考點4　方程問題模塊

一、基本方程問題

方程問題既是一種題型，也是一種解題思路。即將題目所求設(shè)為未知量，根據(jù)題目的等量關(guān)系列出方程來求解未知量的方法。

方程法廣泛適用于數(shù)學(xué)運算各種題型：工程問題、行程問題、經(jīng)濟利潤問題、濃度問題等等。

小試牛刀　1.2010年某種貨物的進口價格是15元/公斤，2011年該貨物的進口量增加了一半，進口金額增加了20%。問2011年該貨物的進口價格是多少元/公斤？（　）

A.10　B.12　C.18　D.24

【解析】B 基本方程問題。設(shè)2010年進口量為A公斤，則2011年進口量為1.5A公斤。設(shè)2011年進口單價為每公斤X元。列方程為：15A×1.2=1.5A×X。解得：X=12。故選B。

2.某商場有7箱餅干，每箱裝的包數(shù)相同，如果從每箱里拿出25包餅干，那么，7個箱子里剩下的餅干包數(shù)相當于原來的2箱餅干，原來每箱餅干有多少包？（　）

A.25　B.30　C.50　D.35

【解析】D 基本方程問題。解法一：設(shè)原來每箱餅干有x包，有：7（x-25）=2x，解得x=35。解法二：7箱餅干，每箱中拿出25包后剩下的總數(shù)為2包，所以拿走的25×7是5包的數(shù)量。即原來每包數(shù)量為25×7÷5= 35。故選D。

二、不定方程問題

不定方程指的是：未知項的個數(shù)大于方程的個數(shù)的一類方程或方程組。其中的部分未知項受到某種限制條件。在公務(wù)員考試行測試卷中的數(shù)量關(guān)系模塊常常出現(xiàn)的一類題型就是：不定方程問題。

在數(shù)學(xué)運算中求解不定方程難度比較低，因為有選項做支撐。若答案中沒有無解一項，說明一定有解，直接根據(jù)限制條件代入符合條件的選項，成立則一定為正確答案。所以結(jié)合選項進行計算求解是不定方程的解題根本。不定方程常用方法有：條件估算法、代入排除法、同余法等。

解題思路：首先設(shè)未知數(shù)，列方程，然后利用限制條件求解。

小試牛刀　1.去超市購物，如果買9件A商品、5件B商品、1件C商品，一共需要98元。如果買13件A商品、7件B商品、1件C商品，一共需要126元。若A、B、C三種商品各買2件，共需要多少元？（　）

A.76　B.84　C.98　D.108

【解析】B不定方程。假設(shè)A、B、C三種商品分別為x、y、z元，則有：9x+5y+z=98……（1），13x+7y+z= 126……（2），（2）減去（1）得2x+y=14，將它代入（2）式并化簡可得x+y+z=42；因此，A、B、C三種商品各買2件，共需要84元。故選B。

2.房間里凳子和椅子若干個，每個凳子有3條腿，每把椅子有4條腿，當它們?nèi)蝗俗虾螅灿?3條腿（包含每個人的兩條腿），那么房間里面的人數(shù)為（　）。

A.6　B.8　C.9　D.10

【解析】B不定方程。假設(shè)凳子用了x個，椅子用了y個，則有：3x+4y+2×（x+y）=43，化簡得5x+6y= 43，若5x的尾數(shù)為0，則5x+6y的尾數(shù)為偶數(shù)，與實際不符，故5x的尾數(shù)只能為5，可推出6y的尾數(shù)為8，則y可取值3，此時x取值為5，符合題意；因此，房間里面的人數(shù)為8。故選B。

三、利息利潤問題

利息問題：利息=本金×利率×存期×（1-利息稅）；本息=本金+利息。

利潤問題基本概念：成本、定價、折扣、售價、利潤、利潤率。

利潤=售價-成本；售價=定價×折扣；利潤率

解題思路：方程法、代入法、十字交叉法。

小試牛刀　1.某服裝如果降價200元之后再打8折出售，則每件虧50元。如果直接按6折出售，則不賺不虧。如果銷售該服裝想要獲得100%的利潤，需要在原價的基礎(chǔ)上加價多少元？（　）

A.90　B.110　C.130　D.150

【解析】B 利潤問題。設(shè)原售價是X，成本是Y。根據(jù)題目條件可列如下方程組：Y-0.8（X-200）=50，0.6X=Y，解得X=550，Y=330。如果按照想要獲利100%來定售價，則現(xiàn)售價應(yīng)該是660元，高出原售價110元。故選B。

2.一廠家生產(chǎn)銷售某新型節(jié)能產(chǎn)品。產(chǎn)品生產(chǎn)成本是168元，銷售定價為238元。一位買家向該廠家預(yù)定了120件產(chǎn)品，并提出產(chǎn)品銷售價每降低2元，就多訂購8件。則該廠家在這筆交易中能獲得的最大利潤是（　）元。

A.17920　B.13920　C.10000　D.8400

【解析】C 經(jīng)濟利潤問題。設(shè)降價2x元，利潤為（120+8x）×（70-2x）=8400+320x-16x2，當x=10時，能夠獲得最大利潤為10000元。故選C。

四、植樹問題

植樹問題主要考查總長度、間距、段數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系。鋸木頭、上下樓梯、剪繩問題等都屬于植樹問題的變形。

