1.8.4　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有十分重要的性質(zhì)，而且在幾何上非常直觀，首先給出函數(shù)最值的概念.

定義8　設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，如果存在x0∈I，使得對(duì)于任意x∈I都有

f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0））；

那么稱(chēng)f（x0）是函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的最大值（或最小值）.

定理8（最值定理）　設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值M和最小值m，即在[a，b]上至少存在一點(diǎn)ξ1和一點(diǎn)ξ2，使得f（ξ1）=M，f（ξ2）=m，且m≤f（x）≤M，x∈[a，b].

注　對(duì)于開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)或在閉區(qū)間[a，b]上有間斷點(diǎn)的函數(shù)，定理8的結(jié)論未必成立.

例如，函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)連續(xù)，但在（0，1）內(nèi)無(wú)界.

又如，函數(shù)

在閉區(qū)間[-1，1]上有間斷點(diǎn)x=0，如圖1-21所示，顯然f（x）在[-1，1]上雖然有界但是既無(wú)最大值又無(wú)最小值.

定理9（介值定理）　設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且設(shè)m，M分別為函數(shù)f（x）在[a，b]上的最小值和最大值，則對(duì)任意c∈[m，M]，在[a，b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=c.

定理9的幾何意義：在閉區(qū)間[a，b]上定義的連續(xù)曲線y=f（x）與水平直線y=c至少有一個(gè)交點(diǎn)，如圖1-22所示.

定理10（零點(diǎn)定理）　設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）f（b）<0，則在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=0.

定理10的幾何意義是：在閉區(qū)間[a，b]上定義的連續(xù)曲線y=f（x），它的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別位于x軸的兩側(cè)，容易想象，作為連接端點(diǎn)A到B的連續(xù)曲線y=f（x）至少與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即ξ，如圖1-23所示.

例10　證明方程x4-x2-1=0在開(kāi)區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)根.

證　設(shè)函數(shù)f（x）=x4-x2-1，則f（x）為初等函數(shù)，且它在[1，2]上連續(xù)，又

f（1）=-1<0，f（2）=11>0；

根據(jù)零點(diǎn)定理，在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

f（ξ）=0，ξ∈（1，2）；

即

ξ4-ξ2-1=0.

這個(gè)等式說(shuō)明方程x4-x2-1=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)根.

例11　設(shè)f（x），g（x）都是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且f（a）>g（a），f（b）<g（b），證明在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=g（ξ）.

證　設(shè)F（x）=f（x）-g（x），則F（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù).又

F（a）=f（a）-g（a）>0，F(xiàn)（b）=f（b）-g（b）<0，

由零點(diǎn)定理知，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得F（ξ）=0，即f（ξ）=g（ξ）.