1.8.1　連續函數的概念

我們知道氣溫是時間的函數，當時間變化不大時，氣溫的變化也不大；物體運動的路程是時間的函數，當時間變化不大時，路程變化也不大；金屬絲的長度是溫度的函數，當溫度變化不大時，金屬絲長度的變化也不大，等等.這些現象在函數關系上的反映就是函數的連續性.為了描述函數的連續性，下面先介紹增量的概念.

對于函數y=f（x），設自變量x從它的一個初值x0變到終值x1，終值與初值之差x1-x0稱為自變量x的增量（或改變量），記為Δx，即Δx=x1-x0.

增量Δx可以是正的，也可以是負的，當Δx為正時，自變量x從x0增加到x0+Δx；當Δx為負時，自變量x從x0減少到x0+Δx.

設函數y=f（x）在x0的某鄰域內有定義，當自變量從初值x0變到終值x0+Δx時，函數y=f（x）相應地從f（x0）變到f（x0+Δx），因此，函數y相應的增量為

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

注　Δx，Δy是完整的記號.

幾何上，函數的增量Δy表示當自變量x從x0變到x0+Δx時曲線上對應點的縱坐標的改變量，如圖1-17所示.

函數的連續性的概念可以通過增量來描述，定義如下：

定義1　設函數y=f（x）在點x0的某鄰域內有定義.如果當自變量x在x0處的增量Δx趨于零時，函數y的對應增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趨于零，即

那么稱函數y=f（x）在點x0處連續，點x0稱為函數y=f（x）的連續點.

例1　證明函數y=x3+1在x=x0處連續.

證　函數y=x3+1在x=x0處的增量

因為

所以，函數y=x3+1在x=x0處連續.

在定義1中，由

得

設x=x0+Δx，當Δx→0時，x→x0，于是

因此，函數y=f（x）在點x0處連續有如下等價定義：

定義2　設函數y=f（x）在點x0的某鄰域內有定義，且在點x0處的極限值等于函數在該點對應的函數值，即

則稱函數y=f（x）在點x0處連續.

注　函數f（x）在點x0處連續，要求函數f（x）在點x0處有定義，但函數f（x）在點x0處極限存在與否與函數f（x）在點x0處是否有定義無關.

利用函數單側極限的概念可定義函數單側連續.

定義3　設函數f（x）在點x0的某左鄰域內有定義，若，則稱函數f（x）在點x0處左連續.

定義4　設函數f（x）在點x0的某右鄰域內有定義，若，則稱函數f（x）在點x0處右連續.

由定義2，3，4可得函數f（x）在點x0處連續的充分必要條件.

定理1　函數f（x）在點x0處連續的充分必要條件是函數f（x）在點x0處既左連續又右連續且左右極限相等，即.

例2　討論函數

在x=0和x=1處的連續性.

解　在x=0處，

由此可知

所以 不存在，函數f（x）在x=0處不連續.

但是，f（0）=2×0+1=1，由 知，函數f（x）在x=0處左連續.

在x=1處，

易知

故 ，而f（1）=12=1，則有 ，所以函數f（x）在x=1處連續.

定義5　如果函數f（x）在開區間（a，b）內每一點都連續，那么稱函數f（x）在開區間（a，b）內連續.如果函數f（x）在開區間（a，b）內連續，且在左端點a處右連續，在右端點b處左連續，那么稱函數f（x）在閉區間[a，b]上連續.

連續函數的圖形是一條連續不間斷的曲線.

例3　證明函數y=sinx在（-∞，+∞）內連續.

證　設x0為（-∞，+∞）內任意一點，當自變量x在x0處取得增量Δx時，對應的函數增量為

因為，而當Δx→0時，，根據有界函數與無窮小乘積是無窮小，得

因此，函數y=sinx在點x0處連續，由于x0的任意性，函數y=sinx在（-∞，+∞）內連續.