1.8.2　函數(shù)的間斷點

定義6　如果函數(shù)f（x）在點x0處不滿足連續(xù)性定義的條件，那么稱點x0為函數(shù)f（x）的間斷點.

如果x0是函數(shù)f（x）的間斷點，那么無非是以下三種情況之一：

（1）函數(shù)f（x）在點x0處無定義；

（2）函數(shù)f（x）在點x0處有定義，但不存在；

（3）函數(shù)f（x）在點x0處有定義，且存在，但.

根據(jù)定義，函數(shù)間斷點可以分為兩大類.

定義7　設x0為函數(shù)f（x）的間斷點.如果函數(shù)f（x）在點x0處的左極限及右極限都存在，那么稱點x0為函數(shù)f（x）的第一類間斷點.

如果函數(shù)f（x）在點x0處的左極限及右極限f至少有一個不存在，那么稱點x0為函數(shù)f（x）的第二類間斷點.

例4　函數(shù)在x=1處無定義（如圖1-18所示），所以x=1是間斷點.而

函數(shù)f（x）在x=1處的左極限和右極限存在且相等，故x=1是第一類間斷點.

如果補充定義：

當x=1時，令f（x）=2，即

那么函數(shù)f*（x）在x=1處連續(xù)，稱x=1為函數(shù)f*（x）的可去間斷點.

例5　討論函數(shù)

在x=0處的連續(xù)性.

顯然f（0-）≠f（0+，故 不存在，則x=0是函數(shù)f（x）的第一類間斷點.如圖1-19所示，函數(shù)f（x）的圖像在x=0處產生跳躍，稱x=0為函數(shù)f（x）的跳躍間斷點.

例6　函數(shù)在x=0處無定義，且，所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點，函數(shù)的圖像在x=0處趨于無窮，稱x=0為函數(shù)的無窮間斷點.

例7　函數(shù)在x=0處無定義，且，均不存在，所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點.當x→0時，函數(shù)的值在-1與1之間上下振蕩，如圖1-20所示，稱x=0為函數(shù)y=sin的振蕩間斷點.

由例4、例5、例6、例7可以得出函數(shù)間斷點的分類.