]

圖12-2

A．向右平移

B．向中心收縮

C．向外擴張

D．靜止不動

【答案】B

【解析】判斷條紋移動方向應該根據原來的某級條紋在透鏡移動后變化到什么位置，比如原來透鏡邊緣處的暗紋，在透鏡向上移動后，會出現在更靠內側的地方（由于光程差相等）。所以干涉條紋向中心收縮。

7．在單縫夫瑯和費衍射實驗中波長為λ的單色光垂直入射到單縫上，對應于衍射角為30°的方向上，若單縫處波面可分成3個半波帶，則縫寬度α等于（　　）。[電子科技大學2008研]

A．λ

B．1.5λ

C．2λ

D．3λ

【答案】D

【解析】由單縫的夫瑯和費衍射實驗可知半角寬度，因為單縫處波面有3個半波帶即，故。

8．用波長4000A－7000A的白光垂直照射光柵，在它的衍射光譜中，第二級光譜被第三級光譜重迭部分的波長范圍是（　　）。[電子科技大學2008研]

A．4000A－4667A

B．6000A－7000A

C．4667A－7000A

D．4000A－6000A

【答案】A

由光柵方程知，要想使第二級和第三級條紋有重合，必須滿足

選項中只有A滿足此條件。

9．某種透明媒質對空氣全反射的臨界角為45°，則光從空氣射向此媒質的布儒斯特角為（　　）。[電子科技大學2008研]

A．35.3°

B．40.9°

C．45°

D．54.7°

【答案】D

【解析】設透明媒質和空氣的折射率分別為，由折射定律和全反射可知：

又由反射光偏振中布儒斯特定律可知：

所以布儒斯特角。

10．在光學元件表面鍍膜可以增強透射。若在玻璃（折射率n₃＝1.60）表面鍍一層MgF₂（折射率n₂＝1.38）薄膜，為了使波長為5000的光從空氣垂直入射到該薄膜時盡可能少反射，MgF₂薄膜的最小厚度應是（　　）。[電子科技大學2009研]

A．1250

B．1810

C．2500

D．906

【答案】D

【解析】增透膜的原理是利用薄膜的干涉使反射光減到最小。當兩反射光干涉相消時應滿足，當時得膜的最小厚度應為：。

11．波長在λ至λ＋△λ（△λ＞0）范圍內的復色平行光垂直照射到一光柵上。如要求光柵的第二級光譜和第三級光譜不重疊，則△λ最大為（　　）。[電子科技大學2009研]

A．2λ

B．3λ

C．0.5λ

D．4λ

【答案】C

【解析】按光柵方程，對第k級光譜，角位置從到，如要光柵的第二級光譜和第三級光譜不重疊，即要的第3級條紋在（λ＋△λ）的第2級條紋之后，亦即：，由

。

12．人造水晶鉆戒是用玻璃（折射率為n₁）作材料，表面鍍上一層二氧化硅薄膜（折射率為n₂，n₂<n₁）以增強反射。要使波長λ的光垂直入射時反射增強，則鍍膜的最小厚度（　　）。[電子科技大學2010研]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】題中要求反射加強，故膜上下表面反射光的光程差至少為波長，又上下表面反射都有半波損失，所以

13．在邁克爾遜干涉儀的一支光路中，放入一片折射率為n的透明介質薄膜后，測出兩束光的光程差的改變量為一個波長λ，則薄膜的厚度為（　　）。[電子科技大學2010研]

A．　 

B．　 

C．　 

D．

【答案】D

【解析】在邁克爾遜干涉實驗中，光程差為：，當在其中一條光路中加上透明介質薄膜時，光程差變為：

而對于麥克爾遜干涉。有。

當時，移動了一個波長，所以厚度。

14．一束單色光垂直入射在光柵上，衍射光譜中共出現5條明紋；若已知此光柵縫寬度與不透明部分寬度相等，那么在中央明紋一側的兩條明紋的級別分別是（　　）。[電子科技大學2010研]

A．第1級和第2級

B．第2級和第3級

C．第1級和第3級

D．第2級和第4級

【答案】A

【解析】由光柵中產生明紋條件公式為：，因為衍射光譜中共出現5條明紋，則k只能取五個值，即。

二、填空題

1．用氦-氖激光器發出的波長為632.8nm的單色光做牛頓環實驗，己知所用平凸透鏡的曲率半徑為10.0m，平面直徑為3.0cm，則最多能觀察到（　  ）條暗壞。[南京理工大學2011研]

