2.1　運動學原理

運動學研究物體在空間的位置隨時間變化的規律，主要研究的內容是物體的運動速度、位移、加速度之間的內在聯系等，其中，速度、位移和加速度均為矢量，不僅有大小，還需研究其方向。

2.1.1　基本概念

1. 位移s

位移用于描述質點的位置變動，用質點由初位置到末位置的有向線段來表示。位移為一矢量，其大小與路徑無關，方向由起點指向終點。

2. 速度v

速度用來衡量運動的快慢。假設行駛的位移為s，所用的時間為t，那么其平均速度為

平均速度［單位為米/秒（m/s）或千米/小時（km/h）］只能反映位移s范圍內運動的平均快慢，為了反映某時刻t運動的快慢，需要定義t時刻的速度為

式中，dt為時間t的微小增量（數學上稱為微分）；ds為與dt相應位移的微小增量；整個又稱位移s對時間t的一階導數。

3. 加速度a

加速度用來衡量物體運動速度變化的快慢。假設在t時間內，速度由零變化到v，那么其平均加速度為

平均加速度只表示整個t時間內速度變化的平均快慢。也可以定義某時刻t的瞬時加速度為

式中，dt為時間t的微小增量；dv為速度v的微小增量；為速度v對時間t的一階導數。

4. 動量P

動量是物體的質量和速度的乘積，是與物體的質量和速度相關的物理量，用于描述運動物體的作用效果。物體動量為矢量，其方向與速度的方向相同。

5. 沖量I

沖量是指力的作用對時間的積累效果，沖量等于力和作用時間的乘積。沖量的方向與作用力的方向相同。

當作用力F是變量時，則沖量為

式中，dt是一段無限小的時間。

沖量在作用過程中會導致物體運動的速度發生改變。物理學已經證明，物體所受到的沖量等于其動量的變化量，此即動量定理。

2.1.2　矢量合成定理

當物體做直線運動時，物體的速度、位移和加速度用正號表示向前，負號表示向后，公式中的矢量可以視為標量進行計算，均不會存在什么問題。但是，當物體運動的軌跡不是直線時，我們就必須借助矢量運算法則來進行計算。

物理學上將既有大小又有方向的量稱為矢量。矢量加減計算遵循平行四邊形法則或三角形法則。在二維平面條件下，速度必須用矢量表示，才能進行合成和分解。例如，甲某橫渡珠江（圖2.1），設珠江水面寬度為sr=400m，水流的速度為ve=1.5m/s，甲某從珠江岸邊A點出發垂直水流方向，游泳的速度為vr=2.0m/s，那么，甲某到達對岸的地點不是B點，而是下游的C點，B和C之間的距離se=300m。這是因為它相對河岸的運動速度va是由水流速度ve與相對速度vr用矢量合成的，其方向為AC方向，而不是AB方向。

現在以速度為例，說明矢量的合成法則。它可用帶箭頭的線段表示：線段的長度表示大小，箭頭表示方向。兩矢量的加減法需要按平行四邊形（或三角形）法則進行，而不是簡單地將兩個矢量的大小相加減。

矢量v1、v2的和為

如圖2.2所示，它可以表示為以v1、v2為邊的平行四邊形的對角線。根據余弦定理，合矢量R的大小為

合矢量R的方向可用β角表示，根據正弦定理得

可見，只要知道兩個分矢量v1、v2的大小（v1、v2）和方向（α角），就能畫出平行四邊形［圖2.2（a）］或三角形［圖2.2（b）、圖2.2（c）］，根據式（2-9）和式（2-10）求出合矢量R的大小（R）和方向（β角）。

2.1.3　質點直線運動

質點是為分析研究問題的方便將物體抽象化的結果，是在不考慮物體的外形與尺寸的情況下，將物體簡化成質量集中于質心的分析方法。質點的運動過程可分為直線運動和曲線運動。曲線運動還可以分為圓周運動、拋物線運動及高次曲線運動。更為復雜的運動是多種運動的合成。在一定條件下分析汽車運動時，也經常按這樣處理。

質點在勻速運動中，加速度a、速度v、經過時間t和位移s之間的內在聯系，可以用以下基本公式來表示。

利用上述公式，根據不同的初始條件，可以推導出質點做直線運動時的計算公式，如表2-1所示。

注：表中公式中的正、負號代表位移、速度、加速度的方向。

對于直線運動，用正、負號就可以完全描述出質點的運動方向；若是曲線運動，則必須用矢量來表示速度的大小和方向。

2.1.4　質點圓周運動

質點沿半徑為r的圓弧做勻速圓周運動時，速度的方向時刻在發生改變，即速度是改變的，因此，必然存在加速度。質點做圓周運動時一定存在向心力，即外力作用于物體質點上的合力指向做圓周運動的中心。

式中，F為物體做圓周運動的向心力；m為物體的質量；r為物體運動的彎道半徑；v為物體做圓周運動的速度。

2.1.5　質點拋物線運動

在交通事故分析中，常常遇到做拋物線運動的物體。例如，車輛碰撞時，撞碎的門、窗、燈罩等玻璃碎片及其他裝載物、散落物在車輛發生碰撞后被拋出，落地前的運動均屬拋物線運動；甚至整個汽車由于某種原因，沖出道路掉進山溝、駛出橋面等運動，均視為拋物線運動。分析此類事故形態，計算車輛行駛速度時，通常把裝載物、玻璃碎片及肇事汽車簡化成一個質點，當忽略空氣阻力等因素時，可以把該問題簡化成質點的拋物線運動，如圖2.3所示。

