2.2　動力學原理

2.2.1　牛頓三大定律

1. 牛頓第一定律

牛頓第一定律（慣性定律）——任何物體都將保持靜止或做勻速直線運動狀態，直到其他物體所施加的外力迫使它改變原來的狀態為止。換句話說，任何物體都有保持原有的運動狀態不變的屬性。原來靜止的汽車，不對它施加新的外力，它將持續保持靜止狀態。對于原來已經具有一定速度的汽車，會繼續保持勻速直線運動狀態。在高速公路的直線段，汽車經常處于速度很大的勻速直線運動狀態，發動機使后輪產生的向前的驅動力正好與向后的滾動阻力、空氣阻力等互相抵消，加上重力與路面反力互相抵消，整個汽車如同不受外力作用一樣，保持勻速直線運動狀態。當汽車起動加速時，車上乘員向后仰，就是企圖保持原來的靜止狀態的表現；而制動減速時，人往前沖，也是企圖保持原來的勻速直線運動狀態的表現。特別是當汽車轉彎時，站著的人向外側傾斜，就是因為人的質心要保持原來的直線運動向前，他們的腳卻被車廂底板帶向彎道的內側，相對而言，人就倒向外側?？偠灾绻皇芡饬ψ饔茫魏挝矬w都將保持原有的運動狀態，這個屬性稱為物體的慣性。因此，牛頓第一定律又稱慣性定律。當力等于零時（包括不受力作用或者幾個力同時作用其合力等于零），加速度就等于零，物體將保持勻速直線運動狀態或保持靜止狀態，這就是第一定律。

2. 牛頓第二定律

牛頓第二定律（動力方程）——物體受力F作用而產生的加速度a，其方向與力的方向相同，其大小與力的大小成正比，即

式中，比例系數m為物體的質量，它是物體慣性的度量。因為從式（2-28）可見，同樣大小的力作用在物體上，質量越大，加速度a越小，運動狀態越不易改變，即慣性越大。牛頓三大定律中最核心的是第二定律，它建立了力與運動的關系。

3. 牛頓第三定律

牛頓第三定律（作用與反作用定律）——兩物體間的作用力與反作用力，總是大小相等、方向相反、沿同一直線，分別作用在兩個不同的物體上。對于牛頓第三定律需要注意兩點。一是作用力與反作用力一定要大小相等、方向相反。例如，有一大車A與一小車B正面相撞（圖2.9），結果往往是大車繼續向前，只是速度減小一些，但小車卻被撞得倒退。這里并不是大車給小車的作用力F大使得小車倒退，而是因為小車的質量小，加速度大，容易改變運動狀態；同樣的道理，大車速度變化不大，不是因為它受到的小車給它的反作用力F′小，而是因為大車質量大，加速度小，速度變化就小。二是作用力F與反作用力F′分別作用在兩個不同的物體上。例如，汽車對路面的正壓力N作用在路面上，其反作用力N′（常常稱為法向反力）作用在汽車輪胎上。當然，汽車內部各零部件之間存在的各種各樣的相互作用力也要大小相等、方向相反、相互抵消，不影響汽車整體的運動。

2.2.2　動量定理

根據牛頓第二定律及加速度的定義，所以

此式表示物體動量對時間的一階導數等于作用在物體上外力的矢量和，稱為動量定理的微分形式。將上式改寫為d（mv）=Fdt，對兩邊積分：

mv-mv0稱為時間間隔t內動量的變化，它等于作用力F在時間間隔t內的沖量，即動量定理。

例2-1　某車型投產前做過碰撞試驗，試驗車被牽引裝置拉著沿軌道加速前進，正面碰撞固定墻壁，如圖2.10所示。已知碰撞固定墻壁前車速v0=49km/h，碰撞后回彈速度v=8km/h，碰撞時間為0.1s，試驗車質量為1 850kg。