【答案】36

【解析】牛頓環暗環的半徑為：，假設，可以算出，所以最多能觀察到36條，因為牛頓環的中心為暗環，所以計算的結果取整數后還應該加上1。

2．用邁克耳孫干涉儀可以測量光的波長，某次實驗測得等傾條紋在中心處縮進1000條條紋時，可動反射鏡移動距離△L＝0.2750mm，則所用單色光的波長為（　　）nm。[南京理工大學2011研]

【答案】

【解析】邁克爾遜干涉儀明條紋的平移公式為：

故可以求出波長為：

3．在單縫夫瑯禾費衍射實驗中，波長為λ的單色光垂直入射在寬度a＝5λ的單縫上，對應于衍射角的方向上若單縫處波面恰好可分成5個半波帶，則衍射角＝（　　）。[華南理工大學2009研]

【答案】

【解析】由單縫的夫瑯禾費衍射實驗知識并由題意可知:

4．兩個偏振片堆疊在一起，其偏振化方向相互垂直，若一束強度為I_O的線偏振光入射，其光矢量振動方向與第一偏振片偏振化方向夾角為π/4，則穿過第一偏振片后的光強為（　　），穿過兩個偏振片后的光強為（　　）。[華南理工大學2009研]

【答案】；0

【解析】由馬呂斯定律可知:，。

5．波長為λ＝480.0nm的平行光垂直照射到寬度為a＝0.40mm的單縫上，單縫后透鏡的焦距為f＝60cm，當單縫兩邊緣點A、B射向P點的兩條光線在P點的相位差為π時，P點離透鏡焦點O的距離等于（　　）。[華南理工大學2010研]

圖12-3

【答案】0.36mm

【解析】由相位差為以及P點到透鏡邊緣光程相等得到，從B射向透鏡下邊緣的光線光程比從A射向透鏡上邊緣的光線光程大于是得到，則。

6．在雙縫干涉實驗中，用500nm（1nm＝10^－9m）的單色光入射，若在兩縫之一的上縫S₁處放一折射率為n＝1.50的透明薄膜，則屏幕上干涉條紋將向（　  ）方向移動；若加入透明薄膜后使得中央明紋移動了3.5條，則薄膜厚度為（　  ）。[南京航空航天大學2007研]

【答案】向上；3500nm

【解析】（1）在雙縫干涉實驗中，條紋的位置滿足：；其中，光程差為：；當加上薄膜后，光程差變為：；所以，可以看出增大。所以條紋上移。

（2）在第（1）問中已經求出了光程差，對于中央明紋，有：；所以當中央明紋移動3.5條時，滿足：；解得。

7．用λ＝600nm的平行光束，垂直照射到一單縫上，在距單縫2m遠的屏上觀察夫瑯禾費衍射圖樣，測得第二級暗紋的的衍射角為30°，則單縫的寬度d＝（　　），單縫可分為7個“半波帶”的衍射角為（　　）。[南京航空航天大學2007研]

【答案】2400nm；

【解析】（1）單縫衍射實驗，屏上出現暗紋時應該滿足的等式為：；所以，當，時，可以代入上式解得。

（2）當出現奇數個半波帶時，將出現明條紋，設為，這時有：；這里。所以解得。

8．光強為I的一束自然光、經過三個偏振片后，透射光強為1/16，已知第一個偏振片和第三個偏振片的偏振化方向相互垂直，則第一個偏振片和第二個偏振片的偏振化方向夾角為（　　）。[南京航空航天大學2007研]

【答案】或

【解析】設第一塊偏振片和第二塊偏振片的夾角為，則自然光通過后的光強變為：

當通過偏振片時，光強變為：

當通過偏振片時，光強則為：

由題意知：

聯立以上各式，可以解得：或。

9．用一定波長的單色光進行雙縫干涉實驗時，欲使屏上的干涉條紋間距變大，可采用的方法是：（　　）、（　　）。[南京航空航天大學2008研]