質點在水平方向投影的速度和垂直方向投影的速度分別為

質點由A點拋落到拋物線上B點時所花費的時間為

式中，v為質點被拋出的速度；θ為質點拋出時速度方向與水平方向的夾角；g為重力加速度。

當θ=0時，質點的運動為平拋運動。平拋運動可以分解成兩個運動：一個是水平直線運動；另一個是垂直方向上的勻加速運動。

如圖2.4所示，假設某物體M從A點沿水平線方向，以初速度v0向前拋出落到前方地面上B點，下落高度為h，其運動軌跡AMB就是一條拋物線，物體從A點落到B點的水平距離d與初速度v0及高度h的關系如下。

或

2.1.6　剛體的定軸轉動

定軸轉動簡稱轉動，是指物體上有一根軸線固定不動，其他部分圍繞軸線轉動。為了描述物體的轉動，垂直于轉軸取一個截面，如圖2.5所示，此截面代表轉動的物體，該截面與轉軸的交點O代表固定的轉軸。然后在截面上取一條直線OM，由它代表截面的運動。假設開始時直線OM位于x軸位置，經過t時間轉過θ角到達圖2.5所示位置，轉過的θ角稱為角位移，用角位移除以所花的時間t表示轉動的平均快慢，稱為平均角速度，即

若將時間取為微小增量dt，轉過角度也是微小增量dθ，則此時的比值就是瞬時角速度ω，即

數學上稱角速度ω是角位移θ（或角坐標）對時間t的一階導數。

如果剛體不是做勻速轉動，即在轉動過程中角速度ω有變化，將角速度ω對時間t取一階導數，稱為角加速度ε。它描述剛體角速度變化的快慢，即

對比平動和轉動中的物理量，不難發現，角加速度ε與加速度α對應，角速度ω與速度v對應，角位移θ與位移s對應。那么勻變速運動的三個基本公式對勻變速轉動同樣適用，即有

2.1.7　剛體的平面運動

任何物體的平面運動都可分解為兩種較簡單、較基本的運動——平動和轉動。其中，平動是指該物體在運動過程中始終保持其方位不變，其上各點的軌跡、速度、加速度都一樣，只要選擇質心為代表，物體的平動即可抽象為質點的運動。

汽車在道路上行駛時，汽車存在向前移動的速度，輪胎也以同樣的速度向前移動，但是汽車實際前進的速度是輪胎向前滾動的結果，那么輪胎的轉速必然與汽車的移動速度有關。下面分析輪胎的運動過程。

輪胎的運動過程是由兩個運動狀態合成的：一個是輪胎向前的平動；另一個是輪胎的轉動。如圖2.6所示，輪胎上任何一點相對于地面的速度都是由輪胎的平移速度與該點的線速度的矢量合成的。

1. 平面運動速度分析的合成法

如圖2.6所示，輪胎的平面運動分解為隨輪心O的牽連平動和繞輪心O的相對轉動兩部分，那么輪胎上任一點A的速度vA也就由牽連平動速度vO與繞輪心O相對轉動速度vAO兩部分加起來，即

這一矢量公式建立了平面運動物體上任意兩點A與O速度之間的關系。等式左邊vA為合速度，等式右邊兩項為分速度，其中vO為任一基點O的牽連速度，vAO為A點繞O點的相對轉動速度，有。

其方向垂直連線，即沿圓周切向，指向ω轉向一方。根據矢量合成平行四邊形或三角形法則，即過A點畫牽連速度vO的平行線及相對轉動速度vAO，并以這兩個分矢量為邊作平行四邊形，其對角線就是合矢量vA。

2. 平面運動速度分析的瞬心法

應用合成法［式（2-23）］計算平面運動物體上任意一點的速度時，利用余弦定理計算求解，不甚方便，需要用矢量合成。實際上物體在做平面運動時，可以視為物體在某一時刻，繞某已確定點P做圓周運動，該確定點P即物體運動的速度瞬心，其速度為0。

vP=0

于是有

這時，任意一點A的速度直接等于它繞P點相對轉動的速度，沒有矢量合成問題。現在仍以輪胎為例，如圖2.7所示，假定輪胎在路面上只滾動不滑動，那么輪胎著地點P的速度一定等于零，它就是圖示瞬時的速度瞬心P，此瞬時車輪上各點速度都只有繞P點相對轉動的速度，該時刻輪胎上任意一點A的運動均視為繞P點的轉動，A點的速度為

vA=vAP

其大小，方向垂直AP連線，指向轉動一方。又如，B點的速度為

vB=vBP

其大小，方向垂直BP連線，指向轉動一方。再如，輪心O的速度為

vO=vOP

其大小為

反過來，已知輪心的速度vO，可求出輪胎轉動的角速度為

可見，知道了任一瞬時速度等于零的P點，那么，該瞬時平面運動物體上各點的速度直接等于它們繞P點轉動的相對速度，各點的速度分布以P點為中心，按線性分布，距離P點越遠，速度越大，故稱P點為速度瞬心。速度的這種分布與定軸轉動速度分布一樣，因此速度瞬心又稱瞬時轉動中心。輪胎在滾動過程中不同時刻著地點位置不同，輪胎速度瞬心的位置也是不斷變化的，這是因為速度等于零的P點各個瞬時是不同的。例如，如圖2.7所示，在輪胎只滾動而不滑動的條件下，該瞬時著地點P速度為0，P是該瞬時的速度瞬心。但到下一瞬時，著地點變為P1點，P1點是下一瞬時的速度瞬心，可見每一瞬時都有各自的速度瞬心，而整個平面運動的運動過程，就是連續地繞每一瞬時的速度瞬心做轉動的結果。

3. 輪胎角加速度與輪心加速度的關系

如圖2.8所示，輪胎在固定路面上只滾動而不滑動時，輪胎著地點P為速度瞬心，輪胎角速度與輪心速度的關系為

兩邊對時間求導數得到