Ⅱ
期權的定價以及期權中的Greeks含義（5課時）

第6課　二項期權定價模型

前面我們解釋了期權的基本概念和定義，以及期權的價值。接下來我們來談談期權的定價，期權的定價方法有很多，我們這里主要對二項期權定價模型和Black-Scholes Model（B-S）期權定價模型進行講解。這一課主要講一下二項期權定價模型。

在1979年，二項期權定價模型（Binomial options pricing model, SCRR Model, BOPM）是由考克斯（J.C.Cox）、羅斯（S.A.Ross）、魯賓斯坦（M.Rubinstein）和夏普（Sharpe）等人提出的一種期權定價模型，稱為二項式模型（Binomial Model）或二叉樹法（Binomial tree），主要用于計算美式期權的價值。

這種模型比起BSModel更容易理解，因為二項式期權定價模型有幾個前提假設：即在給定的時間間隔內，證券的價格運動有兩個可能的方向：上漲或者下跌；股價每次向上（或向下）波動幅度不變。根據股價的歷史波動率模擬出正股在整個存續期內所有可能的發展路徑，并對每一路徑上的每一節點計算期權行權收益和用貼現法計算出的期權價格。

隨著要考慮的價格變動數目的增加，二項式期權定價模型的分布函數就越來越趨向于正態分布，二項式期權定價模型和布萊克—休爾斯期權定價模型相一致。二項式期權定價模型的優點，是簡化了期權定價的計算并增加了直觀性，而且這個模型描述了在一段時間內證券價格的變化，而不是某一時間。二項期權主要應用于像美式期權這樣，可以在到期日前任何時間點都可以行權的期權。盡管計算起來二項式期權要比B-S模型要慢一些，但是在一些到期時間長，而且還有分紅的證券來說，二項式期權計算的證券價格要更準確一些。因此，二項期權定價模式現在已成為全世界各大證券交易所的主要定價標準之一。下面我們來舉例說明二項期權定價模型具體是怎么計算和操作的。

首先來看一個最簡單的例子，假設蘋果（AAPL）股票的價格為100美元，在一年后股票的價格有可能變成110美元，也有可能變成90美元。下一步，假設存在一個蘋果的看漲期權，行權價格100美元，到期日一年。上面例子中，蘋果價格漲到110美元，這個看漲期權值10美元，蘋果股票價格跌到90美元，看漲期權價格為0美元。然后可以根據這個將期權價格折現到今天，就可以算出期權現在的價格。假設無風險利率為3%，股票上漲概率為60%，下跌概率就是40%（見圖6-1）。

看漲期權價格=（10×60%+0×40%）/（1+3%）=5.82美元。如果需要精確計算折現的話，可以用e-r?t代替分母，r就是無風險利率，t是時間，e是常數約為2.71828。如果是多個區間的或者時間段的話就需要多步驟二項期權計算方式，如圖6-2所示：

S₀——證券現價

n——時間，如n=1，第一個時間段。

p——股票價格向上波動的概率。

u——證券可能上漲波動的倍率。

d——證券可能下降波動的倍率。

σ——標的資產價格的波動率。

期權價值=［p×Option up+（1-p）×Option down］×exp (-r×Δt)

或者C_t-Δt, i=e^-rΔt (pC_{t, i+1}+(1-p) C’_{v, i-1})

這里只是舉了一個簡單的一步計算的例子，主要為了大家能夠更好地理解用二項期權定價模型是如何計算期權價格的。更復雜的例子就不在這里一一列舉了。

二項期權定價模型BOPM的定價依據是在期權在第一次買進時，能建立起一個零風險套頭交易（又叫對沖），或者說可以使用一個證券組合來模擬期權的價值，該證券組合在沒有套利機會時應等于買權的價格；反之，如果存在套利機會，投資者則可以買兩種產品中價格便宜者，賣出價格較高者，從而獲得無風險收益，當然這種套利機會只會在極短的時間里存在。期權還有另外一種定價模型，我們會在接下來的課程中學習。