運籌之學，蘭德計劃的數學基因

約翰·威廉姆斯體態肥胖、態度和藹，同時有點性情古怪。他的個性后來成為“蘭德人”（RANDite）的標簽：熱愛物質享受，致力于抽象理論研究，絕對的自以為是，喜歡用超道德（amoral）的方法來處理政治和政策問題。[9]11 [10]21他原本學的是理論天文學，后來跑到普林斯頓大學改學數學，不過由于戰爭原因，沒能拿到學位。戰爭期間，威廉姆斯主要在沃倫·韋弗（Warren Weaver）領導的國防研究委員會應用數學研究組（AMP）里工作，試圖用運籌學（OR）方法解決戰場上的實際問題。[5]80, 122 [63]95

“運籌學”是在第二次世界大戰期間興起的一種數學方法。它最初的主要倡導者是英國物理學家、1948年諾貝爾物理學獎獲得者布萊克特（Patrick M. S. Blackett）。[7]171-172 [64]

大西洋上橫行的德軍潛艇是丘吉爾首相的一塊心病。他身邊有些人，幻想著能搞出一些新奇的裝置解決這個難題。一次，有人給他“貢獻”了一個“奇思妙想”：把磁鐵和光源或者自燃氣體裝在一起，讓飛機或者驅逐艦大量拋灑這種東西，說一旦它們貼上德軍潛艇就會發光或者燃燒，英軍便能發現和摧毀這些潛艇。這種設計，肯定是閉門造車的結果。丘吉爾回信說，這個主意實在離譜。如果飛機和驅逐艦已經如此接近敵方潛艇，那么投擲炸彈或者深水炸彈肯定會更加有效。對此，布萊克特評論說：科學家應該先把手中已有的工具用好，而不是急著去發明新的工具。英國人“在生產新設備上投入了太多的科研力量，在如何恰當地使用已有設備上，則投入太少。”[65]140-141

1941年3月，布萊克特帶著助手伊萬·威廉姆斯（Evan J. Williams）等人到英國海軍海岸司令部蹲點調研。他們發現，英軍飛機偵察到德軍潛艇的次數僅有計算理論值的1/4。布萊克特記得德軍俘虜曾說過，除非看到英軍飛機，否則他們的潛艇很少會潛到水下。他據此推斷，英軍飛機實際偵察量遠小于理論值，很可能是由于德軍潛艇先于英軍發現對方。他馬上向軍方提出若干條建議，包括給機組人員配備更好的望遠鏡、對他們進行更好的訓練等。不過，更重要的改進還等待著被他發現。[65]145

有一天，一名空軍軍官突然問他：“海岸司令部的飛機是什么顏色的？”這句話點醒了布萊克特。海岸司令部的飛機大都是從轟炸機司令部轉過來的夜間轟炸機，基本上全都涂成了黑色。在夜間，黑色可以減少飛機被探照燈發現的概率；但是到了白天，這種涂色卻使得飛機更容易被敵軍發現。于是他建議海軍馬上進行飛機涂色實驗。結果發現，飛機涂成白色使得它們被潛艇發現的最遠距離縮短20%。根據布萊克特的計算，這意味著英軍發現并擊沉德軍潛艇的概率將增加30%。海岸司令部很快采納了他的意見。之前每700小時的偵察飛行才能發現一次德軍潛艇，采用白色涂裝并采用其他改進措施之后，每350小時的偵察飛行就有一次發現。[65]145-146

這還只是問題的一半答案。

據統計，1941年5月，英國飛機有200次偵察到了德軍潛艇，發起了130次攻擊，但只擊沉了其中的2艘，也就是說，發現德軍潛艇后擊毀的成功率只有1%。按照當時的戰術指令，深水炸彈對德軍潛艇最佳爆炸深度是100～150英尺。這條指令依據的是一種貌似合理的計算過程：從開始攻擊到潛艇消失到水下，平均用時約50秒，而潛艇的下潛速度大約是每秒2英尺，兩者相乘就是100～150英尺。再考慮到德軍潛艇還將向前移動1000英尺，為了增加命中概率，指令還要求每隔250英尺投下一枚炸彈。[65]141-142