1.非封閉線的兩端都有“點”時：“點數(shù)”=“段數(shù)”+1

2.非封閉線只有一端有“點”時：“點數(shù)”=“段數(shù)”。

3.非封閉線的兩端都沒有“點”時：“點數(shù)”=“段數(shù)”-1。

4.封閉線上，“點數(shù)”=“段數(shù)”。

小試牛刀　1.有一條新修的道路，現(xiàn)在需要在該道路的兩邊植樹，已知路長為5052米，如果每隔6米植一棵樹，那么一共需要植多少棵樹？（　）

A.1646　B.1648　C.1686　D.1628

【解析】C 本題屬于植樹問題。根據(jù)不封閉兩邊植樹理論可知，一共需要植樹2×（5052÷6+1）=1686棵。故選C。

2.某條道路的一側(cè)種植了25棵楊樹，其中道路兩端各種有一棵，且所有相鄰的樹距離相等。現(xiàn)在需要增種10棵樹，且通過移動一部分樹（不含首尾兩棵）使所有相鄰的樹距離相等，則這25棵樹中有多少棵不需要移動位置？（　）

A.3　B.4　C.5　D.6

【解析】A 考查植樹問題。單邊線型植樹，樹比間隔多1，所以25棵樹有24個間隔，35棵樹有34個間隔。總長設(shè)為24和34的最小公倍數(shù)408米，則原來每隔17米種一棵，現(xiàn)在每隔12米種一棵，所以在204米（17和12的最小公倍數(shù)）處正好重合，加上首尾的2棵，總共是3棵。故選A。

剪繩問題的公式：繩子對折N次，從中剪M刀，繩子被剪成了2N×M+1段。

小試牛刀　一根繩子對折三次后，從中間剪斷，共剪成（　）段繩子。

A.9　B.6　C.5　D.3

【解析】A 植樹問題的變形。繩子對折三次，共有8層，從中剪斷，有8個斷點，繩子被分成9段。故選A。

五、方陣問題

方陣問題主要考查總?cè)藬?shù)、每邊人數(shù)、邊數(shù)之間相互關(guān)系。方陣問題通常可分為空心方陣和實心方陣。

1.實心方陣人數(shù)=N2（N為方陣最外層每邊人數(shù)）；

2.方陣相鄰兩層，外層人數(shù)比內(nèi)層人數(shù)多8；

3.方陣最外層人數(shù)=4（N-1）=4N-4。

解題思路：實心方陣總?cè)藬?shù)為完全平方數(shù)，空心方陣總?cè)藬?shù)利用等差數(shù)列求和公式求解。

小試牛刀　1.某學(xué)校的全體學(xué)生剛好排成一個方陣，最外層人數(shù)是108人。則這個學(xué)校共有多少名學(xué)生？（　）

A.724人　B.744人　C.764人　D.784人

【解析】D 實心方陣問題。設(shè)最外層每邊人數(shù)為N，根據(jù)方陣最外層人數(shù)公式有：4N-4=108，解得N= 28。實心方陣的總?cè)藬?shù)等于N2=784。故選D。

2.小雨把平時節(jié)省下來的全部一角的硬幣先圍成一個正三角形。正好用完。后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少五枚硬幣，那小雨所用的一角硬幣合起來有多少元？（　）

A.3元　B.5元　C.4元　D.6元

【解析】D 空心方陣問題。設(shè)圍成一個正方形時，每邊有硬幣X枚，此時硬幣總數(shù)為4（X-1），當變成三角形時，硬幣總數(shù)為3（X+5-1），由此可得4（X-1）=3（X+5-1），解得X=16，硬幣總數(shù)為60枚。故選D。

六、牛吃草問題

牛吃草問題主要考查總量按照一定速度（遞增或遞減）變化的情況下，效率與時間的關(guān)系。牛吃草問題的關(guān)鍵在于：牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長。

核心公式：草場原有草量=（牛數(shù)-每天草長量）×天數(shù)。

解題思路：先求出每天草長量；再求出牧場原有草量；然后求出每天實際消耗原有草量；最后求出可吃的天數(shù)。

小試牛刀　1.一塊草地，每天草的生長速度相同。現(xiàn)在這塊草地可以供5頭牛吃12天，或供25頭羊吃8天。已知一頭牛一天的吃草量是一頭羊的4倍，現(xiàn)有5頭牛和10頭羊一起吃這片草，問這塊夠吃幾天？（　）

A.3　B.4　C.6　D.8

【解析】C 典型的牛吃草問題。設(shè)草長速度可供x頭羊吃一天，根據(jù)題目條件代入公式得：（20-x）×12= （25-x）×8，解得x=10，原有草量為120。可供5頭牛和10頭羊吃120÷（20+10-10）=6天。故選C。

2.一口水井，在不滲水的情況下，甲抽水機用4小時可將水抽完，乙抽水機用6小時可將水抽完。現(xiàn)用甲、乙兩臺抽水機同時抽水，但由于滲水，結(jié)果用了3小時才將水抽完。問在滲水的情況下，用乙抽水機單獨抽，需幾小時抽完？（　）

A.12小時　B.13小時　C.14小時　D.15小時

【解析】A 牛吃草問題。設(shè)水井原儲水量為12，甲抽水機的效率為3，乙抽水機的效率為2。經(jīng)過3小時甲乙同時抽水（3+2）×3=15。所以這3小時中每小時滲水量為1。單用乙抽水機需要12÷（2-1）=12小時。故選A。