解：以試驗車為研究對象，碰撞時水平方向只有固定墻壁作用于車的由沖量P代表的法向沖力。以固定墻壁的法向為x軸，那么將沖量定理式投影在x軸上，得

（-mv）-（mv0）=-P

所以

再由

P=Ft

可得沖力為

這就是說，該車正面碰撞墻壁時，沖力要比車重大近17倍。

2.2.3　動量守恒定律

當系統所有外力的合力為0時，無論內力如何作用，系統的動量都不會改變。根據牛頓第三定律可知，作用力與反作用力二者大小相等、方向相反、同時存在、同時消失，作用力與反作用力的沖量也總是大小相等、方向相反，系統的總動量不會發生改變，此即動量守恒定律。

mv=mv0=常矢量

在交通事故分析中，如圖2.11所示，兩車任意角度相撞時，相互作用力與反作用力的沖量分別為P和P′，它們滿足大小相等、方向相反，即

P=-P′

分別以車1和車2為研究對象，建立沖量方程

式（2-32）表示，碰撞后兩車動量的矢量和等于碰撞前兩車動量的矢量和。動量守恒是對兩車整體而言的。兩車之間的碰撞力，對各車而言是外力，但對兩車整體而言是內力。由于內力不影響整體的運動，所以兩車整體的動量（即兩車動量的矢量和）在碰撞前后保持不變。

2.2.4　力的平移定理

如圖2.12所示，有一個力F作用在點A，另有一點B，離力F作用線的垂直距離為h。如果在點B加一對平衡力F′和F″［圖2.12（b）］，當然并不影響原有力F的作用效果。

如果我們使新加的一對平衡力的大小等于原有的那個力，即

那么這三個力變成一個力F′和一個力偶（F，F″）=M［圖2.12（c）］。此時，這個力F′與原力F相比，雖然大小和方向沒有變，但作用點從點A換成了點B，或者說作用線平移了一段距離h，而力線平移后所附加的力偶，其力偶矩M就等于原力F對新作用點B的力矩MB（F），即

這樣可以得出結論：力的作用線可以平動到任何地方，但需附加一個力偶，此附加力偶之矩等于原力對新作用點之矩。

如圖2.13所示，車輛偏心碰撞時，碰撞沖力P的作用線不通過質心C，垂直距離為h?，F將P的作用線平移通過質心C，變為作用在點C的一個力P′及一個附加力偶

這樣就等效于一個力P′和一個附加力偶M同時作用。經過Δt時間間隔，作用在質心C的力P′使車體平動到C1點，同時附加力偶使車體繞C1點轉動一個角度。這樣，車體一方面跟隨質心平動，同時繞質心相對轉動，兩者合成就成為車體在平坦路面上的平面運動。

2.2.5　動量矩定理與轉動方程

1. 動量矩

動量矩如圖2.14所示。

與力對點之矩定義式相對照，可以定義動量（mv）對O點之矩mO（mv）為

式中，h為動量（mv）離矩心O點的垂直距離；“+”“-”號代表兩種轉向，通常逆時針轉動取“+”號，順時針轉動取“-”號。

對于一個做定軸轉動的物體，如圖2.15所示，其上任意取一小塊質量為mi，其速度vi為

vi=riω

其方向一定垂直半徑ri，式中角速度ω對于物體上所有點都是一樣的。若把此物體分割成許許多多小塊，把所有小塊對轉動軸O的動量矩加起來就是此定軸轉動物體對轉軸O的動量矩

JO稱為此物體繞轉軸O的轉動慣量。轉動慣量是物體繞某軸轉動慣性的度量，它與質量具有同等重要的地位。質量m是物體平動慣性的度量，而轉動慣量JO是物體繞轉軸O轉動慣性的度量。

2. 動量矩定理

與動量定理相對應，將動量定理兩邊同時乘以到O點的垂直距離h，有

也就是說，動量矩對時間的一階導數等于力對同一點之矩，稱為動量矩定理。

3. 定軸轉動方程

對于繞定軸轉動的物體，將它分成很多小塊，每一塊應用動量矩定理并求和得

注意到角速度ω的一階導數為角加速度ε，得

這就是定軸轉動的轉動方程。它的內容是繞O軸的轉動慣量JO與轉動角加速度ε的乘積等于作用在其上的所有外力對轉軸O的力矩之和。

在交通事故分析中常常要用到轉動方程的積分形式。設碰撞前后的角速度分別為ω0和ω，碰撞時間為t，外力的碰撞沖量為Pi，那么對式（2-40）積分，有

式（2-41）左邊為碰撞前后轉動物體繞轉軸動量矩的變化，式（2-41）右邊為所有外力沖量Pi對轉軸的沖力矩。也就是說，定軸轉動物體在碰撞前后動量矩的變化等于所有外力的沖力矩之和，這是動量矩定理的積分形式，又稱沖力矩定理。

例2-2　某圓柱受轉矩T作用繞其中心軸加速轉動，已知圓柱重為G，半徑為r，試求圓柱轉動角加速度及時間t后的角速度。

解：根據轉動方程得

代入得角加速度