伊萬·威廉姆斯發現，這種戰術指令其實非常糟糕——如果目標確實下潛到水下100～150英尺，它將有充足的時間進行躲避，幾乎不可能還處于被發現時所在的那條航線上；如果潛艇反應遲緩，即使正好處在深水炸彈的攻擊點，卻因為沒有下潛到英軍預想的深度而躲過爆炸。經過一番計算，威廉姆斯建議把爆炸深度設定在25英尺，并且大幅縮短間隔投擲的距離，這樣可以把命中率提高到10%～20%。[65]142-143

海岸司令部采納了他的意見，可是結果卻并不理想。進一步的研究發現，深水炸彈接觸到水面的時候會形成一個空腔，致使引信無法立刻檢測到水壓，也就難以在25英尺的深度起爆。等到這個問題解決，伊萬·威廉姆斯的計算終于得到了印證：發現后擊毀潛艇的成功率從1%左右提高到10%。[65]143

美國海軍在獲悉布萊克特研究小組做出的貢獻之后，也引進了運籌學方法。他們在1942年3月建立了第一個研究團隊，“反潛作戰運籌小組”（ASWORG），牽頭人是麻省理工學院的莫爾斯（Philip M. Morse）教授。陸軍也聞風而動，航空兵則尤為積極。同年10月，航空兵的每個司令部都收到一份備忘錄，阿諾德將軍批準第八航空軍建立自己的運籌部門——他把這件事廣而告之的目的很簡單，就是要給航空兵的其他部隊樹立一個標桿。兩個月后，科學研發處正式組建了應用數學研究組，幫助陸軍航空兵培訓運籌學骨干。在第二次世界大戰當中，盟軍憑借運籌學方法，利用匯總的各種數據預判敵方行動，評估己方行動的有效性，解決了大大小小許多問題，產生了很好的效果。[7]171-172 [63]95 [66]405-406 [67]3

在應用數學研究組的資助下，哥倫比亞大學和普林斯頓大學分別建立起一支統計研究小組。為了解決陸軍航空兵碰到的問題，普林斯頓大學的統計研究小組里又專門設立了一個分支小組，人稱“小小統計研究組”（SRGP Jr.）。這個分支小組的負責人便是約翰·威廉姆斯。[68]288 [69]166

威廉姆斯喜歡去航空兵的機場調研，直接從富有經驗的軍官那里了解需求。回到組里，他通常會走到黑板前寫寫畫畫，給組員們簡要說明軍方的問題，偶爾還會調侃一下：你們可能不相信，這就是他們想知道的東西。然后，他便坐下來，喝著咖啡，聽大家討論問題。對于組員們提出的建議，他通常不置一詞，僅僅在必要時回答疑問，最后進行總結。有時他會從不同的解決途徑中做出選擇，有時他卻會尖刻地告訴大家：你們那些雄心勃勃的想法根本不可能在軍方要求的時限內完成。很快，所有人都掌握了這樣一條基本原則：軍方提出的所有問題都有時限，需要做的是那些能夠在允許的時間內做完的事情。[69]167-168

約翰·威廉姆斯對沃倫·韋弗非常敬仰，韋弗對他也頗為欣賞。在應用數學研究組行將解散之際，韋弗把他推薦給了科爾博姆，說他是“我見過的最懶惰的人，（不過）如果碰到難題，可以讓他用簡便的方法來解決”。科爾博姆和威廉姆斯曾經共過事，彼此有所了解。威廉姆斯認為戰后世界存在著巨大的危險，很有必要為可能發生的未來戰爭做好準備。科爾博姆這邊一發出邀請，他就愉快地加入進來，時間是1946年6月初。[5]121-123 [69]172

幾個月前，韋弗寫了一篇論文，題為“廣義空戰理論芻議”，對自己在戰爭期間領導應用數學研究組獲得的經驗進行了總結和深化。他試圖以通用的指標、函數和變量為基礎，為現代空戰建立一套數學模型，改進并完善軍事決策。韋弗認為，軍事決策從來不是孤立存在的，沒有哪一個軍事決策是與其他決策完全無關的。因此，如果要評估某個具體的軍事決策是好是壞，需要把這一決策對軍事活動各個方面所造成的影響都考慮進去。對于現代空戰而言，這就意味著不僅需要對戰斗本身建模，還應該對空戰涉及的各種社會問題和技術問題建模，例如，“陸海空三軍的組織與政策問題”“公眾對有效備戰的支持問題”等。[70]124 [5]112-113,117

