第7課　布萊克-舒爾茲模型定價模型（Black-Scholes model）

自從1973年，被三位名聲顯赫的經濟學家——Fischer Black, Myron Scholes，和Robert Merton提出，布萊克-舒爾茲期權定價模型（Black-Scholes model，以下簡稱BS model）就成為世界上最有名的以及被廣泛認可的期權定價模型。給定幾個參數數值，通過帶入一個漂亮的公式，便能得到歐式期權的價格。當然，在衍生品高度發展的今天，對于全球范圍內來講，期權定價公也不是可以包打天下的。因為需要具備一定的假設條件等原因，模型存在一些問題，模型價格也并不能讓你在真實市場交易時做出直接判斷。但是作為現代期權定價理論的基礎，衍生品投資者了解BS model依然是有著極其必要的價值的。

模型假設的幾個條件。

（1）期權是歐式期權，即在到期前不能被提前行權。

（2）標的資產價格服從對數正態分布（lognormal distribution），即標的資產的收益率服從正態分布。

（3）期權有效期內并不存在分紅（dividend）。

（4）期權有效期內，無風險利率和標的資產的波動率（volatility，其實也就是標準差）是已知而且恒定的。

（5）不存在交易成本以及稅收成本。

（6）市場為有效市場。即標的資產價格的波動符合隨機漫步。T+1時刻的價格和T時刻的價格獨立。

（7）市場具有充分流動性。任何數量的股票和期權都可以即時成交。

BS模型的推導需要一些高等數學知識，所以也就不花很長的篇幅在這里和大家科普一些高等數學知識了。下面先直接引出公式并解釋里面的參數。是對于沒有紅利派發的標的資產的歐式看漲期權來講的：

根據之前課程里已經講過的期權平價關系（put-call parity），相應的看跌期權的價格為

N（x）為標準正態分布（standard normal distribution）的累積分布函數（cumulative distribution function）。

S_t——標的資產的現價；

K——行權價格；

T-t ——離到期日的時間；

r——無風險利率（年化）；

σ——標的資產收益率的波動率，也就是收益率的標準差，此處波動率也為年化。

上述公式里的參數比較多，大家可能對參數的代入還有點疑惑，下面用一個實例來更好的解釋BS model公式的應用。

假設標的ABC的現價為62美元，行權價K為60美元，到期日為40天，無風險年化利率是4%，收益率波動率為32%。所以有

S_t=62；

K=60；

T-t=40/365（因為公式里r和波動率均為年化，所以到期時間的天數需要轉化成年的比例）；

σ=32%；

r-4%；

d₁=1/(0.32×(40/365)^ (1/2))×｛ln (62/60)+［0.04+0.5×(0.32)^2］×(40/365)｝；

所以d₁=0.404≈0.4

d₂=0.404-0.32×（40/365）^（1/2）=0.298≈0.3。

根據正態分布的分布函數表可以得到N (0.4)=0.655 4, N (0.3)=0.617 9。

于是代入公式可以得到

C=62×0.655 4-60×e^（-0.04×40/365）×0.6179=3.72。

知道了歐式call的價格，代入期權平價公式，就可得到Put價格為p=1.46。

到這里，相信讀者已經可以通過給定的參數值根據BS model計算出歐式看漲期權和看跌期權的理論值。如果理論值是精確的，那么應用是顯然的。通過之前內容中所說的買入低估的期權，賣出高估的期權，等待到期即可收獲無風險利潤。于是讀者很自然想到通過BS Model計算出的期權價值到底是不是準確的。任何一個定價模型都存在兩種風險，第一是交易的人輸入了錯誤的參數，第二則是模型本身是不是有問題或者所依賴的假設條件完全不可能在現實世界得到滿足。在BS模型里除了波動率之外的參數都是明確清楚可以通過市場數據直接確認的，波動率是唯一不確定的變量，所以在公式里又顯得尤為重要。那么考慮BS模型里的假設條件，其實每一項都難以被滿足。所有的交易市場現實中都不具備絕對的流動性，尤其對于期貨市場，很大數量的合約被買進或是賣空會對市場產生影響。無風險利率也因為央行的調節而可能隨時產生波動。波動率更是因為市場以及對應標的突發事件的發生而可能產生變化。所以說，能夠完美捕捉金融市場所有特征的模型基本上是不存在的。雖然模型具備這些弱點，但是大部分有經驗的衍生品交易員依然覺得通過某種方法參考定價模型要比完全沒有任何模型好的多。這是他們思考的一個框架。在已知BS模型缺點的情況下，模型給出來的結果是具有參考意義的。另外需要注意得是BS只是作為定價模型，而不能作為衡量風險的標準。

通過BS模型，讀者已經能清楚地看到歐式期權的價格由哪些因素決定，能知道波動率在公式里尤其重要，因為它是唯一一個不能通過直接觀察市場得到的變量。在之后的內容里會對各種波動率做詳細討論。而且也會通過各種復雜的期權組合向讀者展示如何在可控風險下盡量提高實現盈利的幾率。