考點3　初等數學模塊

一、余數問題

基本關系式：被除數÷除數=商……余數（0≤余數<除數）

同余問題：當幾個數除以同一個正整數m，所得余數相同，這幾個數稱為同余，并且這幾個數兩兩做差得到的數能被m整除。

小試牛刀　1.三位數的自然數N滿足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，則符合條件的自然數N有幾個？（　）

A.8　B.9　C.15　D.16

【解析】C 本題屬于同余問題。這個數減去3后是4、5、6的公倍數。最小公倍數是60，則符合條件的N 有123、183、243、303、363、423、483、543、603、663、723、783、843、903、963，共計15個。故選C。

2.一個班的學生排隊，如果排成3人一排的隊列，則比2人一排的隊列少8排;如果排成4人一排的隊列，則比3人一排的隊列少5排。這個班的學生如果按5人一排來排隊的話，隊列有多少排？（　）

A.12　B.11　C.10　D.9

【解析】B 本題屬于余數問題。設3人一排時共有X排，則3X=2（X+8），解得X=16，這時總人數為48。代入第二個條件檢驗，不滿足。說明每一排不一定排滿。且總人數應在48附近，檢驗知45、47、48、49、50、52符合第一個條件。代入第二個條件，只有52滿足。所以該班有52人，按5人排應排11排。故選B。

二、約數倍數問題

如果a：b=m：n（m與n互為質數），則a是m 的倍數；b是n的倍數。a+b是m+n的倍數。

解題思路：根據數字的某種特性——約數或倍數關系，不直接求出結果，而能夠直接鎖定答案。

小試牛刀　1.有100個編號為1—100的罐子，第一個人在所有的編號為1的倍數的罐子中倒入1毫升水，第2個人在所有編號為2的倍數的罐子中倒入1毫升水……最后第100個人在所有編號為100的倍數的罐子中倒入1毫升水。問此時第92號罐子中裝了多少毫升水？（　）

A.2　B.6　C.46　D.92

【解析】B 約數問題。92可以寫為2×2×23，所以92的約數有2、4、23、46，加上1和92本身，共計6個。所以92號罐子共灌了6次水。故選B。

2.有甲、乙、丙三輛公交車于上午8：00同時從公交總站出發，三輛車再次回到公交總站所用的時間分別為40分鐘、25分鐘和50分鐘，假設這三輛公交車中途不休息，請問它們下次同時到達公交總站將會幾點？（　）

A.11點整　B.11點20分　C.11點40分　D.12點整

【解析】B 本題屬于公倍數問題。第一次出發到下次同時到站間隔時間應該為40、25、50的最小公倍數200分鐘，即3小時20分鐘后，那時的時間為11點20分。故選B。

三、等差數列問題

等差數列求和公式：和=（首項+末項）×項數÷2=平均數×項數=中位數×項數。

等差數列項數公式：項數=（末項-首項）÷公差+1。

小試牛刀　1.五個連續的自然數，前三個數的和是120，那么后三個數的和是（　）。

A.124　B.126　C.179　D.131

【解析】B 等差數列問題。設這五個連續的自然數分別為a1，a2，a3，a4，a5（因為是連續的自然數，此數列為等差數列，公差d=1）。由題干可知a1+a2+a3=120，解得a1=39，所以a3+a4+a5=126。故選B。

2.某階梯教室共有20排座位，已知每排比前一排多2個座位，又知最后一排共有48個座位，則該教室共有多少個座位？（　）

A.480　B.580　C.620　D.630

【解析】B 本題屬于等差數列問題。末項為48，公差為2，項數為20的等差數列。首項為48-2×（20-1）=10，和為。故選B。

四、日期問題

星期日期問題是研究星期、日期間關系的問題。解題重點要學會判斷大小月份、平年、閏年。

平年：年份不能被4整除，365天，2月28天。閏年：年份可以被4整除，366天，2月29天。

大月：一、三、五、七、八、十、十二月，每月31天。小月：四、六、九、十一月，每月30天。

小試牛刀　1.根據國務院辦公廳部分節假日安排的通知，某年8月份有22個工作日，那么當年的8月1日可能是（　）。

A.周一或周三　B.周三或周日　C.周一或周四　D.周四或周日

【解析】D 日期問題。因8月有31天，而工作日為22天，則休息日為9天。因周六、周日兩天是在一起的，而最終休息日為單數，因此要么本月第一天為周日，要么本月最后一天（8月31日）為周六，即8月1日可能是周四，也可能是周日。故選D。

2.某年份的2月有五個星期天，請問下一年的五一勞動節是星期幾？（　）

A.星期一　B.星期二　C.星期三　D.星期四

E.星期五　F.星期六　G.星期天　H.無法計算

【解析】G 日期問題。2月有五個星期天，說明2月的月初和月末都是周日，因此這個2月有29天，即3月1日為周一，且這年為閏年。從3月1日至5月1日有62天，62÷7=8…6，因此5月1日為周六。下一年為平年，根據“逢平年星期加1天”，知下一年的5月1日為周日。故選G。

五、周期問題

某一列數字或某一種規律按照一定的規律不斷重復出現，這種規律性問題就是周期問題。

周期問題解題思路：若一串事物以T為周期，且那么第A項等同于第a項。

小試牛刀　1.十幾個小朋友圍成一圈，按順時針方向一圈一圈地循環報數。如果報1和報100的是同一人，那么共有多少個小朋友？（　）

A.10　B.11　C.13　D.15

【解析】B 周期問題。代入法，100÷11=9……1，符合題意。故選B。

2.30個人圍坐在一起輪流表演節目，他們按順序從1到3依次不重復地報數，數到3的人出來表演節目，并且表演過的人不再參加報數，那么在僅剩一個人沒有表演過節目的時候，共報數多少人次？（　）

A.77　B.57　C.117　D.87

【解析】D 考查周期問題。僅剩余1個人沒有表演節目，即已經有29人表演過節目，每3人次報數中有1人會表演節目，29人表演過節目需要報數29×3=87人次。故選D。