2.1.2　導數的定義

定義1　設函數y=f（x）在點x0的某鄰域內有定義，當自變量x在點x0處取得增量Δx（點x0+Δx仍在該鄰域）時，相應的函數y取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果極限

存在，則稱函數y=f（x）在點x0處可導，極限值稱為函數y=f（x）在點x0處的導數，記作f′（x0），即

函數y=f（x）在點x0處的導數也可記為

上述極限中，若令x=x0+Δx，則當Δx→0時，x→x0，導數還可以表示為

如果記Δx=h，導數也可表示為

函數f（x）在點x0處可導也可以說成函數f（x）在點x0處導數存在或具有導數.

如果函數y=f（x）在開區間（a，b）內的每一點都可導，則稱函數f（x）在開區間（a，b）內可導，即對任何x∈（a，b），有

這樣對于開區間（a，b）內的每一個確定的x都對應著一個確定的導數f′（x），這就構成了一個新的函數，稱為導函數（簡稱為f（x）的導數）.記作f′（x），y′，

而f′（x0）為導函數f′（x）當x=x0時的函數值，即

例1　　設f′（x0）存在，求極限

下面利用導數的定義來求一些簡單函數的導數.

例2　　求函數f（x）=C（C是常數）的導數.

解　

即（C）′=0.

例3　　求函數f（x）=xn（n∈N+）在x=a處的導數.

解　　由定義有

推廣可得

（xn）′=nxn-1.

更一般地，有

（xμ）′=μxμ-1　（μ為實數）.

例4　求函數的導數.

例5　求函數的導數.

例6　求函數f（x）=sinx的導數.

解　由定義有

類似可得

（cosx）′=-sinx.

例7　求函數f（x）=ex的導數.

解　由定義有

即　?。╡x）′=ex.

類似可得　?。╝x）′=axlna.

例8　求函數f（x）=lnx的導數.

解　由定義有

定義2　如果y=f（x）在（x0-δ，x0]有定義，若左極限

存在，則稱函數f（x）在點x0左側可導，并把上述左極限稱為函數f（x）在點x0的左導數，記作f′-（x0），即

類似地可以定義函數f（x）在點x0的右側可導及右導數

由極限存在的條件，有

性質　函數f（x）在點x0可導的充分必要條件是在點x0的左、右導數都存在并且相等，即

f′（x0）存在?f′-（x0）=f′+（x0）.

由單側導數可以定義函數在閉區間[a，b]上可導.如果函數f（x）在開區間（a，b）內可導，且在a點的右導數存在，在b點的左導數存在，則稱函數在閉區間[a，b]上可導.

例9　討論函數f（x）=|x|在x=0處的可導性.

因此不存在，故f（x）=|x|在x=0處不可導.

例10　設函數

判別f（x）在x=1處是否可導.

解　由于

所以f（x）在x=1處不可導.