2.1.3　函數可導與連續的關系

函數y=f（x）在點x0處連續是指

函數y=f（x）在點x0處可導是指

那么，它們之間有什么關系呢？

設函數y=f（x）在點x0處可導，即存在.由具有極限的函數與無窮小的關系知道

其中，當Δx→0時，α為無窮小.上式兩邊同乘以Δx，得

Δy=f′（x0）Δx+αΔx.

由此可見，當Δx→0時，Δy→0.這就是說，函數y=f（x）在點x0處是連續的.

所以，如果函數y=f（x）在點x0處可導，則函數在該點必連續.反之，一個函數在某點連續卻不一定在該點可導.

例11　討論函數

在x=1處的可導性與連續性.

所以f（x）在x=1連續.又因

故f（x）在x=1處不可導.

定理　如果函數y=f（x）在點x0處可導，則函數y=f（x）在點x0處連續；反之不真.

例如，函數f（x）=|x|在x=0處連續但不可導.

因此，函數在某點處連續是在該點可導的必要條件，但不是充分條件.

例12　a，b為何值時，函數

在x=1處可導.

解　，f（1）=1，由于f（x）在x=1處可導，所以f（x）在x=1處連續，故而a-b=1.

又因為

所以a=-1.

將a=-1代入a-b=1中，解得b=-2.

故當a=-1，b=-2時，函數f（x）在x=1處可導.