【答案】使兩縫間距變小；使屏與雙縫之間的距離變大

【解析】（1）在雙縫干涉試驗中，干涉條紋的間隙為：，所以要使變大，可以使a變小，即使兩縫間距變小。

（2）同理，可以是D變大，使屏與雙縫之間的距離變大。

10．一個平凸透鏡的頂點和一平板玻璃接觸，用單色光垂直照射，觀察反射光形成的牛頓環，測得中央暗斑外第k個暗環半徑為r₁。現將透鏡和玻璃板之間的空氣換成某種液體（其折射率小于玻璃的折射率），第k個暗環的半徑變為r₂，由此可知該液體的折射率為（　  ）。[南京航空航天大學2008研]

【答案】r₁²／r₂²

【解析】對于牛頓環，第k個暗環的空氣厚度應滿足：

當放入液體以后，光線穿過液體層的厚度為：

所以聯立兩式可解得：

11．在邁克耳孫干涉儀的一支光路上，垂直于光路放入折射率為n、厚度為h的透明介質薄膜。與未放入此薄膜時相比較，兩光束光程差的改變量為（　　）。[南京航空航天大學2008研]

【答案】2（n－1）h

【解析】在邁克爾干涉儀中，未放介質時，光程差為：；假設在光路2中放入透明介質，則這時的，因為光兩次穿過透明介質。所以，放入透明介質以后，光程差為：；變化量為：。

三、簡答題

1．為什么兩個獨立的同頻率的普通光源發出的光波疊加時不能得到光的干涉圖樣？[浙江師范大學2011研]

答：因為只有相干光才能發生光的干涉。而相干光的條件有三個：頻率相同、振動方向相同以及相位差恒定。 普通光源只滿足頻率相同而不能滿足其他兩條件，故不是相干光，因而不能發生干涉。

2．如何利用偏振片和波晶片（1/4波片、半波片等）將一束自然光轉化為圓偏振光？又如何利用波晶片將一線偏振光的偏振方向旋轉90度？[武漢理工大學2011研]

解：（1）首先將自然光通過偏振片，變成線偏光。然后使線偏光通過1/4波片，保證線偏振方向與波片光軸方向呈45°角，從而出射的o光和e光方向相同，振幅相等，相位差，從而變成圓偏振光。

（2）首先將線偏光通過一個1/4波片，變成圓偏光，再經過一個與原偏振方向垂直的偏振片，變成新方向的線偏光。

四、計算題

1．波長λ＝500nm的單色平行光垂直入射到每厘米有2000條刻痕的光柵上，光柵的刻痕寬度是透光寬度的兩倍。求：

（1）光柵常數；

（2）屏上可能觀察到的明條紋級數和條數。

（3）該單色平行光以與光軸成30°角入射時，屏上可能觀察到的明條紋級數和條數。[南京理工大學2011研]

解：（1）由題意光柵周期為200/mm，所以光柵常數為：

（2）光柵方程為：，所以明條紋級數為：

當時，可觀察到明條紋最大級數：

此時明條紋數目為（條）。

（3）當平行光以30°角入射時，光柵方程為；明條紋級數為。所以，可觀察到最大級數；由于只能取整數，故能觀察到最大級數為5，相應的明文條數為： （條）。

2．用波長為λ的單色光垂直照射由兩塊平玻璃板構成的空氣劈形膜，已知劈尖角為θ，如果劈尖角變為，從劈棱數起的第四條明條紋位移值△x是多少?[華南理工大學2009研]

解：由劈尖干涉光路圖可知，任何兩個相鄰的明紋之間的距離為

由于在空氣中，取，則

當劈尖角為θ時，兩個相鄰的明紋之間的距離:

當劈尖角變為時，兩個相鄰的明紋之間的距離:

取兩玻璃板連接處為基準，從劈棱數起的第四條明條紋位移值△x是:

3．一衍射光柵，每厘米有200條透光縫，每條透光縫寬為a＝2.5×10^－3cm，在光柵后放一焦距f＝lm的凸透鏡,現以λ＝6000A的單色平行光垂直照射光柵，求；（1）單縫衍射的中央明條紋寬度為多少?（2）在中央明條紋寬度內,有幾個光柵衍射主極大? [電子科技大學2008研]

解：（1）中央明條紋寬度

（2）由題意

由

  dsin＝kλ

　  asin＝λ

在中央明條紋寬度內的最高級次：

所以有三個光柵衍射主極大。

4．一雙縫，縫間距d＝0.010mm，縫寬a＝0.002mm，雙縫后放一焦距為50cm的透鏡，透鏡焦平面處放一屏幕。用它來觀察波長為λ＝500nm的光譜，光線垂直入射到雙縫，求：