韋弗設想，等到“廣義空戰理論”發展成熟，機構、策略和技術等要素都建立了模型，就可以把林林總總的社會變量和技術變量轉換成一個單一數值，稱為“軍事價值”（military worth），能夠用它來表示戰爭的得失。[5]117-118

為了更好地解釋“軍事價值”，韋弗假定了一個場景：一名上校需要從若干種雷達轟炸瞄準器的設計方案中挑選一種進行開發。每種設計方案中的雷達轟炸瞄準器的重量、復雜程度和開發周期都不相同，而這些又取決于其他一些因素。[70]125

他不可能知道所有的事情，但要回答（轟炸瞄準器的重量、復雜程度和開發周期）這些問題，他必須要對下面這些事情一清二楚：轟炸精度概率；瞄準器所在戰區的后勤狀況；敵方目標的特性；末段彈道學的結論；時間因素重要與否（這與戰爭規劃等事項相關）；操作瞄準器時的心理學和生理學因素，以及轟炸員的篩選與訓練；使用其他方式實現相同目標的費用；當前和未來敵方戰斗機對我方轟炸機的攻擊效率；等等。[70]125

韋弗進一步展開想象：將來能造出一臺戰術戰略計算機（TSC），可以把影響任務執行的敵方或者自然環境因素都輸入進去，并且把各種決策變量也輸入進去。這臺計算機不僅能處理精確定值的變量，還能處理只有取值區間的變量。一旦所有的計算過程結束，“軍事價值儀表盤的指示燈將亮起，然后顯示出計算的結果值”。[70]125

（最有趣的是，）如果某個人改動了決策變量儀表盤的設定值，軍事價值儀表盤也將隨之變化。也就是說，如果某個人對軍事行動規劃做出調整，他可以直觀地看到這個調整的結果是好還是壞。[5]118

由此，決策者就掌握了一種工具，可以從眾多的選項當中，把能夠獲得最大回報，即“最大邊際效益”的那些選項挑選出來。這是“廣義空戰理論”最吸引人的地方。[5]117

受韋弗的啟發，約翰·威廉姆斯把蘭德計劃合同要求的“洲際戰爭”看作一個可供研究的數學問題。不過他深知，“廣義空戰理論”遠未成熟，并且對其中涉及的政治、社會和技術問題建模非常困難，“某些要素甚至無法量化，而某些要素的可能值無法分級和排序”。在缺少社會科學等學科支持的條件下，威廉姆斯想出了一個“簡便”的方法來實施韋弗的這套理論：找到各個學科的專家，讓他們分別提供數據，然后由數學家來建立方程，把這些數據關聯起來，并且賦予不同的權重，就可以計算出結果。因此，他告訴科爾博姆，對蘭德計劃部而言，最為急迫的問題，是招募工程師、物理學家和數學家之外其他領域的專家。[5]123-125在給科爾博姆的一份備忘錄里，他這樣寫道：

在我看來，要解決將來可能碰到的問題，似乎需要各個方面的知識……因此，我們應該按照這樣一種理念來為蘭德計劃部招募人員。[71]52

約翰·威廉姆斯提議，在蘭德計劃部增設一個社會科學研究組和經濟學研究組。起初，科爾博姆并不理解這兩個研究組有什么意義，蘭德計劃部里的大多數科學家和工程師也不理解威廉姆斯的想法——在他們眼里，社會科學和經濟學太“軟”也太不科學。威廉姆斯口若懸河、滔滔不絕，科爾博姆終于被他說動，答應讓他去華盛頓見李枚。[31]61 [71]52 [72]68

李枚最初的反應和科爾博姆差不多，對威廉姆斯的想法不以為然，他更擔心蘭德計劃部的經費有限，攤子不能鋪得太大。好在威廉姆斯有著超級的耐心，反復向他解釋。將軍抽掉了三四根雪茄，最終松口：“去干吧！……該花的錢要花，把錢花對地方！”威廉姆斯試探著問他，是不是同意讓蘭德計劃部試著去招聘幾個不錯的社會科學家，將軍回答道，“不，不要這樣！……如果要做這件事情，那就必須要有一定的規模才有意義。”[31]61 [71]52-53 [72]68

接下來的任務就是為這兩個研究組招募合適的研究人員了。