習題1

1.求下列函數的定義域：

2.判斷下列每對函數是否是相同的函數，并說明原因.

（3）y=2lgx與y=lgx2；　　（4）y=sin2x+cos2x與y=1；

3.指出下列函數的復合過程：

（5）y=xsinxlnx；　　（6）y=lnsin2x.

4.判斷下列數列的斂散性，若收斂，求其極限.

5.求下列極限：

6.已知，求常數a，b.

7.設

求：（1） ；

（2）f（g（x）），.

8.求下列極限：

9.設a1=10，，試證數列{an}極限存在，并求此極限.

10.證明

11.設函數

討論函數f（x）在點x=0處極限是否存在.

12.證明無窮小的等價關系具有下列性質：

（1）α～α（自反性）；

（2）若α～β，則β～α（對稱性）；

（3）若α～β，β～γ，則α～γ（傳遞性）.

13.求下列極限：

14.當x→0時，（tanx-sinx）與xk是同階無窮小，求k值.

15.求函數

在分段點處的極限.

16.求

17.確定常數a，b，使.

18.已知為有限數l，求常數a，l.

19.已知

20.設.

21.已知，求常數a.

22.求下列函數的間斷點，并判斷其類型：

23.設函數，求函數f（x）的間斷點，并指出類型.

24.討論函數

在點x=0處的連續性.

25.設函數

確定常數a，b，使得f（x）在點x=0處連續.

26.（1）設，證明，并問其逆是否成立？

（2）設f（x）在點x0連續，證明|f（x）|在點x0連續，并問其逆是否成立？

27.求函數，并確定常數a，b使函數f（x）在點x=-1，與x=1處連續.

28.證明方程x·2x=1至少有一個小于1的正根.

29.設函數f（x）在[a，b]上連續，且f（a）>a，f（b）<b，試證在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（ξ）=ξ.

30.設函數f（x）在[a，b]上連續，且a<c<d<b，證明：

（1）存在一個ξ∈（a，b），使得f（c）+f（d）=2f（ξ）；

（2）存在一個ξ∈（a，b），使得mf（c）+nf（d）=（m+n）f（ξ）.

31.求證：方程ex+e-x=4+cosx在（-∞，+∞）內恰有兩個根.