1.8.3　連續函數的性質

函數的連續性是在極限理論基礎上建立的，因而利用函數極限的性質可以證明連續函數具有如下性質.

定理2（連續函數的四則運算）　如果函數f（x），g（x）在點x0處連續，那么函數f（x）±g（x），f（x）·g（x），都在點x0處連續.

定理3（復合函數的連續性）　設函數y=f（g（x））是由函數y=f（u）與u=g（x）復合而成，若函數u=g（x）在點x0處極限為u0，即，且函數y=f（u）在點u0處連續，則

在定理3中，，所以

注　在定理3的條件下，求復合函數極限時，函數符號可以和極限符號互換.

定理4　設函數y=f（g（x））是由函數y=f（u）與函數u=g（x）復合而成，若函數u=g（x）在點x0處連續，且u0=g（x0），函數y=f（u）在點u0處連續，則函數y=f（g（x））在點x0處連續.

例8　求.

解　函數是由函數復合而成，因為

而函數 在 處連續，所以

例9　

解　當x→∞時，

由于

因此

定理5（反函數的連續性）　單調遞增（或單調遞減）的連續函數的反函數也是單調遞增（或單調遞減）的連續函數.

利用連續函數的性質可得到下面的結論.

定理6　基本初等函數在其定義域內是連續的.

因為初等函數是由基本初等函數和常數經過有限次四則運算和復合運算而成，所以根據基本初等函數的連續性、連續函數的四則運算和復合函數的連續性，可以得到下面的定理.

定理7　一切初等函數在其定義區間內是連續的.

注　定理7的結論提供了一個求極限的方法.也就是說，如果函數f（x）是初等函數，且x0是其定義區間內的點，求函數f（x）在點x0處的極限就轉化為求函數f（x）在點x0處的函數值，即.

例如，初等函數的定義域是實數集R，而，所以