Ⅱ
期權(quán)的定價(jià)以及期權(quán)中的Greeks含義（5課時(shí)）

第6課　二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型

前面我們解釋了期權(quán)的基本概念和定義，以及期權(quán)的價(jià)值。接下來(lái)我們來(lái)談?wù)勂跈?quán)的定價(jià)，期權(quán)的定價(jià)方法有很多，我們這里主要對(duì)二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型和Black-Scholes Model（B-S）期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行講解。這一課主要講一下二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型。

在1979年，二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型（Binomial options pricing model, SCRR Model, BOPM）是由考克斯（J.C.Cox）、羅斯（S.A.Ross）、魯賓斯坦（M.Rubinstein）和夏普（Sharpe）等人提出的一種期權(quán)定價(jià)模型，稱為二項(xiàng)式模型（Binomial Model）或二叉樹(shù)法（Binomial tree），主要用于計(jì)算美式期權(quán)的價(jià)值。

這種模型比起B(yǎng)SModel更容易理解，因?yàn)槎?xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型有幾個(gè)前提假設(shè)：即在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，證券的價(jià)格運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)可能的方向：上漲或者下跌；股價(jià)每次向上（或向下）波動(dòng)幅度不變。根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率模擬出正股在整個(gè)存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑，并對(duì)每一路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算期權(quán)行權(quán)收益和用貼現(xiàn)法計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格。

隨著要考慮的價(jià)格變動(dòng)數(shù)目的增加，二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型的分布函數(shù)就越來(lái)越趨向于正態(tài)分布，二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型和布萊克—休爾斯期權(quán)定價(jià)模型相一致。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)，是簡(jiǎn)化了期權(quán)定價(jià)的計(jì)算并增加了直觀性，而且這個(gè)模型描述了在一段時(shí)間內(nèi)證券價(jià)格的變化，而不是某一時(shí)間。二項(xiàng)期權(quán)主要應(yīng)用于像美式期權(quán)這樣，可以在到期日前任何時(shí)間點(diǎn)都可以行權(quán)的期權(quán)。盡管計(jì)算起來(lái)二項(xiàng)式期權(quán)要比B-S模型要慢一些，但是在一些到期時(shí)間長(zhǎng)，而且還有分紅的證券來(lái)說(shuō)，二項(xiàng)式期權(quán)計(jì)算的證券價(jià)格要更準(zhǔn)確一些。因此，二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模式現(xiàn)在已成為全世界各大證券交易所的主要定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一。下面我們來(lái)舉例說(shuō)明二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型具體是怎么計(jì)算和操作的。

首先來(lái)看一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，假設(shè)蘋(píng)果（AAPL）股票的價(jià)格為100美元，在一年后股票的價(jià)格有可能變成110美元，也有可能變成90美元。下一步，假設(shè)存在一個(gè)蘋(píng)果的看漲期權(quán)，行權(quán)價(jià)格100美元，到期日一年。上面例子中，蘋(píng)果價(jià)格漲到110美元，這個(gè)看漲期權(quán)值10美元，蘋(píng)果股票價(jià)格跌到90美元，看漲期權(quán)價(jià)格為0美元。然后可以根據(jù)這個(gè)將期權(quán)價(jià)格折現(xiàn)到今天，就可以算出期權(quán)現(xiàn)在的價(jià)格。假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為3%，股票上漲概率為60%，下跌概率就是40%（見(jiàn)圖6-1）。

看漲期權(quán)價(jià)格=（10×60%+0×40%）/（1+3%）=5.82美元。如果需要精確計(jì)算折現(xiàn)的話，可以用e-r?t代替分母，r就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，t是時(shí)間，e是常數(shù)約為2.71828。如果是多個(gè)區(qū)間的或者時(shí)間段的話就需要多步驟二項(xiàng)期權(quán)計(jì)算方式，如圖6-2所示：

S₀——證券現(xiàn)價(jià)

n——時(shí)間，如n=1，第一個(gè)時(shí)間段。

p——股票價(jià)格向上波動(dòng)的概率。

u——證券可能上漲波動(dòng)的倍率。

d——證券可能下降波動(dòng)的倍率。

σ——標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率。

期權(quán)價(jià)值=［p×Option up+（1-p）×Option down］×exp (-r×Δt)

或者C_t-Δt, i=e^-rΔt (pC_{t, i+1}+(1-p) C’_{v, i-1})

這里只是舉了一個(gè)簡(jiǎn)單的一步計(jì)算的例子，主要為了大家能夠更好地理解用二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型是如何計(jì)算期權(quán)價(jià)格的。更復(fù)雜的例子就不在這里一一列舉了。

二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型BOPM的定價(jià)依據(jù)是在期權(quán)在第一次買(mǎi)進(jìn)時(shí)，能建立起一個(gè)零風(fēng)險(xiǎn)套頭交易（又叫對(duì)沖），或者說(shuō)可以使用一個(gè)證券組合來(lái)模擬期權(quán)的價(jià)值，該證券組合在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)時(shí)應(yīng)等于買(mǎi)權(quán)的價(jià)格；反之，如果存在套利機(jī)會(huì)，投資者則可以買(mǎi)兩種產(chǎn)品中價(jià)格便宜者，賣(mài)出價(jià)格較高者，從而獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，當(dāng)然這種套利機(jī)會(huì)只會(huì)在極短的時(shí)間里存在。期權(quán)還有另外一種定價(jià)模型，我們會(huì)在接下來(lái)的課程中學(xué)習(xí)。