（1）干涉條紋間距；

（2）單縫衍射中央明紋范圍內能看到的干涉條紋數。

（3）在所有的譜線中能看到的干涉條紋的級數。[南京航空航天大學2007研]

解：（1）干涉條紋間距為：

（2）單縫衍射中央明紋的寬度為：

所以，單縫衍射中央明紋能夠看到的條紋數為：

（3）雙縫干涉明紋方程為：

能夠看到的干涉條紋的最大級數為：，只能看到19條。

又，即第5級缺級。故能看到的條紋為：從0到條紋中，減去以外的條紋。

5．用鈉光（λ＝589.3nm）垂直照射到某光柵上，測得第三級光譜的衍射角為60°。

（1）若換用另一光源測得其第二級光譜的衍射角為30°，求后一光源發光的波長。

（2）若以白光（400nm－760 nm）照射在該光柵上，求其第二級光譜的張角。（1nm＝10^－9m） [南京航空航天大學2008研]

解：

(1)  光柵方程為：

（a＋b）sinφ＝3λ

當用第一光源照射時有：

a＋b＝3λ／sinφ，φ＝60°

當用另一光源照射光柵時，有

a＋b＝2λ`/sinφ`,φ’＝30°

3λ/sinφ＝2λ’/sinφ’

聯立以上各式可解得：

(2)光柵方程為

（a＋b）＝3λ/sinφ＝2041.4nm

波長最低時 可以解得張角為：

＝sin^－1（2×400/2041.4）,其中λ＝400nm

＝sin^－1（2×760/2041.4），其中λ＝760nm

白光第二級光譜的張角

6．用白光垂直入射到間距為d＝0.25mm的雙縫上，距離縫D＝1.0m處放置屏幕，求第二級干涉條紋中紫光和紅光極大點的間距（白光的波長范圍是400～760nm）。[廈門大學2011研]

解：由雙縫干涉明條紋的公式可得：

   （k為第幾級條紋，取整數） （1）

對于題中的第二條紋，則有k＝2

對于紅光和紫光，取波長分別為

　 （2）

條紋的間距為：

（3）

聯立（1）～（3）式可以解得：

7．用波長為6240A的單色光照射一光柵，已知該光柵的縫寬a為0.012毫米，不透明部分的寬度b為0.029毫米，縫數N為10³條。試求：

（1）單縫衍射圖樣的中央明紋角寬度；

（2）單縫衍射圖樣的中央明紋寬度內能看到多少級譜線？

（3）譜線的半角寬度為多少？[廈門大學2007研]

解：（1）根據單縫衍射明紋條件，可得中央明紋角寬度

（2）光柵衍射明紋滿足

　  ①

由題意

　  ②

將式②代入式①得：

同時考慮到單縫衍射，有：

所以，可以觀察到的譜線為：，共7調譜線。

（3）對于單縫衍射，滿足時，

8．平面偏振光垂直入射到一個表面和光軸平行的方解石晶片上，光的振動面和晶片的主截面成30°角，已知方解石尋常光的主折射率為1.6584，非尋常光的主折射率為1.4864，試求：

（1）透射出來的兩束平面偏振光的光強比為多少？

（2）用鈉光時，若尋常光與非常光要產生90°的位相差，晶片的厚度應為多少？（＝5893A）[廈門大學2007研]

解：（1）進分析得到：對與O光和e光，入射時分別滿足：

設入射的初始光強為

則由馬呂斯定律可得：

所以，透射出來的兩束平面偏振光的光強之比為：

（2）兩束偏振光的相位差滿足公式：

由已知條件可得：

所以聯立上面兩式可以解得：

厘米（k＝0，1，2…）

9．波長為λ＝600nm的單色光垂直入射到置于空氣中的平行薄膜上，已知膜的折射率n＝1.54，求

（1）反射光最強時膜的最小厚度；

（2）透射光最強時膜的最小厚度。[浙江師范大學2011研]

解：（1）單色光垂直入射到平行薄膜上，形成等傾干涉條紋，當干涉條紋等傾干涉明紋時反射光強最強，當等傾干涉條紋出現暗紋時，反射光線最弱，透射光線最強。

由兩束相干光的光程差公式為：

　  （1）

這里單色光垂直入射，所以，即光程差公式可化為：

（2）

當反射光最強時

要使最小，則

（2）當反射光

要使最小，則

10．（1）在單縫夫瑯禾費衍射實驗中，垂直入射的光有兩種波長，?。已知單縫寬度a＝1.0×10^－2 cm，透鏡焦距f ＝50 cm。求兩種光第一級衍射明紋中心之間的距離。

（2） 若用光柵常數d ＝1.0×10^－3 cm的光柵替換單縫，其他條件和上一問相同，求兩種光第一級主極大之間的距離。（1 nm＝10^－9 m）[浙江師范大學2011研]

解：（1）在單縫夫瑯禾費衍射中，光程差為：

　 （1）

其中為衍射角

由于衍射角很小，則有：

（2）

衍射條紋為第一級明條紋時，滿足

　 （3）

對于波長為，可得：

對于波長為，可得：

則兩波長第一級明條紋的間距為：

（2）若為光柵衍射，則光柵方程為：

　 （4）

當k＝1時，對應著第一級明紋。

當時，；

當時，；

所以，間距為。

11．一平凸透鏡置于一平板玻璃上，波長為6700?的紅光垂直從上方入射，由透鏡凸表面和平板玻璃表面反射的光形成牛頓環干涉條紋。透鏡和平玻璃的接觸點處為暗紋，測得第12條暗紋的半徑為11mm，求透鏡的曲率半徑R。

解：牛頓環上r半徑處空氣層的厚度為

第12條暗紋處與第一條暗紋處光程差相差11個波長，

可得透鏡的曲率半徑為

12．將麥克耳孫干涉儀的一臂稍微調長（移動鏡面），觀察到有150條暗紋移過視場。若所用光的波長為480nm，求鏡面移動的距離。

解：在邁克爾孫干涉儀中，沿兩條光路的光發生干涉，它們之間光程差每變化一個波長，則有一條暗紋移過視場。設鏡面移動距離為d，則

得　 

13．在楊氏雙縫實驗中，兩縫相距2mm，用l＝750nm和l￠＝900nm的混合光照明，若屏幕到縫的距離為2m，問兩種波長的光的干涉明紋重合的位置到中央明紋中線的最小距離為多少？

解：雙縫干涉第k級干涉明紋滿足，

要想使不同波長的兩束光條紋重合，需要某級條紋距離相同，即

可得，k最小值為6，故

14．楊氏雙縫實驗中，入射光波長，雙縫相距d＝3mm，觀察屏到雙縫的距離D＝2m。

（1）若用折射率n＝1.5的云母片覆蓋上面的一個縫，發現第五級明條紋恰好移到原中央明條紋位置，則云母片的厚度e＝?

（2）加入云母片后，零級明條紋移動到什么位置（求出零級明條紋到原中央明條紋的距離）? [廈門大學2011研]

解：（1）第五級明條紋處由兩縫射來的光的光程差為，由于加入云母片后此條紋處于屏中央位置，所以此光程差完全由云母片提供，

從而可以得到云母片厚度為

（2）未加入云母片時，第k級明條紋在觀察屏的位置與條紋級數有如下關系，

加入云母片后，對于零級條紋，其由云母片產生的光程差完全被由兩條光線距離產生的光程差抵消，所以零級明條紋出現在原5級條紋的位置，且條紋移動方向與（1）中5級明紋移動方向一致，故零級明紋到原中央明紋的距離為

15．（1）一強度為I₀的自然光先后垂直穿過偏振化方向夾角為60°的兩偏振片P₁和P₂，求P₂出射光的強度。

（2）若在P₁和P₂之間插入一個波片，其光軸與P₁和P₂的偏振化方向夾角均為30°，則P₂的出射光強度變為多少? [廈門大學2011研]

解：（1）自然光經過P1偏振片后，光強減半，并且變成沿P1透振方向的線偏光。再經過P₂偏振片，設出射光強為I2，由馬呂斯定律，

（2）

圖12-4

設1/4波片光軸方向沿y軸，P1偏振片出射光波幅為A1。經過波片后線偏光變為橢圓偏振光，如圖可得，

經過波片后o光和e光相位相差90°，故出射光電場分量可表示為

再經過P₂偏振片，橢圓偏光變成沿P₂透振方向的線偏光，將在P₂方向做投影可以得到出射光的電場分量，

可進一步約化為

所以出射光的波幅為

故出射光強為